ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V
§1. Khái niệm đạo hàm:
• Định nghĩa:
.
x
y
lim )(x 'y
0 x
0
∆
∆
=
→∆
Trong đó
).f(x - x) f(x y ; x- x x
000
∆+=∆=∆
• Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Bước 1: Cho x một số gia ∆x rồi tính ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
).
Bước 2: Tìm giới hạn
.
x
y
lim
0 x
∆
∆

0
).
• Đạo hàm của hàm số trên một khoảng:
+ Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại ∀x ∈ J.
+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f ’(x) xác định bởi
R J :'f
(x)' f x →
→
gọi là đạo hàm của hàm số f(x).
• Đạo hàm của vài hàm số thường gặp:
.
x2
1
'y x y d) 2; n N, n nx 'y xy c) 1; 'y x y b) 0; 'y c y a)
1-nn
==≥∈∀=⇒==⇒==⇒=
Bài tập áp dụng:
1. Dùng định nghĩa để tính đạo hạm của mỗi hàm số sau tại điểm x
0
đã chỉ ra.
a) y = 3- 5x với x
0
= - 1, x
0
= 2, x
0
= 5; b) y = 3x
2
– 4x + 1 với x
0

+
=
liên tục tại x
0
= 0 nhưng không có đạo hàm
tại điểm đó.
5. Tìm b, c sao cho đồ thị hàm số y = x
2
+ bx + c tiếp xúc với đường thẳng y = x tại
điểm (1 ; 1).
6. Cho hai hàm số
2
x
y và
2x
1
y
2
==
. Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị các
hàm số đó tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V
§2. Các quy tắc tính đạo hàm
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x)’ = 1
(x
n
)’ = nx
n-1








( )
x2
1
x
'
=

( )
u2
'u
u
'
=

( )
' v u' vu
'
±=±
(uv)’ = u’v + uv’ (ku)’ = ku’ (k là hằng số)

2

v

'
x
'
u
'
x
u.y y =
Bài tập áp dụng :
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
( )
1 2t
1 -2t - 3t
y c) );3x - 5)(2 )(3x2x - (1 y b) ;1 x - 2x - xx y a)
2
42323
+
=+=+=
2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
( )
;
2x- 1
3x - 1
y c) ;5t
t
1
- t y b) ;2x - 1 y a)
7
3
100
=

1 x 2x
y
2
+
++
=
có đồ thị (C). Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ
được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
6. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 3 có đồ thị (C). Chứng minh rằng trong tất cả
các tiếp tuyến của (C) có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình
tiếp tuyến đó.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 2
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V
§3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
•
1
x
sinx
lim
0 x
=
→
• (sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu
• (cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu
•
( ) ( )

tany c) ;
sinx
x

x
sinx
y b)
2
+
=+=
;
x
x 1
cot y g) ; x- 1sin y e) ;
tanx 1
xsinx
y d)
2
2
+
==
+
=
h) y = sin(sin
2
x); i) y = cos
3
(sin
2
3x);







+
π
+






π
+






+
π
+






3
sin3x
sinx f(x) +++=
Chứng minh rằng
.
2
1
)
9
(' f =
π
7. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện ban đầu tại x = x
0
sau đây:
a) f ’(x) = 3x
2
– 2x + 1, f(0) = 1
b) f ’(x) = cosx + sinx, f(0) = 1
c) f ’(x) =
x
2
cos
1
, f(0) = -1.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 3
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V
§4. Vi phân
• Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia ∆x: df(x
0

v
udv -vdu

v
u
d
2
≠=






3. Tính vi phân của các hàm số sau:
.
x- 1
cos2x
y c) x;sin y b) x; tany a)
2
102
===
.
x- 1
3xcos
y g) 3x;cos y e) 2x;cot y d)
2
2
102
===