Chuyªn ®Ò 1 : To¸n rót gän
2
1
)1(
2
:
12
2
1
2
a
aa
a
a
a
A
−








++
+
−
−
−
=

2
1
1
:
1
1
2
aaaa
a
a
a
a
A

1
1
:
2
−
++
=
a
aa
AKQ
a) Rót gän
b) T×m a sao cho A
2
> 1
c) TÝnh A
2

0x
Víi
xyyx
yyxx
yx
yyxx
yx
yx
A
2
:
3

yxyx
xy
AKQ
+−
=
3
:
a) Rót gän
b) Chøng minh : 0 <A
3
< 1 (hoÆc so s¸nh
33
AA víi
)
xx
x
x

2
2
2
4

3
4
:
4
−
=
x
x
AKQ
a) Rót gän
b) T×m x ®Ó A
4
> 0
c) T×m x ®Ó A
4
= 1
21
3
5
−−
−
=
x
x
A

−
−
−
=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
6
x
x
x
x
xx
x
A

13
:
6
−
+−
=
x
xx



−
−
−
=
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
7
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A

2
3
:
7








−
−
−
=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
8
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A





+
−
+=
xy
yx
xxy
y
yxy
x
yx
xyy
xA :
9

xyAKQ
−=
9
:
a) Rót gän
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A
9
víi
324,3
+==
yx


2
2
2
:
2
1
4
7
10
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
A

a
a
AKQ
6
9
:
10
+
=
a) Rót gän

+
−
−
2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x
a> Rót gän A
11
b> TÝnh A
11
víi x=6 - 2
5
c> T×m gi¸ tri cña n ®Ó
( )
nxPx
+<+
1
®óng víi mäi x ®Ó A
11
cã nghÜa.

9/ Một phòng họp có 100 chỗ ngồi nếu kê thêm hai dãy và mỗi dãy bớt hai ghế thì đợc 96
ghế. Tính số ghế ban đầu.
10/ Một phòng họp có 70 ghế nếu bớt đi hai dãy và mỗi dãy xếp thêm 4 ghế thì số ghế trong
phòng không thay đổi. Tính số ghế trong phòng.
11/ Một tổ sản xuất cần sản suất 1 số sảnt phẩm trong thời gian nhất định. Nhng khi thực
hiện số ngời trực tiếp sản suất giảm 1 ngời. Do vậy để hoàn thành theo kế hoạch mỗi ngời
còn lại phải tăng năng suất 25%. Tính số ngời lúc ban đầu.
Phơng trình bậc hai

3
1/ Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
02m1)x(2mxh)021xx2g)
048x3xf)0245xe)11x024x3xd)
065xxc)0511x6xb)023x5xa)
22
222
222
=++−=−++
=++=−−=−+
=+−=++=−−
2/ Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai.
02x)8)(x2xp)(x042x4xn)x044xxm)x
075x3xl)x02x2xk)3x025x3x5xj)2x
013x8x3xi)x0x12xh)1x3xg)
42x5)f)x(x5
2x
30
2x
28
e)1

3/ T×m hai sè x, y biÕt :



=+
=





=++
=+



=
=−



=+
=



=+
=+



4/ Giải các phơng trình và hệ phơnng trình sau:
06xxs)032x5x2xr)3x
1
3x
60
3x
72
q)
1x
3
3x
5
p)6x2x20n)
x53xm)027xl)5x025xk)3x
37yx
6y.x
i)
3y.x
10yx
h)
2.yx
1yx
g)
013xf)x045xe)x034xd)2x
047x11xc)023x5xb)0107x3xa)
3234
2424
22
22
222

xong.
2/ Một canô chạy trên sông trong 7 giờ. Xuôi dòng 108km, ngợc dòng 63 km.
Một lần khác canô đó cũng chạy trong 7giờ. Xuôi dòng 81km và ngợc dòng
84km. Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của canô.







=

+
+
=

+
+
7
8481
7
63108
:
yxyx
yxyx
HPT
3/ Một canô xuôi dòng từ A đến B. Cùng lúc đố một bè nứa cũng trôi tự do từ A đến B. Sau
khi đi đợc 24km ca nô quay lại và gặp bề nứa tạo D cách A là 8km. Tính vận tốc thật của
canô. Biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h.

:
yx
yx
HPT
5/ Hai tổ cùng đợc giao làm 1 công việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15giờ.
Nếu tổ 1 làm trong 5giờ, tổ 2 làm trong 3giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi tổ cần bao lâu để hoàm thành.
6/ Hai ngời chuyển động ngợc chiều về phía nhau. M đi từ A lúc 6giớ sáng về phía B. N đi từ
B lúc 7giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng
đờng AB. Biết M đến B trớc khi N đến A là 1giờ 20phút.
7/ Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế bằng nhau.
Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm một hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế
mới đủ chỗ. Tính lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế.



=++
=
400)1)(1(
360.
:
yx
yx
HPT
8/ Hai ô tô khải hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau. Tính quãng đờng AB
và vận tốc mỗi xe. Biết rằng sau 2giờ hai xe gặp nhau tại địa điểm cách chính giữa quãng đ-
ờng AB là 10km. Và nếu xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì 2 xe gặp nhau sau 1giờ 24
phút .

6

=
ax
x
ax
2
0
2. So sánh CBHSH
* a, b là các số không âm: a < b


a
<
b
3. Căn thức bậc hai
* Với A là một biẻu thức đại số: ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
*
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0.
4.Các công thức biến đổi căn thức:
1)
2
A A=
6) A


0, B > 0 ) 8)
A A B
B
B
=
(A

0, B>0 )
4)
2
A B A B
=
( B

0 ) 9)
( )
T A B
T
A B
A B
=


m
(A, B

0 )

5) A = (A, B 0 ) 10)






++
D.
2 2
199. 100 99 199
=

Bài toán 2: Điền dấu x vào ô Đúng hoặc Sai tơng ứng với các khẳng định sau:
1.
Các khẳng định Đúng Sai
Nếu a

N thì luôn có x

N sao cho
x
= a
Nếu a

Z thì luôn có x

Z sao cho
x
= a
Nếu a



x
xác định khi x

2
x

xác định khi x

0

1
1

+
x
x
xác định khi x

0 và x

1
2
3

x
xác định khi x

2
144

( )
2
1 0a
+ =
a = -1
C.
( )
2
2a
= 2 - a với a < 2 D.
( )
2
2 2a a
=
Bài toán 4: Chọn kết quả đúng ở các phép tính sau:

8
A.
7 3. 7 3 2
+ =
B.
5 3. 5 3 2
+ =
C.
2 2 . 2 2 2 + =
D.
2 2 2. 2 2 2 2 + =
Bài toán 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai:
a) Mọi số thực đều có căn bậc hai.
b) Mọi số thực không âm đều có ít nhất một căn bậc hai.

3
) 2 4 + 2
3
6 - 2
3
D
27
+
3
24 12 - 4
3
12 + 4
3
24
Dạng 2: Trắc nghiệm điền khuyết
Bài toán 1:
1. Điền các số thích hợp vào chỗ trống (. . . ) để đợc các khẳng định đúng:
A. Căn bậc hai số học của . . . là 0,5
B. Căn bậc hai số học của 0,16 là . . .
C. Căn bậc hai của . . . là

0,04
D. Căn bậc hai của 1,44 là . . .
2. Điền hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào chỗ trống (. . . ) để đợc các khẳng định
đúng:
A.
12
+
x
có nghĩa khi . . . B.

9
1. Căn bậc hai của 16 là
A. 4 B. -4 C. 4 và -4 D. 8 và -8
2. Căn bậc hai số học của 9 là
A. 3 B. -3 C. 3 và -3 D. 81
3. Căn bậc hai của 5 là
A.
5
B. -
5
C.
5
và -
5
D. 25
2. Căn bậc hai số học của 121 là
A. -11 B. 11 C. 11 và -11 D. Một kết quả khác
3. Kết quả của phép tính
223

là
A. 1-
2
B. 1+
2
C.
2
-1 D.
3
-

thành nhân tử
D. là
( )( )
yxyxyx
++
E. là
( )( )
yxyxyx
++
2.
1. Kết quả phân tích x +
x
- 2 thành nhân tử A. là (
x
- 1)(
x
- 2 )
2. Kết quả phân tích x +3
x
+ 2 thành nhân tử B. là (
x
- 1)(
x
+ 2 )
3. Kết quả phân tích x
x
- 2 thành nhân tử C. là (
x
+ 1)(
x

31
3
31
271

















+


=
b. 6
C.
=



D.
32
1
:
6
2332

+
d. 1
II-bài tập tự luận
Dạng 1: Tính toán, rút gọn, biến đổi biểu thức
có chứa các căn bậc hai số học

10
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính
a)
3616949
+
; b)
25,016,001,081,064,009,0
++
;
c)
16
9
1
16
9
; d)
( ) ( )

ax
2
0
+ Bình phơng của các số tự nhiên từ 1 đến 20 để tính toán nhanh:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
+ Các công thức về phép toán luỹ thừa nhất là đối với số thập phân, phân số.
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là bình phơng của một tổng, một hiệu. Chú ý cách
biến đổi các biểu thức về dạng bình phơng của một tổng, một hiệu:
* Dạng 1:
( )
2
1 1 - a 1 - a2
=
a
( ) ( )
1 2 1 .122 2 1 22 2 22 3
2
2
2
+=++=++=+
( ) ( )
1 3 1 .132 3 1 32 3 32 4
2
2
2
+=++=++=+
( ) ( )
1 5 1 .152 5 1 52 5 52 6
2

2
2
2
=+=+=
( ) ( )
1 - 6 1 .162 - 6 1 62 - 6 62 - 7
2
2
2
=+=+=
( ) ( )
1 - 2005 1 .120052 - 2005 1 20052 - 2005 20052 - 2006
2
2
2
=+=+=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
* Dạng 2:
( )
2
b a b ab2
=+
a
( ) ( ) ( )
222
2 3 2 232 3 2 232 3 62 5
+=++=++=+
( ) ( ) ( ) ( )
2222
3 2 3 4 3 342 4 3 342 4 122 7 34 7

5 - 3 5 - 2
+
e)
( ) ( )
22
2 3 - 2 - 3
+
=
16
9
16
25

=
( ) ( )
5 - 3 2 - 5
+
= ( 2 -
3
) - (
3
+ 2)
=
22
4
3
4
5



g)
223223
+
=
( ) ( )
22
1212
+
=
( ) ( )
1212
+
=
1212
++
= 2
h)
2232121
+++
=
( ) ( )
122121122121
2
+++=+++
=
22321
++
=
( ) ( ) ( )
121222312211221


Cách giải: Vận dụng công thức đa một thừa số ra ngoài dấu căn để biến đổi các biểu thức đã
cho về dạng các căn thức đồng dạng để tính toán.
Trình bày lời giải
a)
82

=
( )
2 - 2 - 12 22 - 2 4.2 - 2
===
b) 3
28273
+
=
2 - 2 22 - 33 - 33 2 4.2 - 9.3 - 33
=+=+
c)
12
1
3
1
4
3
++
=
3 3
6
1


5,24,0
+
=
10
10
7
10
2
1

5
1
10
2
1
10
5
1

2
5

5
2
=






Trình bày lời giải
a)
82
=
4 16 8.2
==
b)
180.27.15
=
180.27.15
=
5.3.2.3.5.3
223
=
242
5.3.2
= 2.3
2
.5 = 90
c)
( )
5.54520
+
=
0 5 15 - 10 5 225 - 100 5.5 5. 45 - 5.20
=+=+=+
Cách 2:
( )
5.54520
+

=
( ) ( )
22 3 - 2 22 1 3 - 2 1
22
=++=+
h)
( )( ) ( )
3 - 52.15 - 4.15 4.15 4 15 - 4610154
++=+

=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 - 53 5 3 - 5 . 1. 3 5 3 - 5 .15 - 4.152 8
22
2
+=+=+
=
( ) ( )
2 3 - 5 3 - 5
22
==
Ví dụ 4. Thực hiện phép tính
a)
5
20
b)
7 : 28
c)
( )
2 : 8 - 18

d) ;
8
7
c) ;
50
1
b) ;
5
3
)
7532
a
2. Trục căn thức ở mẫu
a)
3
3
; b)
5
2
; c)
3 - 5
4
; d)
2005 - 2006
1
; e)
23 - 32
6

Cách giải: Biến đổi mẫu của biểu thức lấy căn thành số chính phơng bằng cách nhân cả tử và

10000
55

2000
11
e)
; 30
12
1

144
30

6.24
5.6

24
5
d) ;14
4
1

16
14

8
7
c)
; 2
10

3
=
( )
3
3
2
=
3
; b)
5
2
=
( )
2
5
5.2
=
5
5
2
;
c)
3 - 5
4
=
( )
( ) ( )
( )
( )
3 5 2