Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
1
PHẦN MỞ ĐẦU
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
2
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến
thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức
để giải các bài toán có liên quan.
Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách v ận dụng
ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
4
Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho hai số thực
ba,
bất kỳ, ta định nghĩa:
0 baba
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

cbcaba 

bacbca 

bcacba 

ba 
dc 
fdbeca 
fe 

ba 
và
mbmam  0

ba 
và

a a a n 
, ta luôn có:
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
n a a a
n
  

Dấu “=” xảy ra
1 2

n
a a a   
Mở rộng: Cho n số dương
 
1 2
, , , 2
n
a a a n 
và n số
1 2
, , ,
n
  

Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:
 
  
2222
2
dcbabdac 
Dấu “=” xảy ra
d
b
c
a

Tổng quát: Cho n số
1 2 1 2
, , , và , , ,
n n
a a a b b b
tùy ý ta có:
 
   
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b         
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2

1 1 1 2 2 2
: : : : : : : : :
n n n
a b c a b c a b c   
1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli
Cho
1a
và
Nr
:
 Nếu
1n
thì
 
naa
n
 11
dấu “=” xảy ra
0 a
hoặc
1n
 Nếu
1 na
thì
 
naa
n
 11
1.3.5. Bất đẳng thức vectơ


- Nếu
1 2
P( , , , ) M
n
x x x 
(hoặc
1 2
( , , , ) M
n
f x x x 
)
1 2
( , , , ) D
n
x x x 
và
1 2
( , , , ) D
n
x x x 
sao cho:
1 2
P( , , , ) M
n
x x x 
thì M gọi là giá trị lớn nhất của
1 2
P( , , , )
n
x x x

1 2
P( , , , )
n
x x x
( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là minP hoặc P
min
(min
1 2
( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 min
( , , , )
n
f x x x
).
2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (h àm số) bằng
phương pháp vận dụng bất đẳng thức
Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì
có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá
thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu
trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những
phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông

P( , , , )
n
x x x 
.
Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp
dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng
thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vectơ.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3
2
( )f x x
x
 
(
0x 
)
Giải:
Ta có:
3
2 2 2 2
5
3 3 6
5
1 1 1 1 1 1 1 5
( ) 5
3 3 3 3
27
f x x x x x

27
tại
5
3x 
2.2. BÀI TẬP
2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các
thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai
phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu
thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng
thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 1: Cho ba số thực dương
cba ,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


































abc
abc
a
c
c
b
b
a
Hay
8P 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 cba
Vậy

1





 cba
cba 





1
1
1
1
2
1
1
c
c
b
b
acba 






www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
8
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
  
cb
bc
c
c
b
b





11
2
11
   
1
2
1 1 1
bc
a b c
 
  

1 1 1
8
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
   
   
   

  
  
           
1
8
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
 
     
Suy ra:
1
8
M abc 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1 1 1
1 1 1 2
a b c
a b c

hay
1
M
8
abc 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
2
abc ab bc ac a b c      
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
9
Vậy M
max
=
1
8
tại
1
2
a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho
1 2

1
n
a a a
n
   

Bài 3: Cho hàm số
2
4
4 4
( ) 1 1 1f x x x x     
xác định trên
 
D R : 1 1x x    
. Tìm giá trị lớn nhất của
( )f x
trên D.
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:
2
4
4 4
1 1
1 1 . 1
2
x x
x x x
  
    
(1)

x
x x
 
   
(5)
 
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(6)
Từ (5), (6) đưa đến:
1 1 2 1 1 1 3x x x x         
(7)
Dấu “=” ở (7) xảy ra khi v à chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi
0x 
.
Từ (4) và (7) suy ra
( ) 3 Df x x  
.
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình

   
1
2
1
x x
x x

  

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1 1
( ) 2 . 2 4
1 1
x x x x
f x
x x x x

 
    
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1
1 2
x x
x
x x

  


Từ đó ta có:
1
P 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y
x y z x y z
 
 
 
        
      
1
3
2
y x z x z y
x y x z y z
 
   
 
 
   
 
 
   
 
      
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn




Từ (*) ta có
a b c 
Vậy
min
3
P
2

với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa
a b c 
.
Bài 6: Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa:
1a b c  
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
     
S abc a b b c c a   
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:
3 3
3 1 3a b c abc abc    
(1)
Và
           

( ) 1 2
2
x
f x x x   
trên miền
1
D R : 1
2
x x
 
    
 
 
.
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
12
Giải:
Nhận thấy D là miền xác định của
( )f x
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 
 
2

2
x x
x x
x


  

    



  

Ta lại có:
(0) 1f 
Vậy
D
max ( ) 1
x
f x


Bài 8: Cho hàm số
 
2
2
1 2
( ) 1 1f x x
x x

x
 
 
 
 
Dấu “=” xảy ra
1x 
> 0.
Vậy
0
min ( ) 16
x
f x


tại
1x 
Bài 9: Cho ba số thức dương
, ,a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
13
   
1 1 1

a b c
        
1 1 1 1 1 1
A a b c a b c
a b c a b c
     
            
     
     
1 1 1
2 . 2 . 2 . 6A a b c
a b c
    
(BĐT Côsi)
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy MinA = 6 tại
1a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho
 
1 2
1 2
1 1 1
P . 1
n
n
a a a
a a a
 

3 3 3
3 3 3
1 1 1
P
ab bc ca
a b c
c a b
 
  
    
 
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
0, 0, 0a b c  
và
1abc 
Giải:
Ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
P 3
a a b b c c
b c c a a b
 
       
 
 
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn

a b ab b c bc a c a c a b ab b c bc a c a c
c c a a b b c c a a b b
     
4 2 5 4 2 5 5 2 4
3 3 3 3 3 3
6 6
a b ab b c bc a c a c
abc
c c a a b b
       
(3)
2 2 2 2 2 2
3
3 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc    
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
P 3 6 6 3 18    
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy P
min
= 18 tại
1a b c  
Bài 11: Cho n số dương
 
1 2 3
, , , , 2
n
x x x x n 
thỏa mãn

i
a
b i n
a
 
thì
0
i
b 
Và
1 2
1
n
b b b   
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
.
n
b
b b
n n
n
n n
x b
x x b b
x x x
a a a a a a

1 2 1 2 1 2
n n n
n n n
x x x x x
x x x x
a a a a a a a a a
  
        
  
 
1 2
1 2
1
1,2, ,
n i
i
n
x a
x x
x i n
a a a a a
       
Vậy
1 2
max 1 2
1
S .

P 4 3 4 3 4 3a b c     
.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
   
2
1. 4 3 1. 4 3 1. 4 3 1 1 1 4 3 3 3a b c a ab ac            
 
 
3 4 9a b c   
 
3 4.3 9 63  
P 4 3 4 3 4 3 3 7a b c       
Dấu “=” xảy ra
4 3 4 3 4 3
1 1 1
1 1
3
, ,
4
a b c
a b c a b c
a b c

  
 




Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
 
2
2
a b c a b c
a b c x y z x y z
x y z x y z
 
 
         
 
 
 
 
 
2
a b c x y z     
Dấu “=” xảy ra
b
a
c
y
a b c
x
z
x y z
x y z
     
(1)

 
 
D , , : , , 0 và 1x y z x y z xy yz zx    
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta d ược:
   
2
2 2 2 4 4 4
1. 1. 1. 3x y z x y z    
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
     
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy yz zx x y z x y z x y z         
Vì
1xy yz zx  
nên:
 
2
2 2 2
1x y z  
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
 
4 4 4
3 1x y z  
1


Bài 4: Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 3
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c b c a c a b
  
     
Giải:
Ta có:
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
17
4 4 4
2 2 2
P
2 3 2 3 2 3
a b c

    
 
     
 
       
 
 
2
2 2 2 2 2 2
P 5a b c a b c ab bc ca
 
        
 
(2)
Mà
2 2 2
1a b c  
, từ (2) suy ra
 
1
P
1 5 ab bc ca

  
(3)
Mặt khác theo bất đẳng thức C ôsi ta có:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2

0 1,0 1a b   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2
1
M
1 1
a b
a b
a b a b
    
  
Giải:
Ta có:
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
18
2 2
2 2 2 2
1
M 1 1 2
1 1
1 1 1
2
1 1

     
 
  
 
 
         
 
 
  
 
1 1 1 9 9 5
M 2
1 1 2 2 2a b a b
       
  
Dấu “=” xảy ra
1 1
1
1
1 1
3
1
a a b
a b
b a b




 

Thì minP
2 1n
n


Bài 6: Cho hàm số thực


2
( ) 2007 2009f x x x  
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
( )f x
trên miền xác định của nó.
Giải:
Ta có miền xác định của
( ): D 2009; 2009f x
 
 
 
Mặt khác:


2
( ) 2007 2009 ( )f x x x f x      
( ) là hàmf x
lẻ
Và
( ) 0, D 0; 2009f x x




2
( ) 2007. 2007 1. 2009f x x x  
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski th ì:
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
19
 
 
2 2
2
2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009
2008 4016
x x
x
    
 
Suy ra:
   
2 2 2
( ) 2008 4016 2008. 4016f x x x x x   
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
4016



tại
2008x 
D
min ( ) 2008 2008
x
f x

 
tại
2008x  
Bài 7: Cho
, , 0x y z 
thỏa mãn
1xy yz zx  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
T
x y z
x y y z z x
  
  
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 x y y z z x x y z y z x x y z          
 
   
2

1
2
tại
1
3
x y z  
.
Bài 8: Cho ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
   
 
Giải:
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
20
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta đ ược:
 

 
 
Mà ta lại có:
 
2
1
3
a b c ab bc ca    
Thật vậy, từ trên ta có:
   
2
3a b c ab bc ca    
2 2 2
a b c ab bc ca     
(suy ra từ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
 
2
7 10
100 P 1 P
3 3
P 30
a b c
 
    
 
 
 
Dấu “=” xảy ra
1

n n n 

khi
1 2
1

n
a a a
n
   
2.3. Sử dụng bất đẳng thức vect ơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vect ơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạn g tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số .
Bài 1: Cho hai số thực
yx,
thỏa mãn
132  yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
22
23S yx 
Giải:
Ta có
   
22
22
2323S yxyx 
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn

35
.132.
232,3
2222
22


yxyxvuyxvu
yxvyxv
Dấu “=” xảy ra
xy
yx
94
2
3
3
2

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta đ ược:
35
9
,
35
4
 yx
Vậy minS =
35
6
tại
35

222
2
222
222222
222




zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3
1
 zyx
y
z
x
y
z
x
Vậy minP =
3
1
khi
3
1
 zyx

Do đó:
22 v
222.11.A  yxvuabbavu
Dấu “=” xảy ra
a
b
b
a




11
Kết hợp với điều kiện ban đầu
1
22
 ba
Suy ra:
2
2
 ba
Vậy
22A
max

khi
2
2
 ba
Bài 4: Cho ba số dương







2
2
11
,
y
yv
y
yv 









2
2
11
,
z
zw
x

2
2
2
111111









zyx
zyx
z
z
y
y
x
x
(1)
Nhận thấy:
     























zyx
zyx
zyx
zyx
111
9.2
111
81
2
2
81.2
1
3.3.9.2
3

zyx
Và do (1) nên:
82
111
P
2
2
2
2
2
2

z
z
y
y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
 zyx
Vậy
82P
min

khi
3
1
 zyx





wvuczbyaxcbawvu
czcwczcw
bybvbybv
axauaxau
Ta có:
wvuwvu 
     
10161616aP
2
2
2
2
2
2
 czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: P
min
= 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ b ằng vectơ
0
b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ
0
Giả sử
0u
thì










0,,
2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax
kba
m
cz
by
c


vv
zyxuzyxu
Ta có:
222
. zyxvu 
Mà:
 
22
2
vuvu 
   
2
222444
3 zyxzyx 
Mặt khác ta có:
zxxz
yzzy
xyyx
2
2
2
22
22
22



 
 

2
2




wvuwvu
bbwbw
bavbav
aauau
Ta có:
wvuwvu 
251064284
2222
 bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra
2,0
1
2
2
3
2









 aaaa
Giải:
Ta có:
   
4192M
22
 aa
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
   
   
 
345,3
412,1
923,2
2
2



vuvu
avav
auau
Mà:
   
344192
22
 aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1

Giải:
Ta có:
222222
212121
B
accbba

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
22
22
22
212
,
1
212
,
1
212
,
1
ac
w
ac
w
cb
v
cb
v
ba
u



Và













cbacba
wvu
111
2,
111
Mặt khác:
1
111

cba
abccabcab