Phơng pháp giải toán cực trị
M U
I. t vn :
Trong thc t chỳng ta thng gp nhng bi toỏn l i tỡm cỏi "nht" trong nhng rng buc
no ú (nhiu nht, ớt nht, nhanh nht, chm nht, ngn nht, tt nht, r nht, p nht ).
Vỡ vy, cỏc bi toỏn tỡn giỏ tr ln nht (cc i) v giỏ tr nh nht (cc tiu) ca mt i
lng gi chung l bi toỏn tỡm cc tr thng xuyờn cú mt trong cỏc kỡ thi tt nghip THCS, thi
vo lp 10 THPT, hay thi vo cỏc trng Cao ng, i hc cng nh cỏc thi hc sinh gii
nhiu nm, cỏc bi toỏn ny rt phong phỳ ũi hi phi vn dng kin thc mt cỏch hp lớ, nhiu
khi khỏ c ỏo v bt ng. bc THCS ( ch yu hc sinh khỏ, gii) ó c lm quen vi loi
toỏn ny vi dng chuyờn . Tuy nhiờn khi tỡm hiu thờm mt s ng nghip thỡ thy nú cng
khụng d dng vi hc sinh .
Cn c vo nhng lớ do trờn, ti c chn l: "Mt s phng phỏp gii toỏn cc tr ".
Do nhiu iu kin cng nh kinh nghim cũn hn ch, hn na, õy l vn tng i rng nờn
khụng th trỏnh khi sai sút. Rt mong s chớ bo quớ bỏu ca cỏc thy cụ v s úng gúp chõn
thnh ca cỏc bn ng nghip.
Tụi xin by t lũng bit n sõu sc !
Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
1
Phơng pháp giải toán cực trị
KIN THC C BN
I - nh ngha:
1- nh ngha 1:
Cho biu thc f(x,y, )xỏc nh trờn min D, ta núi m l giỏ tr ln nht ca f(x,y, ) trờn D
nu 2 iu kin sau c tho món:
i) Vi mi x,y, thuc D thỡ f (x,y, ) m vi m l hng s.
ii) Tn ti x
o
, y
o
thuc D sao cho f (x,y, ) = m

,khi ú ta cú cụng thc sau:
a) Max f(x) =Max Max f(x) , Max f(x)
xD x D
1
xD
2
Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
2
Phơng pháp giải toán cực trị
b) Min f(x) =Min Min f(x) ,Min f(x)
xD xD
1
xD
2
Chỳ ý : T tớnh cht trờn cho phộp chuyn vic tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca mt hm s trờn
tp hp D phc tp v cỏc giỏ tr tng ng cỏc tp D
1
,D
2
n gin hn .Chớnh vỡ vy tớnh cht ny
c gi l "Nguyờn lý phõn ró".
3: Tớnh cht 3: Nu f(x,y) 0 vi mi x thuc D, ta cú :
a) Max f(x) =
2
ax ( )M f x
Max f(x) =
2
ax ( )M f x
x D x D x D x D
4: Tnh cht 4:

2a b ab+
du = xy ra

a = b.
Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
3
Phơng pháp giải toán cực trị
Vi n s khụng õm:
1 2 1 2

n n
a a a n a a a+ + +
du = xy ra

1 2

n
a a a= = =
IV - Nhng sai lm thng gp khi gi toỏn cc tr.
1 - Sai lm trong chng minh iu kin 1:
Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
2
3
4 4 5
A
x x
=
+
Li gii sai: Phõn thc A cú t s l s khụng i nờn A cú giỏ tr ln nht khi mu nh nht.
Ta cú: 4x

1
ax
4
M B =
khụng phi l giỏ tr ln nht ca B,
chng hn vi x = 3 thỡ
1 1
5 4
>

Mc sai lm trờn l do khụng nm vng tớnh cht ca bt ng thc ó mỏy múc ỏp dng quy tc so
sỏnh sai phõn s cú t s, v mu s l s t nhiờn sang hai phõn s cú t v mu l s nguyờn.
Li gii ỳng: B sung thờm nhn xột: 4x
2
- 4x + 5 = ( 2x - 1)
2
+ 4 4 nờn t v mu ca A l cỏc
s dng. Hoc t nhn xột trờn suy ra A > 0, do ú A ln nht khi v ch khi mu s nh nht
4x
2
- 4x + 5 nh nht. Vy giỏ tr ln nht ca A l
1
4
khi
1
2
x =

Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
4

= 4x - 4 ⇔ (x - 2)
2
= 0 ⇔ x = 2
Dẫn đến x
2
= 4 ⇔ x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x
2
= 0 ⇔ x = 0
Cách giải đúng: Ta có x + y = 4
⇔
x
2
+ 2xy + y
2
= 16 (1)
Ta lại có ( x - y)
2
≥ 0 ⇒ x
2
- 2xy + y
2
≥ 0 (2)
Từ (1) và (2): 2(x
2
+ y
2
) ≥ 16 ⇒ x
2
+ y

−
xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
1
2
x = −
(Vô lý)
Giái đúng: Để tồn tại
x
phải có x
≥
0
Do đó A = x +
x
≥ 0
min A= 0 ⇔ x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
A = xyz( x + y)( y + x)( z + x)
Với x,y,z ≥ 0 và x + y + z = 1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ ( a + b)
2
4( x + y)z ≤ ( x + y + z)
2
= 1
4( y + z)x ≤ ( y + z + x)
2
= 1
4( z + x)y ≤ ( z + x + y)
2
= 1
Nhân từng vế ( do hai vế đều không âm):



⇔
0
1
, , 0
x y z
x y z
x y z
= = =


+ + =


≥

mâu thuẫn
Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho 3 số không âm
1 = x + y + z ≥ 3 .
3
xyz
(1)
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
6
Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
2 = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ≥ 3 .
3
( )( )( )x y y z z x+ + +
(2)

2. Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x
2
- 4x + 1
3. Tìm cực trị nếu có của C = - 3x
2
- 4x + 1
4. Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải: Nhận xét các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hại.
1. A = x
2
9x + 1 = ( x - 4)
2
- 15 ≥ - 15 ⇒ min A = - 15 ⇔ x = 4
2. B = 2x
2
- 4x + 1 = 2( x -1)
2
- 1 ≥ -1 ⇒ min B = - 1 ⇔ x= 1
3. C = - 3x
2
- 4x + 1 = -3 ( x - )
2
+ ⇒ c = ⇔ x =
4. P = ax
2
+ bx + c = a( x

Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = ( x
2
+ x + 1)
2
Hng hdn gii: Min A Min (x
2
+ x + 1)
Bi toỏn trờn l dng c bit ca mt bi toỏn sau: B = [f(x)]
2
(k N)
Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca C = x( x - 3)(x - 4)(x - 7)
Hng dn gii: Dựng phng phỏp i bin.
Dng 3: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca phõn thc m cú t l hng s, cú mu l tam thc bc
hai.
Vớ d: Tỡm giỏ tr ln nht ca M =
Dng ny phi chỳ ý n du ca t thc.
Dng 4: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca phõn thc cú mu l bỡnh phng nh thc:
Vớ d: Tỡm gi tr nh nht ca P =
Hng dn gii: P = 1 - +
t y = , cú P = y
2
+ y - 1 - ( y - )
2
+
Min P = y = x = 1
Cỏch 2: Vit N di dng tng ca mt s vi mi biu thc khụng õm.
P = = +
2

Min P = x = 1

1
(x + 1)
2
1
x + 1
1
2
3
4
3
4
3
4
1
2
4x
2
+ 4x + 4
4(x + 1)
2
x - 1
2(x - 1)
3
4
3
4
Phơng pháp giải toán cực trị
Bit x, y l nghim ca phng trỡnh: 5x + 2y = 10
Ta cú 5x + 2y = 10 y = A = (- 59x
2

- 2x + y
2
+ 4y + 5
3 - Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau:
P = 2x
2
+ 5y
2
vi 4x - 3y = 7
Q = a
3
+ b
3
+ ab vi a + b = 1
* Tiu kt: Loi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, nh nht bng phng phỏp tam thc bc hai l c bn
nht, hiỳp hc sinh d lm quen vi toỏn cc tr. Rốn k nng gii toỏn, i bin mt cỏch linh hot
phự hp vi tng loi toỏn bin i cỏc bi toỏn dng khỏc v dng tam thc bc hai.
Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
9
10 - 5
2
1
4
59
4
160
59
125
59
80

(1)
Do x
2
+ x + 1 0 nờn (1) ax
2
+ ax + a = x
2
- x + 1
(a - 1)x
2
+ (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)
TH
1
: Nu a = 1 thỡ (2) cú nghim x = 0
TH
2
: Nu a 1 thỡ (2) cú nghim, cn v l 0, tc l:
(a + 1)
2
- 4(a - 1)
2
0
(a + 1 + 2a - 2)(a + 1 - 2a + 2) 0
Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c
10
x
2
- x + 1
x
2

M = Max f(x) ⇔
m = Min f(x) ⇔
Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D nào đó, ta tiến hành
theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
11
1
3
1
3
-(a + 1)
2(a - 1)
a + 1
2(a - 1)
1
3
1
3
x
2
+ x + 1
x
2
+ 1
x
2
+ 3x + 1
x
2

2k
≥ 0, k nguyên dương.
xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0.
3 . a ≥ 0 xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
4. - a ≤ a ≤ a xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
5. a + b≤ a+b xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu).
a -b≤ a-b xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu).
a + b + c ≤a+b+c.
xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0; ac≥ 0
6. a ≥ b ; ab ≥ 0 ⇒ a ≤ Xảy ra dấu đắng thức ⇔ a = b
7. + ≥ 2 với a, b cùng dấu
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
8. Bất đẳng thức Côsi:
≥ √ ab ( hoặc a
2
+ b
2
≥ 2ab)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
+ Đối với ∀ a ≥ 0; i = 1 , , n
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
12
1
b
a
b
b
a
a - b
2

n( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
n
b
n
)≤ ( a
1
+ a
2
+ +a
n
) .( b
1
+ b
2
+ + b
n
)Dấu bằng xảy ra ⇔ a
i
= a

+ z
2
+ x
2
)
⇒ 1≤ ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(1)
Mặt khác , đối với ( 1,1 1) và ( x
2
, y
2
, z
2
), ta có :
1. (1. x
2
+1. y
2
+ 1. z
2
) ≤ ( 1
2
+ 1

1
b
1
a
j
b
j
a
1
≥ a
2
≥ ≥ a
n
b
1
≥ b
2
≥ ≥ b
n
1
3
1
3
1
1
3
1
3
1
3

a + b ≤ √2( a
2
+ b
2
)
A = √x-1 + √y - 2 ≤ √2( x-1 + y -2) = √2
Max A = √2 ⇔ ⇔
Cách khác : Xét A
2
rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b . Điều kiện : x≥ 1 ; y ≥ 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
14
√x - √x -
√x - 1
x
√y - 1
y
a+ b
2
x- 1 = y-2
x + y =4
x= 1,5
y = 2, 5