Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 0 -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM
GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG
2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 149/7 Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0918.306.113
6. E-mail:
7. Chức vụ: Gíao viên Toán
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán.


phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng dành cho nó rất ít. Do đó,
tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn
hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên.

III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức
Bất đẳng thức phụ:
Cho 2 số dương a, b ta có:

1 1 1 1
4
a b a b
 
 
 

 
 Hay
1 1 4
a b a b
 
 
 

 

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a b



 
 
    
 
       
 
 
       
  
 
 
    
  
ac bc ac bc
ac bc ac bc
ac bc ac bc a b c c c
2
2 2
2 2
1 1 1 1
. 4
1 1 4 4 4
( ) (1 )

Ta sẽ chứng minh rằng
4
16
(1 )c c



1
2Lời giải 2: (Áp dụng BĐT phụ)
Áp dụng BĐT  ta có:
ac bc c a b c a b
c a b
2
1 1 1 1 1 4 4
16
( )
2
 
     
 

 
 
 
 
 
.
Đẳng thức xảy ra 
c a b
1 1
,
2 4
  
.


Từ BĐT phụ trên chúng ta cũng có thể chứng minh được các bài toán BĐT khó hơn .
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
)
111
(
2
1111
cbaaccbba







Lời giải:
Áp dụng BĐT ta có
1 1 1 1
4
a b a b
 
 
 

 
(1)
1 1 1 1
4

Đẳng thức xẩy ra
a b c
  Ví dụ 3. Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
)
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a


 
(1)
tương tự:
1 1 1 1 2
2 16
b c a a b c
 
  
 
 
 
(2)

1 1 2 1 1
2 16
c a b a b c
 
  
 
 
 
(3)
Cộng (1)+(2)+(3) ta được:
)
111
(
4
1
2
1


Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai
- 5 -
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Nhận xét:
+ Trong Ví dụ 3 cho
1 1 1
4
a b c
  
và đổi biến a,b,c lần lượt thành x,y,z thì bài toán trở
thành đề thi đại học năm 2005 khối A.
Cho
, ,
x y z
là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
  
. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
2 2 2
x y z x y z x y z
  
     

+ Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ 2 ta có:
1 1 1 1 1 1

2
22 21
a b c a b b c c a
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b
 
    
 
  
 
 
  
 
     
 
 
  
 
     
 
 
  
 
     
 
 
  

     
 
 
Từ
đây quan sát và tổng quát hóa ta có BĐT mở rộng 1 :
Cho ba số dương a, b, c ,
*
n N
  thì
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n n
a b c
a b c a b c a b c
 
 
    
 
        
 
     
 
 

www.MATHVN.com www.MATHVN.com

5
2 1
1 1 1 1 1 1
( ) 2
1 1 1
2
2 2 2
1 1 1
2
2 3 3 3 2 3 3 3 2
1 1 1
2
5 5 6 6 5 5 5 6 5
1 1 1
2
11 10 11 11 11 10 10 11 11

1
2
2
n
a b c a b b c c a
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c

 
    
 

        
 
 
 
 
        
 
     
 
 

BĐT mở rộng 2:
Cho ba số dương a, b, c ,
*
n N
  , ta
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n n
a b c
a b c a b c a b c

        
 
 