dcq
1. TRUONG THPT LE HOAN
22 Phương pháp chứng minh qui nạp
2. 1.Chứng minh rằng :
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+ n
2
=
c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n
2

d) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ …+ (2n – 1)
2
=
e) 1
3
+ 2
3

14. c) 4
2n +2
– 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2
n+2
> 2n + 5
15. d) n
3
+ 3n
2
+ 5n chia hết cho 3 e) 4
n
+ 15n – 1 chia hết cho 9
16. e) 3
n – 1
> n ∀ n > 1 f) 3
n
> 3n + 1 g) 2
n
– n >
17. f)11
n +1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133 g) 5.2
3n – 2
+ 3
3n – 1
chia hết cho 19
18. g) 2n
3

27. 6.Cho n số thực dương x
1
,x
2
,…,x
n
thỏa mãn điều kiện x
1.
x
2.
…x
n
= 1
28. Chứng minh rằng: x
1
+

x
2
+ …+ x
n
≥ n
29. 7.Cho n số thực x
1
,x
2
,…,x
n
∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng:
30. (1 – x

n
= (1 + )
n
d) u
n
=
35. 2.Cho dãy số u
n
=
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) số là số hạng thứ mấy của dãy số
c) số là số hạng thứ mấy của dãy số
36. 2.Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5.4
n – 1
+ 3

dcq
37. Chứng minh rằng: u
n + 1
= 4u
n
– 9 ∀ n ≥ 1
38. 3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
39. a) u
1
= 3 ; u

42. g) u
1
= 1 ; u
n +1
= u
n
+ 1 g)

u
1
= 1 ; u
n +1
= u
n
+ ()
n

43. 4.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 0 ; u
2
= 1 ; u
n + 2
=
44. a)Chứng minh rằng: u
n + 1
= – u
n

2
= – 2 ; u
n
= 3u
n – 1
– 2u
n – 2
b) u
1
= 1 ; u
2
= 2 ; u
n
= 4u
n – 1
– 3u
n – 2
50. 5.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= u
n
+ 7 ∀ n ≥ 1
51. a)Tính u
2
, u
4

) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 5u
n
∀ n ≥ 1
57. a)Tính u
2
, u
4
và u
6
58. b)Chứng minh rằng: u
n
= 2.5
n – 1
∀n ≥ 1
59. 8.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3u
n
+ 2n – 1 ∀ n ≥ 1
60. Chứng minh rằng: u
n
= 3

66. 10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
67. a) u
n
= b) u
n
=
68. c) u
n
= n – d) u
n
=
69. 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
70. a) u
n
= b) u
n
= n
2
– 5 c) u
n
= d) u
n
= (– 1)
n
.n e) u
n
= 2
n

71. f) u

= – 2 g) u
n
= h) u
n
= (– 1)
n
(2
n
+ 1) k) u
n
=
77. l) u
n
= 2n + m) u
n
=
78. 5.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
= a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (u
n
) là dãy số giảm
b) (u
n
) là dãy số tăng
79. 5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) a) u
n
= b) u

+ 4
b) a)Chứng minh rằng u
n
< 8 ∀ n

dcq
c) b)Chứng minh rằng dãy (u
n
) tăng và bị chặn
86. 7.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức
a) u
1
= 1 và u
n +1
=
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b) b)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn dưới bởi số 1 và
c) bị chặn trên bởi số 3/2
87. 8.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
21 Chứng minh rằng u

= tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u
1
= 1;u
n + 1
= tăng và bị chặn trên bởi
94. 11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (u
n
) với u
n
=
95. Cấp số cộng
96. 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a
10
= 15 ; a
5
= 5 .Tính a
7
97.2.Cho cấp số cộng thoả mãn



=+
=−+
8aa
10aaa
62
473
Tính a
5


=+
=+
1170aa
60aa
2
12
2
4
157
101. 5.Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400.Hỏi
cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
102. 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng :
a) a
2
+ 2bc = c
2
+ 2ab
b) 3 số a
2
+ ab + b
2
; a
2
+ ac + c
2
; b
2
+ bc + c
2

+ 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số
cộng
111. 9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8,
112. tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
113. 10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp
114. số cộng
115. 11.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

dcq
116. a)các số a
2
, b
2
, c
2
lập thành 1 cấp số cộng
117. ⇔ các số
,

,
lập thành 1 cấp số cộng
118. b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số
119.
,

,
lập thành 1 cấp số cộng
120. 12.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập
121. thành 1 cấp số cộng ⇔ tg
.

n
) : 4,7,10,13,16,
a. (v
n
) : 1,6,11,16,21,
135. Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng chung
136. 19.Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận
tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì
hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km
137. 20.Cho dãy số (u
n
) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là S
n
được xác định theo công
thức sau: S
n
=
138. a)Hãy tính u
1
,u
2
,u
3
139. b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
140. c)Chứng minh rằng: (u
n
) là một cấp số cộng ,xác định công sai
141. 21.Cho dãy số (u


145. 22.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u
n
+ n ∀n ≥ 1
146. Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
∀ n ≥ 1
147. a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
) bằng
u
k + 1
– u
1

148. b)Chứng minh rằng: dãy số (v
n

n
) xác định bởi: u
1
= – 2 và u
n +1

= ∀n ≥ 1
154. a)Chứng minh rằng: u
n
< 0 ∀n ∈ N
155. b) Đặt v
n
= . Chứng minh rằng: (v
n
) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra biểu thức của u
n
và v
n

156. 24.Cho hai cấp số cộng (u
n
) và (v
n
) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là S
n
= 7n + 1 và S
n
’ =
4n + 27. Tính tỉ số
157. 25. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S

2
Tìm u
q

161. 28.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n
2
và S
m
= m
2
. Chứng minh rằng:
162. u
m

= 2m – 1 và u
n

= 2n – 1
163. 29.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n(5n – 3). Tìm số hạng u
p

164. Cấp số nhân

728aa
531
17
tìm a
4
; S
5
168. c)



=+
=+
20aa
1460aa
31
17
tìm a
2
; S
5

d)



=+−
=+
65aaa
325aa

= 3.u
n
2
– 10 ∀n ≥ 1
172. Chứng minh rằng: (u
n
) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân
173. 3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có
174. công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
175. 4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có
mấy số hạng
176. 4. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
177. 5.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng
a) 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62
178. 6.Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số
a) hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
179. 5. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen
180. ngày trước.Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì
a) tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
181. a)Khi đầy hồ có mấy lá sen
182. b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ
183. 6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng
a) (a + b + c)(a – b + c) = a
2
+ b
2
+ c
2

a) (bc + ca + ab)



=
=++
3375c.b.a
65cba
189. 10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1 cấp số cộng .Tìm công
bội của cấp số nhân

dcq
190. 11. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng
191. thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ ba và thứ chín
192. của một cấp số cộng khác
193. 12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21,
194. đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ hai và thứ
195. tư của 1 cấp số cộng khác
196. 13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh
197. lập thành 1 cấp số nhân
198. 14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5
199. số nữa để được 1 cấp số nhân
200. 15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng
201. 3 số hạmg đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
202. 16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc
người đi bộ.Hỏi xe máy
203. cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
204. 17.Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của
205. các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác A
1
B
1


A
1
B
1
C
1
,

A
2
B
2
C
2

209. 18.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân .
210. Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 60
0

211. 19.Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số
212. nhân có công bội q = 2. Chứng minh rằng :
a) a)
b) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C =

2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c
2
+ d
2
)
c) (d – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= (d – a)
2
219. 25.Một cấp số cộng và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số hạng thứ hai của cấp số
cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau.
220. Tìm các cấp số đó
221. 26.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 1;đồng thời các số x ,2y ,
3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai d ≠ 0.Hãy tìm q
222. 27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x – 1 , y
+ 2 , x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
223. 27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời các số x + , y –
1 , 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
224. 28.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân;đồng thời các số x , y – 4 , z theo thứ tự đó

n
và v
n
229. BAN NAO KHONG HIEU CAN THEM BAI TAP LIEN HE THAY :TRINH TAN LINH SO
DIEN THOAI 0937330126