Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phần 1: Kiến thức cần nhớ
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

A
Có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các công thức biến đổi căn thức
a.
2
A A=
=



<−
≥
0,
0,
AA
AA
b.
. ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= ≥ >
d.

A A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
Phần 2: Một số ví dụ và bài tập:
Ví dụ 1: Cho M =
a
aa
+
+−−
3
6
a) Rút gọn M
b) Tìm a để
1≥M

≥
≤
⇔
≥
≤
⇔



≥−
≥−
⇔≥−⇔≥
9
1
3
1
12
12
121
a
a
a
a
a
a
aM
Vậy




−








−
−
−
5
2
2
5
103
25
:1
25
25
a
a
a
a
aa
a
a
aa
1

+−
−
5
2
2
5
25
25
:1
55
5
a
a
a
a
aa
a
aa
aa
M =
5
5
+
−
a
:
( )( )




+
−
a
a
aa
a
Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M =
2
5
+a
b)Để M < 1
2
5
+
⇔
a
< 1
0
2
25
01
2
5
<
+
−−
⇔<−
+
⇔
a

Bài 4: Cho biểu thức
P =
3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
−
−
+
−+
−
a) Rút gọn P
b)Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
1
c) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a













−
+
+−
−
−
1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

8x
x2
x4
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =
















+
−
+
+

1
x
x x
+
+ +
-
1
1
x
x
+
−
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <
1
3
với x
≥
0 với x
≠
1.
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x

3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
3
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 14: Cho biểu thức
A =








−
+








+
−
+
−
+
ab
ba
ab
ba
11
:






−
++
+
ab
abba
1
2
1
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M với a =

1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−
+
−
−
−+








a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5310

1
12
:
1
1
43
1
+
−
++








−
+
−
−+
−
x
xx
x
x
xx
x
a) Rút gọn P






++
+
−
−
−
+
=
1
2
:)
1
1
1
2
(
xx
x
xxx
xx
A
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của
A
khi
324

Bài 26: Cho biểu thức
M =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a
 
− + +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì M xác định
b) Rút gọn M
c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức
P =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ − − +
+ +
− + − + − + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a

a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a=(4 +
15
)(
10
-
6
)
154
−
Bài 29: Cho biểu thức
P =
( )
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2
a a a
a
a a
+ − −
− + ≠
−
− +

1
3
1
1
+−
+
+
−
+
xxxxx
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32: Cho biểu thức
P =
a
a
a
a
aa
a
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12

( )
12
441212
−
−−−+−++
x
xxxxx
=
( )
12
4
−
−
x
P =
1
2
−
−
x
( với
1;0 ≠≥ xx
)
Bài 4: Cho biểu thức
6
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
P =
3x
3x2
x-1

xxxxxxx
P =
( )( )
( )( )
( )( )
31
521
31
275
+−
−−
=
+−
−+−
xx
xx
xx
xx
=
3
52
+
−
x
x
Vậy P =
3
52
+
−

3
2

⇔

3
52
+
−
x
x

3
2
≤

Ta có :
3
52
+
−
x
x
=
3
17
5
3
17155
+

1
−
−
+
+
+
−
−+
−+
-G-
a) Đk :
1;0 ≠≥ aa
P =
( )( ) ( )( )
( )( )
12
1211333
−+
+−−−+−−+
aa
aaaaaa
P =
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
21
21
21

a
= 1 -
2
4
+a
7
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Để P
24
2
4
+⇒∈
+
⇒∈ aZ
a
Z 
2+a
= 4
4=⇒ a
2+a
= -4 (loại)
⇒
2+a
= 2
0=⇒ a
2+a
= -2 (loại)
2+a
= -1 (loại)
2+a

+
+
−
−
x
x
xx
x
x
Vậy với
1;0 ≠≥ xx
thì M = 2
1−x
c)Với
1;0 ≠≥ xx
để M < 1
112 <−⇔ x
1<⇔ x
Bài 7: Cho biểu thức
P =


















−
+−








−
−
1
21
:
1
1
a
a
aa
a
=
1

+
−+
Vậy với a = 3 + 2
2
thì P = 2
c) Để P < 0
1010
1
<⇒<−⇒
−
⇔ aa
a
a

Vậy với 0 < a < 1 thì P< 0
Bài 8: Cho biểu thức
8
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
P =












3
4
−x
x
b)Để P = -1
0341
3
4
=−+⇔−=
−
⇔ xx
x
x
(với x
9
≠
)

9
16
4
3
0)34)(1(
=⇒=⇔
=−+⇔
xx
xx
Vậy với x =
9
16

x
xm
Vậy với
18
5
=m
thì m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =
















+
−
+








>
≠+
≠+
≥
≥
⇔ 0
0
0
0
0
0
0
y
x
xy
xxy
yxy
y
x
Vậy với x > 0; y > 0 thì P có nghĩa
b)P =
(
yx









−−+−
xy
yxyxyx
= (
yx +
) : (-1)
Vậy P = - (
yx +
)
c)Với x = 3
3=⇒ x
; y = 4 -2
3

13 −=⇒ y
Thay vào ta được P = 1 - 2
3
Bài 11: Cho biểu thức
P =
2
1
x

)1)(1(
1
1
1
)1)(1(
2
−+
+
−
++
+
+
++−
+
xx
x
xx
x
xxx
x
P =
1)1)(1(
)1()1()2(
++
=
++−
++−−++
xx
x
xxx

1x2x
2x
1x
2x
















−
++
+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
-GIẢI-

4
1
4
1
=⇔ x
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
10
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
P =
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
-Giải-
ĐK :
0
>
x
Ta có P =
)3)(2(

xxxx
P =
2
)3)(2(
)3)(2.(2
=
++
++
xx
xx
Vậy với x > 0 P không phụ thuộc vai biến
Bài 14: Cho biểu thức
A =








−
+








xxx
−
=






−








−
+−+−
2
1
:
1
11
Vậy với x>0 vàx≠1 thì A =
x
x−2
b) Để A = 3
023

11
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:
Cho hai hàm số : y = ax + b (d)
y = a’x + b’ (d’)
+ Nếu a ≠ a’  (d) cắt (d’)
+ Nếu a = a’; b ≠ b’  (d) // (d’)
+ Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’)
+ Nếu a.a’ = -1  (d)
⊥
(d’)
II. Hàm số y = ax
2
(a≠0)
1. Tính chất :
+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0
- Hàm số nghịch biến nếu x < 0
+ Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0
- Hàm số nghịch biến nếu x > 0
2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục
hoành tại gốc toạ độ.
+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0
+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0
3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x
2
(P):
+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  a’x
2
= ax+b có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu (d) Tiếp xúc (P)  a’x

1
)và B (x
2
; y
2
):
 Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :



+=
+=
baxy
baxy
22
11
+ Giải hệ phương trình tìm a và b
 Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4).
- Giải-
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b
Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)
12
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
 1 – 2a = 3a – 4
 5a = 5  a = 1.

+ 2x +b = 0 có nghiệm kép
 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x
0
; y
0
) và tiếp xúc với đường
cong y = a’x
2
(P)
 Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x
0
; y
0
) nên  y
0
= a.x
0
+ b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x
2
nên phương trình :
a’x
2
= ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
 phương trình đường thẳng cần lập

Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2
Phần II :Các bài tập về hàm số :
Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m
2
– 6m + 12)x
2
a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m.
13
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)
Bài tập 2: Cho hàm số y = ax
2
(P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8). Vẽ đồ thị trong trường hợp đó
b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x
2
(P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương trình:
y = mx – 1
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2)
Bài 4: Cho parabol y =
2
1
x
2
(P)

Bài 9: Cho parabol y = x
2
– 4x + 3 (P)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k
b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k.
Bài 10: Cho parabol y = x
2
(P) và đường thẳng y = mx -1 d)
Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P). Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 11: Cho hàm số y = (m
2
+ 1)x – 1
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị
của m
c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với
m vừa tìm được
Bài 12: Cho hàm số y =
2
1
x
2
và y = 2x – 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 13: Cho hàm số y = -2x
2
(P)
a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4), cắt trục hoành tại điểm (2; 0). Viết

2
– 6m + 12 = (m - 3)
2
+ 3 > 0 với mọi m
Vậy hàm số đồng biến với mọi m
b) Đồ thị hàm số đi qua (1; 5) nên ta có:
5 = m
2
– 6m + 12
 m
2
– 6m + 7 = 0



+=
−=
⇒
23
23
m
m
Vậy với



+=
−=
23
23

Vậy với
3
1−
>a
thì đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x
2
(P)
a) Học sinh tự vẽ
b)Giả sử điểm M(x; y) cách đều hai trục toạ độ
yx =⇒
Vậy tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ thuộc đồ thị hàm số y = 2x
2
phải là nghiệm của hệ:



=
=
yx
xy
2
2










=
=
⇒
2
1
0
x
x
15
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Giải hệ (II) ta có: 2x
2
= -x  x(2x + 1) = 0




−
=
=
⇒
2
1
0
x
x
Với x = 0 thay vào (P) ta được y = 0
Với x =

−=∆ m
+
∆
> 0 



−<
>
22
2.2
m
m

⇒
cắt nhau
+
∆
= 0  m =
2±

⇒
Tiép xúc
+
∆
< 0 
2222 <<− m

⇒
không giao nhau

⇔==
''' c
c
b
b
a
a
Hệ có vô số nghiệm
 Các phương pháp giải hệ phương trình:
1. Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn
(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia
- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y
- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
16
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :
a)



=+
=+
3
632
yx
yx

)2(

)1(
Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*)
Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được :
4x – 5 (5 – 2x) = 3
4x -25 + 10x = 3
14x = 28
2
=⇒
x

Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2
1=⇒ y
Vậy nghiệm của hệ là :



=
=
1
2
y
x
2. Phương pháp cộng :
- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại
KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :
a)

)2(
)1(
Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8
1
−=⇒
x

Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:
5.(-1) + 4y = 3
⇔
4y = 8
2=⇒ y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :



=
−=
2
1
y
x
3. Chú ý :
Với hệ phương trình



=+
=+
''' cybxa

−=+
3669
268
yx
yx
Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34
2
=⇒
x
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :
4.2 + 3y = -1
393 −=⇒−=⇒ yy
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :



−=
=
3
2
y
x
b)



−=−
−=−
423
645

=−
=+
13
832
yx
yx
b)



−=+
=−
456
1757
yx
yx
c)



−=−
−=+
1459
5712
yx
yx
 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều
kiện
α
nào đó ta làm như sau:

)3(
)1(
Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:
-2.2y – 3y = 2
7
2
−=⇒ y
thay vào (*)
7
4
−=⇒ x
18
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Vậy nghiệm của hệ là :





−=
−=
7
2
7
4
y
x
b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:
m.2y – 3y = 2
32

32
2
0
32
4
0
0
m
m
y
x

⇒
2m – 3 > 0
⇒
m >
2
3
Vậy với m >
2
3
thì hệ phương trình có nghiệm dương
Bài 2: Cho hệ phương trình



=−
=+
15
32




=+−
=−+
2412)1(
12)1(3
yxm
ymx
a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y
Bài 6: Cho hệ phương trình



=+
=−+
ayax
yxa 3)1(
a) Giải hệ với a = 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0
Bài 7: Cho hệ phương trình



=−−
=−+
8050)4(
16)4(2
yxm



+=+
−=+
1
13
aayx
ayax
a) Giải và biện luận hệ phương trình trên
b) Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có gia strị nguyên
Bài 11: Cho hệ phương trình:



+=+
+=+
abyax
bayx
98
42
Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 3; y = -1
Baif 12: Cho hệ phương trình



−=−
−=+
5
42
aybx

2
=
a
b
2
−
+ Δ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
1
∆−−
=
b)Công thức nghiệm thu gọn:
20
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Với phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu b chẵn. Đặt b = 2b’, ta có
Δ’ = b’
2

– 4.3.1 = 4 – 12 = -8 ; Δ < 0
 Phương trình vô nghiệm
b) 4x
2
-12x + 9 = 0
Δ = (-12)
2
-4.4.9 = 144 – 144 = 0
 Phương trình có nghiệm kép : x
1
= x
2
=
2
3
8
12
=
c) -2x
2
+5x + 3 = 0
Δ = 5
2
– 4 . (-2). 3 = 25 + 24 = 49;
7=∆
⇒
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
1
4

x
1
.x
2
=
a
c
b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
+ Nếu a + b + c = 0 th ì x
1
= 1; x
2
=
a
c
+ Nếu a – b + c = 0 th ì x
1
= -1; x
2
=
a
c−
+ Nếu có hai số x
1
, x
2
sao cho

1.
x
2
= 72
Vậy x
1
, x
2
phải là nghiệm của phương trình : X
2
– 17X + 72 = 0
Δ = (-17)
2
- 4.72 = 289 – 288 = 1
x
1
= (17+ 1) : 2 = 9; x
2
= (17 - 1) : 2 = 8
Vậy hai số cần tìm là 8 và 9
b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7.
- Giải –
21
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Ta có : x
1
+ x
2
= -3 + 7 = 4
X


=∆≠
≠=
0;0
0;0
a
ba
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x
2
-3mx + m
2
– 1 = 0
b) 2x
2
+ 4x – m = 0
- Giải -
a) Ta có : Δ = (-3m)
2
– 4.( m
2
– 1) = 9m
2
– 4m
2
+4
Δ = 5m
2
+ 4 > 0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

+ 2m - 3)
Δ’ = 0  (m
2
+ 2m - 3) = 0
 m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép
b) Ta có :
Δ’ = 45
2
– 15m = 2025 – 15m
Δ’ = 0  2025 – 15m = 0
 m = 135
Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép
Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 3x
2
– 2x + m = 0
b) x
2
+ mx + 3 = 0
-Giải-
a) 3x
2
– 2x + m = 0
22
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
Để phương trình vô nghiệm 
0
<∆
Ta có :

-Giải-
Phương trình có nghiệm duy nhất 









=∆
≠



≠
=
0'
0
0
0
a
b
a






+ 5m -4 = 0
0
=⇒
m
Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình : : ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:






>
≥∆
0
0
a
c
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : 








a
b
a
c
d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
 a.c < 0
Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:
a) x
2
– 3x + m – 1 = 0
23
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
b) x
2
– 2mx + 3 = 0
-Giải-
a)x
2
– 3x + m – 1 = 0
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu :











≤
thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:




−≤
≥
⇔








>
≥−
⇔
>
≥∆
3
3
03
03
0
0'
2






=
−
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau :
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2

11
xx
xx
xx
+
=+
Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng
Ví dụ : Cho phương trình x
2
+ mx + 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Hãy tính:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
3
+ x
2
3

-Giải-
Theo vi et ta có : x

+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
– 3x
1
.x
2
.(x
1
+ x
2
)
= m
3
– 3.m
4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức:
Cho phương trình : : ax
2
+ bx + c = 0
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm
24
Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình
+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et :


+ 3x
2
= 13
-Giải-
Phương trình có nghiệm 



+−=
−−=
⇒=−=∆
≥++⇔
≥+−++⇔
≥−−+⇔≥∆
487
487
48149'
0114
04242510
0)6.(4)5(0
2
1
2
2
2
m
m
mm
mmm
mm


=+
+=+
1332
5
21
21
xx
mxx

)3(
)1(
Nhân phương trình (1) với 2 ta được




=+
+=+
1332
10222
21
21
xx
mxx
Trừ từng vế của hệ ta được : x
2
= 3 – 2m thay vào phương trình (1) ta được : x
1
+ 3 – 2m = m + 5

= 13
5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
Cho phương trình : ax
2
+ bx + c = 0
Cách giải:
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm (
0≥∆
)
+ Bước 2: Lập S , P (x
1
+ x
2
=
a
b−
), x
1
.x
2
=
a
c
theo tham số m
+ Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m
+ Bước 4 : Thay S = x
1
+ x
2
; P = x