Kiểm tra kiến thức cũ:
1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:
a)Vì nên N là trung điểm của đoạn MP
1
0 (0 0 )
2
I A B 
  
0AB BC CD DA   
    
, ,AB AC AD
 
2 8AB AC AD 
  
0NM NP 
  
b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0
bất kì ta có:
c)Từ hệ thức ta suy ra 3 véc tơ
sau đồng phẳng.
d) Vì nên 4 điểm A,B,C,D
cùng thuộc một mặt phẳng.
d)
Kiểm tra kiến thức cũ:
2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính tích
vô hướng của 2 véc tơ sau: ; ;
c)
.AB AC
 
.AC CB
 

 
2
1
2
a
2
1
2
a 
0
Để giải bài toán trên.
Một em hãy nhắc lại cách xác định
Góc giữa 2 véc tơ và
Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ
Ôn tập kiến thức: Tích vô hướng của 2 véc tơ
1. Góc giữa 2 véc tơ:
0
A
B
. 0a b 
 
* . 0a b a b  
   
0 hay 0 a b 
   
2
2
* .a a a a 

  

D
C'
D'
B'
A'
Cặp đường thẳng
nào không vuông
góc với nhau?
a) AC & BD
b) AB & B’C’
c) AC & B’C’.
d) AC’ & BD
Đó chính là nội dung bài
học hôm nay.
Cơ sở nào biết được?
§2.Hai đường thẳng vuông góc
. os( , )u v u v c u v
     
1.Góc giữa hai véc tơ trong không gian:
2. Tích vô hướng của hai
véc tơ trong không gian:
I.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
0
B
v

u

0 0


 
Lời giải:
Với tứ diện đều, ta có:
0
( , ) 150CH AC 
 
b)
a)
B’
A’
Ví dụ2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa 2 véc tơ
0
( , ) 120OM BC 
 
.
( , )
.
os
OM BC
OM BC
OM BC
c 
 
 
 
.
2
. 2

1
( ).( )
2
OA OB OC OB  
   

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:
Do đó: Vậy:
Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ:
b)Tính: & từ đó suy ra .
' &AC BD
 
, , 'AB AD AA
  
OS( ', )C AC BD
 
'AC BD
 
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Ta có:
Lời giải:
' 'AC AB AD AA  

( ', ) 90AC BD 
 
'AC BD
 

Mà:
Ta có:
Vậy
*
0

b

d
Véc tơ nào là véc tơ
chỉ phương của
đường thẳng (d) ?
a

c

II.VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
*ĐN: ,được gọi là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng (d) nếu giá
của véc tơ song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).
a

0a 
 

u v u v

 


  


   
   
Thì:
Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C.
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Lời giải:
a) Góc giữa 2 đường thẳng:
AB và B’C’ là: 90
0
b) Góc giữa 2 đường thẳng:
AC và B’C’ là: 45
0
c) Góc giữa 2 đường thẳng:

 
 
2
2
1
2
( , )
2
os
a
SC AB
a
c

  
 
0
( , ) 120SC AB 
 
2
. .
( , )os
SA AB AC AB
SC AB
a
c


   
 

*
Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 90
0

thì 2 đường thẳng đó
như thế nào?
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1.ĐN:
0
( , ) 90a b a b  
2. Nhận xét:
* Nếu lần lượt là véc tơ chỉ phương
của 2 đường thẳng a, b thì:
,u v
 
. 0a b u v  
 
* a // b , nếu c a thì c b.


* a b 
Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD.
CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vuông góc với nhau.


: v PQ PB BD DQ  
   
. .AC AB BD AB 

D'
B'
A
D
C'
B
C
Lời giải:
a) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vuông với AB là:
BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’
CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C
b) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vuông với AC là:
AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’.
Củng cố:
1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2
đường thẳng trong không gian.
2) Biết dùng tích vô hướng để giải toán:
* . os( , )u v u v c u v
     
0 0
0 0 0
( , ) khi 0 ( , ) 90
( , )
180 ( , ); khi 90 ( , ) 180
u v u v
a b
u v u v
