A. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
3. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất
đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
• Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
• Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật
chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực
2
≥
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

1
a
aA +=
Sai lầm thường gặp là:
2
1
.2
1
=≥+=
a
a
a
aA
. Vậy GTNN của A là 2.

a
aa
a
a
a
aA
Dấu “=” xảy ra
2hay
1
4
==⇔ a
a
a

Vậy GTNN của A là
2
5
.
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn
điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt
GTNN khi
2=a
. Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi
2=a
” . Ta không thể
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số
a
và



4
2
12
2
11
2
2 =⇒=⇒







=
=
⇒=
α
α
αα
a
a
a

Khi đó:
a
aa
a
aA

,
α
hoặc






a
a
α
,
hoặc






a
a
α
1
,
.
Bài toán 2: Cho số thực
2≥a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của


a
Sai lầm thường gặp là:
4
9
8
2.7
2.2
1
8
7
2
1
8
71
.
8
2
8
7

1
8
22
=+≥+=+≥++=
a
a
a
a
aa
a

61
.
8
.
8
.3
8
61
88
3
22
=+≥+≥+++=
a
a
aaa
a
aa
A
Dấu “=” xảy ra
2
=⇔
a
Vậy GTNN của A là
4
9

Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa
1
≤+
ba

4
1
4
1
4
1
=⇒=⇒







=
=
⇒=
α
α
αα
ab
ab
ab
Giải:
Ta có:

4
1

4

2
1
4
1
==⇔=⇔ ba ab
Vậy GTNN của A là
4
17

Bài 2: Cho số thực
6≥a
. Tìm GTNN của

18
2
a
aA +=
Phân tích:
Ta có
aa
a
a
aA
99

18
22
++=+=
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi
6

a
a
Giải:
Ta có:
39
24
36.23
2
9
24
239
.
9
.
24
3
24
2399
24
2
3
222
=+≥
+≥+++=
a
aa
aa
aa
a
A

2
32
2
33
2
2 =⇒=⇒







=
=
⇒=
α
α
αα
a
a
a

2
2
33
2
3
2
9



=
=
⇒=
γ
γ
γγ
c
c
c
Giải:

135233
4
324
.
4
2
2
9
.
2
2
3
.
4
3
2
4





+=
cba
c
c
b
b
a
a
cba
c
c
b
b
a
a
A
Dấu “=” xảy ra
4,3,2 ===⇔ cb a
Vậy GTNN của A là
13

Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa



≥

bc
ab
,tại điểm rơi
2,4,3 === cba
.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1
2
.
6
.
9
3
2
69
2
12
.
24
.
18
3
2
2418
3
3
=≥++
=≥++

3
=≥+++
=≥++
abc
bca
abc
bca
bc
cb
bc
cb

4
13
8.
24
13
.
48
13
2
24
13
.
48
13
2
24
13
48

111
2 ≥+






+++++
abccabcab
cba
(đpcm)
3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa
1≤+ ba
Tìm GTNN của
ba
baA
1

1
+++=
Sai lầm thường gặp là:
4
1
.
1
4
11

2
11
2
1
2
1
=⇒=⇒







==
==
⇒==
α
α
ααα
ba
ba
ba
Lời giải đúng:
( )
5383
1
.
1
.4 4433

11

1
+++++=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 2
1
=== cba
Sơ đồ điểm rơi:

4
1
2
2
1
2
111
2
1
2
1
=⇒=⇒






=−≥
++−≥
−−−






+++++=
cba
cba
cba
cba
cba
cbaA
Dấu “=” xảy ra

2
1
===⇔ cba
Vậy GTNN của A là
2
13

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
2
3
≤++ cba
. Tìm GTNN của





===
===
⇒===
α
α
αααα
cba
cba
cba
Giải:

4
27
2.
4
9
4
9
3
1
.
4
9
4
91
.9

1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
3
9
222
222
=+≥
++
+≥+≥






+++≥
+++






ba
=
Sơ đồ điểm rơi:

4
2
12
2
1
2
22
=⇒=⇒







==
+
==
+
⇒=
α
α
αα
α
a

+








+
+
+
=
ab
ab
ba
ab
ab
ba
ab
ba
ba
ab
ab
ba
A
Dấu “=” xảy ra
ba =⇔
Vậy GTNN của A là
2


cba
==
Sơ đồ điểm rơi:

4
2
2
1
2
2
1
=⇒=⇒







=
+
=
+
=
+
=
+
=
+

≥






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

cb
c
ba
b
ac
a
cb
ba
c
ac
b
cb
a
A

4
3
4
.
4
.
4
6

4
3
44

4
6

1
≤+
ba
. Tìm GTNN của :
ab
ba
A
2
1

1
22
+
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 2
1
== ba
Sơ đồ điểm rơi:

122
2
2
2
1
2

2
1
2
2
1

1
2222222
≥
+
=
++
≥
+
≥+
+
=
ba
abbaabba
ab
ba
A
Dấu “=” xảy ra
2
1
1
2
22
==⇔


Sơ đồ điểm rơi:

3
2
3
2
2
2
1
3
2
1
1
2
1
22
=⇒=⇒







=
=
++
⇒==
α
α

61
1
2
3
1
6
1

1
1
222
22
22
+
+++
=+
+++
≥
+
++
≥
++
++
=

( )





Do
2
3
1
2
41
4
2
22
2
ba
ab
baba
ba

( ) ( )

3
4
12
4
22
baba +
+
++
≥

3
8
1.3

≤+
ba
. Tìm GTNN của
ab
abba
A 4
1

1
22
++
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 2
1
== ba
Sơ đồ điểm rơi:

2
4
2
41
2
1
2
1




=
=
⇒==
β
β
ββ
ab
ab
ba
Giải:

( )
( )
ab
ba
ab
abba
abab
ab
abba
abab
ab
ab
ba
A
4
1

+
=++
++
≥
++
+
≥
++++
+
=

( )














+
≤



+
+
≥
ba
Dấu “=” xảy ra
2
1
1
4
1
4
2
22
==⇔









=+
=
=
=+
⇔ ba
ba
ba

2
1
2
1
22
33
=⇒=⇒







==
=
+
⇒==
α
α
α
αα
abba
ba
ba
Giải:

5
2222
1

abbaabbaba
abbaabbaba
A
+++++
≥
+
≥
++++
+
=

( )

)(
25
3
baabba +++
≥
( )
20
4
1
1
25

2
Do
4
)(
25

Dấu “=” xảy ra
2
1
1
2
1
2
11
2233
==⇔







=+
=
==
+
⇔ ba
ba
ba
abbaba
Vậy GTNN của A là 20
Bài 9: Cho ba số thực dương
zyx ,,
thỏa
4

+++≤=≤
+++
=
++ zyxxzyxx
zyxx
zyxxzyx
1111
16
11
.
1
.
1
.
1
4
1
4
11
2
1
4
4
Tương tự:







1
2
1
2
1

2
1
=








++≤
++
+
++
+
++
=
zyxzyxzyxzyx
P
Dấu “=” xảy ra
4
3
3

1
22
2
1
3
2
≤⇒
=






++
≤==
A

a-aa
a-a.aa-aA
Dấu “=” xảy ra
3
2
22 =−=⇔ aa
Vậy GTLN của A là
27
4
Bài 2: Tìm GTLN của :
( ) ( )
2,0 , 2

36 =−=⇔ aa
Vậy GTLN của A là
16
27
Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa



≤
≤
4
3
b
a
. Tìm GTLN của
( )( )( )
babaA 3243 +−−=
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

( )( )( )
36
3
3231226
6
1
3231226
6
1
3


≥
≥
≥
12
6
2
c
b
a
. Tìm GTLN của:
abc
cabbcaabc
A
4
3
1262 −+−+−
=
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
28644
4
44412

c
ab
cab
abcbca
b
ca
bca
abcabc
a
bc
abc
==
+++−
≤−=−
=
++−
≤−=−
=
+−
≤−=−
Khi đó ta có:

33
4
3
93
1
28
5
28

16
9
4
412
36
22
c
b
a
c
b
a
Vậy GTLN của A là
3
93
1
28
5
+
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
1
=++
cba
. Tìm GTLN của:
accbbaA +++++=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại




(3)
(2)
(1)

2
3
2
.
2
3

2
3
2
.
2
3

2
3
2
.
2
3
3
2
.
2
3
++

2
3
2
3
2
===⇔









=+
=+
=+
⇔ cba
ac
cb
ba
Vậy GTLN của A là
6
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn
điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp.
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
3
=++
cba

(1)

93
26
2

93
26
2

93
26
3
332
9
1
3.3.2
9
1
2
3
3
3
3
33
3
3
3
ac
ac

thỏa
3=++ cba
. Chứng minh rằng:
33444
222
≤−+−+− cba
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy
ra khi:






=−
=−
=−
⇒===
34
34
34
1
2
2
2
c
b
a
cba

2
22
22
c
c
b
b
aa
aa
−
≤−
−
≤−
−
=
+−
≤−=−
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
( )
32
21
444
222
222
cba
cba
++−
≤−+−+−
Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có
( ) ( )

(đpcm)