1. Cho
, x y
là 2 số dương thỏa
1x y+ =
. Tìm GTNN của
2 2
A x y= +

HD:

2 2 2 2
2 2 )( 0x m mx và y m ym m+ ≥ + ≥ >

 Suy ra
( )
2 2 2
2 2 2x y m m x y m+ + ≥ + =

 Suy ra
2 2 2
2 2A x y m m= + ≥ −

 Dấu “=” xảy ra khi
x y m= =
tức là
1
2
x y m= = =

 Vậy GTNN của A là
1

x y m= =
tức là
1
3
x y z m= = = =

 Vậy GTNN của A là
1
3
khi
1
3
x y z= = =

3. Cho
, x y
là 2 số dương thỏa
1x y+ =
. Tìm GTNN của
2 2
4A x y= +

HD:

( )
2 2 2 2
4 4 2 0, 0x m mx và y n yn m n+ ≥ + ≥ > >

 Suy ra
2 2 2 2

m m− = − =
khi
1 4
,
5 5
x y= =
4. Cho
, ,x y z
là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Tìm GTNN của
2 2 2
4A x y z= + +

HD:

( )
2 2 2 2 2 2
4 4 , 2 , 2 0, 0, 0x m mx y n yn z p pz m n p+ ≥ + ≥ + ≥ > > >

 Suy ra
2 2 2 2 2 2
4 4 2 2x y z m n p mx ny pz+ + + + + ≥ + +

 Ta chọn
( )
, , 4 2 2 2m n p sao cho m n p n p m= = = =


( )

là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Cho 3 số dương a, b, c.
Tìm GTNN của
2 2 2 2 2 2
A a x b y c z= + +

HD:

2 2 2
a x m 2amx+ ≥
,
2 2 2
b y n 2bny+ ≥
,
2 2 2
c z p 2cpz+ ≥
( )
m 0,n 0,p 0> > >
 Suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x b y c z m n p 2amx 2bny 2cpz+ + + + + ≥ + +
 Ta chọn
, ,m n p
sao cho
am bn cp= =
 Suy ra:
2 2 2 2 2 2
A a x b y c z= + +
( )

a b c
x y z
a b c

= = =


⇒ = + + =


= + + = + +


 Vậy:
2
1 1
,m x
aM a M
= =
;
2
1 1
,n y
bM b M
= =
;
2
1 1
,p z
cM c M

 Suy ra
2 3
A 3m 6m≥ −
 Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z m= = = =
 Vậy GTNN của A là:
3
1 1
3
3 9
A
 
= =
 ÷
 
7.
, , 0; 1Cho x y z x y z> + + =
. Cho 3 số dương
, ,a b c
. Tìm GTNN của:

3 3 3 3 3 3
.A a x b y c z= + +

HD:
 m>0, n>0, p>0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2

x y z
a b c
⇒ = + + = + +
1
m m a m a
a
b b c c
⇒ = + +
1 1 1
1 m a
a a b b c c
 
⇒ = + +
 ÷
 
 Đặt
1 1 1
M
a a b b c c
= + +
ta được:

1 m aM=
1 1
,m x
M a Ma a
⇒ = =
;
1 1 1 1
, ; ,n y p z

 Đặt
1 1 1 1 1 1
min , , , max , ,t T
a b c a b c
   
= =
 ÷  ÷
   
 Ta có:
1 1 1
f x y z ax by cz
a b c
= + + = + +
( ) 2f tax tby tcz t ax by cz St≥ + + = + + =
Xét dấu “=” xảy ra :
• Nếu
( )
1 2
0
S
t thì chon y z và x M A
a a
= = = = ≡

• Nếu
1
t
b
=
thì chọn

A x y z n= + + >

HD:
 Do
0 1 1
n
x và n nên x x≤ ≤ > ≤
. Tương tự với y, z.

1A x y z≤ + + =

 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1
 A lớn nhất là 1.
10. Cho
0, 0, 0 1x y z và x y z≥ ≥ ≥ + + =
. Cho
0, 0, 0a b c> > >
. Tìm GTLN của:

( )
1
n n n
A ax by cz n= + + >

HD:
 Gọi T là
( )
, ,max a b c

 Do

q ax m qx am
− −
+ − ≥ =
q 1 1
by (q 1)
q
q q q
q
n q by n qy bn
− −
+ − ≥ =
q 1 1
cz (q 1)p
q q q
q q
q cz p qz cp
− −
+ − ≥ =
Ta chọn m, n, p dương sao cho:
1 1 1q q n
am bn cp t
− − −
= = =
Suy ra các giá trị m, n, p là:
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
t t t
m n p

;
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q
q
q
t t
by n y
b
b
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q

1 1 1
1 1 1
1 1 1
q q q
M
a b c
− − −
= + +
;
( 1)
1
q q
t
M
−
 
=
 ÷
 
,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
x y z
Ma Mb Mc
− − −
= = =
1 1 1