Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong toán học nói chung và môn toán THCS nói riêng, những bài toán
về cực trị được sử dụng rất nhiều, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi, thi
tuyển sinh lớp 10 tuy nhiên với dạng toán này trong chương trình không có
phương phương pháp giải chung mà chỉ được trình bày đơn lẻ trong các bài tập
của các phần. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực
trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát
triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng
cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết.
Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần phải sử dụng thành thạo về
bất đẳng thức, đặc biệt là rất nhiều các bất đẳng thức có thể sử dụng để tìm cực
trị được như là bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhia ...
Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với
các bất đẳng thức này qua bài tập mà chương trình dạy học được đề cập rất ít
đến vấn đề này và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể. Vì thế,
khi gặp bài toán cực trị mà sử dụng các bất đẳng thức để làm thì học sinh thường
rất lúng túng không biết bắt đầu như thế nào. Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra
những phương pháp giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh.
2. Ý nghĩa của giải pháp mới.
Giúp cho học sinh tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu.
Học sinh biết suy luận theo hướng logic theo các phương pháp giải chung.
Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt
hơn.
Giúp học sinh nhận dạng được dạng bài tập vận dụng được bất đẳng thức
Côsi, đưa ra phương pháp phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn
học, làm giảm những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

định dạng toán để đưa ra phương pháp phù hợp. Do đó Tôi chọn đề tài
“Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn Đại số 9”.
3. Các biện pháp tiến hành.
Khi giảng dạy phần này giáo viên cần nhấn mạnh các kiến thức liên quan,
học sinh phải nắm vững môt số kiến thức cụ thể là:
* Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) ≥ m và tồn tại
giá trị của x để A(x) = m.
Số n gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) ≤ n và tồn tại giá
trị của x để A(x) = n.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

4


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
* Bất đẳng thức Côsi:
Bất đẳng thức Côsi với 2 số a, b không âm là:

a+b
≥ ab hoặc
2

a + b ≥ 2 ab . Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Chứng minh:
Do a, b ≥ 0 nên

a và

Ta có : a + b ≥ 2 ab

a1 + a 2 + a 3 + ... + a n n
≥ a1.a 2 .a 3.....a n hoặc
n

a1 + a 2 + a 3 + ... + a n ≥ n. n a 1.a 2 .a 3.....a n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a 2 = a 3 = ... = a n
4. Thời gian tạo ra giải pháp
Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ
đầu năm học 2014 - 2015 đến năm học 2015 - 2016 đối với các em học sinh lớp
9 của nhà trường.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

5


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
B - NỘI DUNG
I- Mục tiêu
- Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm
tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị.
Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao. Giúp cho học sinh
có hứng thú học và yêu thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề
linh hoạt hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi
dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9
II- Phương pháp tiến hành
II.1. Mô tả giải pháp của đề tài.
Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp vận dụng bất đẳng

Vậy Min A1 = 2 ⇔ a = 1

1
⇔ a 2 = 1 ⇔ a = 1 (vì a > 0)
a

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

6


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Nhận xét: Hai số dương a và

1
có tích là một hằng số
a

Ví dụ 2. Cho a ≥ 2 . Tìm GTNN của biểu thức: A 2 = a +

1
a

Giải:
Ta có A 2 = a +
Vì a ≥ 2 nên

1 3a a 1
= + +
a 4 4 a


3a a
+ để thỏa mãn dấu “=” xảy ra theo đề bài a ≥ 2 , việc tách được
4 4

như vậy trong sử dụng bất đẳng thức Cô si được gọi là kĩ thuật chọn điểm rơi.
Trong cách làm này rõ ràng ta có thể dự đoán được dấu “=” xảy ra khi a = 2
do đó ta phải làm mất số hạng

1
khi sử dụng bất đẳng thức Côsi cần sử dụng
a

số hạng có dạng

a 1
a
, như vậy ta cần tìm số k sao cho = tại điểm dấu bằng
k a
k

xảy ra a = 2, để

a 1
3a a
= với a = 2 ta tìm được k = 4, nên ta biến đổi a = +
k a
4 4

để có cách làm trên.

+
≥2 . =4 2
3 x
3 x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x 24
=
⇔ x 2 = 72 ⇔ x = 6 2 (vì x > 0)
3 x

Vậy Min A3 = 4 2 ⇔ x = 6 2
x
24
x 2 + 72 x 24
Nhận xét: Phân tích
= +
để có tích hai số dương
với
là
3
x
3x
3 x
một hằng số
Ví dụ 4. Cho x > 0 T×m GTNN cña biÓu thøc
x 3 + 2000
A4 =
x

x
x
x
1000 1000
=
⇔ x 3 = 1000 ⇔ x = 10 (t/m)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 =
x
x
Vậy Min A 4 = 1000 ⇔ x = 10 .
Nhận xét : Trong ví dụ này rõ ràng là nếu ta tách biểu thức A4 thành tổng
1000
1000
x2 +
thì việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x 2 ;
không được
x
x
vì tích của chúng vẫn còn chứa biến x. Do vậy để tích của các số hạng là hằng
1000 1000
+
số không đổi thì ta biến đổi biểu thức A4 = x 2 +
thì ta có tích của
x
x
1000 1000
;
ba số hạng x 2 ;
không đổi để sử dụng được bất đẳng thức Côsi.
x

25
7
⇔ x = (t/m)
Dấu “=” xảy ra ⇔ 4 ( x − 1) =
x −1
2
7
Vậy Min A5 = 24 ⇔ x =
2
3
3
Ví dụ 6. Tìm GTLN của biểu thức A 6 = x ( 16 − x ) (với 0 ≤ x ≤ 2 3 2 )
Giải: Vì 0 ≤ x ≤ 2 3 2 nên x 3 ≥ 0;16 − x 3 ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x 3 ≥ 0;16 − x 3 ≥ 0 ta có :
2

 x 3 + 16 − x 3 
3
3
A 6 = x ( 16 − x ) ≤ 
÷ = 64
2


3
3
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 16 − x ⇔ x = 2 (t/m)
Vậy Max A 6 = 64 ⇔ x = 2
Ví dụ 7. Tìm GTLN của biểu thức A 7 = x 4 − x 2 (với −2 ≤ x ≤ 2 )
Giải : Vì −2 ≤ x ≤ 2 nên x ≥ 0; 4 − x 2 ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai

 8
Dấu “=” xảy ra 2 − 2x = 2x − 1 ⇔ x =

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

3
(thỏa mãn).
4
9


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
1
3
Vậy Max A8 = ⇔ x =
8
4
Nhận xét: Việc viết 1 − x =

1
( 2 − 2x ) là một kĩ thuật hết sức khéo léo nhằm tạo
2

ra hai số hạng ( 2 − 2x ) ; ( 2x − 1) có tổng không đổi để chúng ta áp dụng bất
đẳng thức Côsi.
0 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 9. Cho 
Tìm GTLN của biểu thức:
0 ≤ y ≤ 4
A9 = ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2x + 3y )

đổi ở đây ta đã khéo léo nhân thừa số thứ nhất với 2 và thừa số thứ hai với 3,
khi đó ta đã áp dụng được bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 10. Cho a,b,c ≥ 0;a + b + c = 1 . Tìm GTLN của biểu thức:
A10 = a + b + b + c + c + a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm
Ta có

2 3
3
a + b = ( a + b) . . =
.
3 2
2

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

2
3 (
( a + b) . ≤ .
3
2

a + b) +

2
3

2
10


Do đó A10 = a + b + b + c + c + a
2
2
2
b + c) +
c + a) +
(
(
3
3 + 3.
3 + 3.
3
≤
.
2
2
2
2
2
2
3 2( a + b + c) + 2
3
=
.
=
.2 = 6
2
2
2


2

không tìm được dấu bằng xảy ra. Cho nên trong ví dụ này ta thấy được biểu
thức A10 là biểu thức đối xứng của a, b, c nên A10 đạt giá trị lớn nhất khi a = b
= c mà
a + b + c = 1 nên a = b = c =

biến đổi xuất hiện thừa số

1
2
khi đó a + b = b + c = c + a = Do đó ta mới
3
3

2
như trên.
3

c. Bài tập tự giải
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=

9x
2
1
+ (với 0 < x < 2) . Đáp số Min A = 7 ⇔ x =
2−x x
2



x
x −1

(Đáp số Min E = 2 khi x = 2)
1
5
Bài 6. Cho biểu thức G = ( 6x + 3) ( 5 − 2x ) Với − ≤ x ≤ . Tìm giá trị
2
2
lớn nhất của G .
(Đáp số Max G = 27 khi x = 1)
Bài 7. Cho x, y > 0; x + y ≤ 1 . Tìm GTNN của H = xy +
(Đáp số Min H =

1
xy

17
1
⇔x=y= )
4
2

x 2 + y2
Bài 8. Cho x.y = 1, x > y > 0 . Tìm GTNN của biểu thức I =
x−y

6+ 2
 x =

x + 1− x

)

2

=1+ 2 x(1− x)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm x và 1 – x ta có:
B12 = 1 + 2 x ( 1 − x ) ≤ 1 + ( x + 1 − x ) = 2
Do B1 ≥ 0 nên B12 ≤ 2 ⇔ B1 ≤ 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 − x ⇔ x =
Vậy MaxB1 =

2⇔x=

1
(t/m)
2

1
2

Nhận xét :
Biểu thức B1 là tổng hai căn thức nhưng biểu thức dưới dấu căn có tổng
không đổi cho nên ta bình phương biểu thức B1 thì ta có hai lần tích của hai căn
thức để có thể dùng bất đẳng thức Côsi . Với ví dụ này ta có thể áp dụng bất
đẳng thức Bunhia cho hai cặp số ( 1;1) ;

(


Dấu “=” xảy ra ⇔ 
1 (t/m)
y
=

2
Vậy Max B2 = 2 2 ⇔ x = 2 và y = ½
Nhận xét:
Trong ví dụ trên khi đánh giá biểu thức sau khi bình phương ta đã khéo léo biến
đổi 4 xy = 2 x.4y để sau khi dùng bất đẳng thức Côsi xuất hiện giả thiết đề
bài cho.
Ví dụ 3. Tìm GTNN và GTLN của
B3 = 5 − x + x − 1
ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 5

Giải:
+ Ta có B32 =
Vì 2

(

)

2

5 − x + x +1 = 4 + 2

( 5 − x ) .( x − 1) ≥ 0



Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Bài 2. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
3x − 5 + 7 − 3x

B=

(Đáp số MinB =

2 khi x = 5/3 hoặc x = 7/3; MaxB = 2 khi x = 2)

 x, y,z > 0
Bài 3. Cho 
. Tìm GTNN của biểu thức sau:
 x + y + z ≥ 12
C=

x
y
z
+
+
(Đáp số Min C = 6 khi x = y = z = 4)
y
z
x

3. Phương pháp 3. TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC BẰNG CÁCH NHÂN
HOẶC CHIA BIỂU THỨC CHO CÙNG MỘT SỐ KHÁC 0.
a. Phương pháp

5x
5x
30x
30

x −9
= 3 ⇔ x = 18 (t/m)
3

1
⇔ x = 18
30

Nhận xét: Trong cách giải trên, x - 9 được biểu diễn thành

gặp ở chỗ khi vận dụng BĐT Côsi , tích

x −9
.3 và ta đã
3

x −9
.3 được làm trội thành nửa tổng
3

x −9
1
+ 3 = x có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dưới mẫu, kết quả là một
3
3

1
1  7x + 9y 
1  63  63
C2 = .7x.9y ≤ .
÷ = . ÷ =
63
63  2  63  2 
4
9

x=

63

2
⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 7x = 9y =
(t/m)
2
y = 7

2
9

x
=

63
2
C

+
+
+
y+t
x
t+x
y
x+y
t

(MinB = 15/2 khi x = y = z = t)
Bài 3. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 . Tìm GTLN của biểu thức:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

16


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
C = xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
(Đáp số MaxC = 8/729 khi x = y = z = 1/3)
Bài 4. Tìm GTLN của D = 3a + 4 1 − a 2 (với −1 ≤ a ≤ 1 )
(MaxD = 5 khi a = 3/5)
4. Phương pháp 4. THÊM VÀO BIỂU THỨC ĐÃ CHO MỘT HẠNG TỬ.
a. Phương pháp
Ta cộng thêm hoặc nhân thêm vào biểu thức đã cho một hạng tử hoặc một
thừa số để sử dụng bất đẳng thức Côsi.
b. Các ví dụ
2
Ví dụ 1. Cho a > 0. Tìm GTNN của biểu thức D1 = a +


(
)
 a + 1
Vậy Min D1 = 24 ⇔ a = 2
Nhận xét: Trong ví dụ này để sử dụng được bất đẳng thức Cô si ta đã
thêm vào số hạng 4(a + 1).
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức
D2 =

a2
b2
c2
+
+
b −1 c −1 a −1

Giải:
Ta có a > 1,b > 1,c > 1 nên a − 1 > 0,b − 1 > 0,c − 1 > 0

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

17


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có:
a2
a2
+ 4 ( b − 1) ≥ 2
.4 ( b − 1) = 4a

giá trị nhỏ nhất. Ví dụ này còn có thể làm cách khác như sau:
2

2
a2
4a 2
 b −1+1 b
≥
Ta có b − 1 = ( b − 1) .1 ≤ 
. Tương tự ta suy ra được
÷ = ⇒
4
b − 1 b2
 2 

 a 2 b2 c2 
a2
b2
c2
a 2 b2 c2
3
+
+
≥ 4  2 + 2 + 2 ÷ ≥ 4.3. 2 . 2 . 2 ≥ 12
b −1 c −1 a −1
c
a 
b c a
b
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.

.
=4+4=8
y
x
y x

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

18


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
 2x 2y
 y = x
⇔ x = y = 4 (t/m)
Dấu “=” xảy ra 
2
2
 + =1
 x y
Vậy Min D3 = 8 ⇔ x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã nhân thêm giả thiết của bài vào biểu thức để áp
dụng được bất đẳng thức Cô si. Đây cũng là cách rất hay sử dụng khi tìm cực
trị của biểu thức.
c. Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức
A=

a
b

Bài 4. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức
D=

4 1
+
x 4y

(Đáp số Min D = 25/4 khi x = 4/5, y = 1/5)
II.2. Phạm vi áp dụng
* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

19


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Yêu cầu giáo viên phải có thời gian, kinh phí, tâm huyết, yêu nghề, yêu
trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. Giáo viên cũng cần rèn cho học sinh ý thức,
thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng dẫn
của giáo viên. Đối với học sinh cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạn
học khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảm
bảo đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng:
Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên có
thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều. Đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ cho
các em một số phương pháp, kỹ năng trên là cần thiết và rất có ích.
* Phạm vi:
Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng
dạy cho học sinh lớp 9 khi ôn thi tuyển sinh hoặc ôn thi học sinh giỏi

x 4y

Đáp án và biểu điểm:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

20


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Câu 1. Ta có a > 1 nên a – 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
không âm ta có:
A=a+

1
1
= a −1 +
+1≥ 2
a −1
a −1

Dấu “= ” xảy ra ⇔ a − 1 =

( a − 1) .

1
+1 = 3
a −1

(1đ)


≥2

(0,75đ)

x 1− x
.
+1= 3
1− x x

Dấu “= ” xảy ra

(0,5đ)

x
1− x
1
=
⇔x=
1− x
x
2

Vậy MinB = 3 ⇔ x =

(0,5đ)

1
2

(0,25đ)


(0,25đ

1
5
Câu 4. Với − ≤ x ≤ ta có ( 2x + 1) ≥ 0; ( 5 − 2x ) ≥ 0
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

(0,25đ)

ta có:
2

 2x + 1 + 5 − 2x 
D = ( 6x + 3) ( 5 − 2x ) = 3 ( 2x + 1) ( 5 − 2x ) ≤ 3.
÷ = 27 (0,5đ)
2


Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 − 2x ⇔ x = 1 (t/m)

(0,5đ)

Vậy MaxD = 27 ⇔ x = 1

(0,25đ)

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

.
=
4
x 4y 4
x 4y 4

(0,5đ)

1

 4x y
x
=

 =

5
Dấu “=” xảy ra ⇔  y 4x ⇔ 
(t/m)
x + y = 1
y = 4


5

(0,5đ)

1

x=

SL

TL

SL

TL

30%

0

0

2

6,7%

9A

30

6

20%

15 50%

9



GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

22


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
3 - Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học
sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản về bất đẳng thức Côsi và bài toán
cực trị.
4 - Phải đọc nhiều sách tham khảo và phải chắt lọc kiến thức.
5 - Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thể
chủ động sáng tạo.
6 - Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, thường
xuyên bồi dưỡng kiến thức thông qua tài liệu tham khảo, qua các đề thi học sinh
giỏi, đề thi tuyển sinh vào THPT, qua mạng Internet.

C. KẾT LUẬN
1. Nhận định chung
Việc dạy học theo chuyên đề và tổng hợp ra các phương pháp giải chung
cho từng chuyên đề giúp học sinh phát huy tính năng động sáng tạo của học sinh
sẽ hình thành thói quen tư duy độc lập, năng lực tự giải quyết vấn đề của học
sinh. Học sinh hiểu bài và say mê học tập, thích tìm tòi, phát hiện những điều
mới lạ.
Tuy nhiên để hình thành thói quen cho học sinh đòi hỏi hoạt động đồng
bộ của các thày cô giáo giảng dạy các bộ môn trong một lớp. Hơn thế nữa
phương pháp dạy học này cần được triển khai trong cả quá trình học tập của các
em từ bậc Tiểu học cho đến Trung học và nhất là Cao đẳng và Đại học.
Trong sáng kiến này, tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp đưa ra các phương
pháp đồng thời phân dạng bài tập phù hợp với những phương pháp đó và phù

4. Những đề xuất, kiến nghị.
1 - Đối với giáo viên:
Để hệ thống được dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng
thì đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư thời gian cho nghiên cứu bài dạy, tham
khảo thêm nhiều tài liệu đặc biệt là tài liệu nâng cao, tài liệu phát triển, tài liệu
bồi dưỡng. Cần tham khảo, học hỏi đồng nghiệp để rút ra kinh nghiệm cho bản
thân.
2 - Đối với học sinh:
Cần phải coi trọng môn học, nắm vững lí thuyết và các kiến thức cơ bản,
làm tốt các bài tập cơ bản, đọc tham khảo các tài liệu tìm ra các bài tập áp dụng
rồi cùng giải.
Học hỏi bạn bè, điều chưa hiểu mạnh dạn hỏi giáo viên.
Một số tài liệu tham khảo ngoài sách giáo khoa và sách bài tập như là:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

24


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Sách toán cơ bản và nâng cao
NXBGD
Sách bồi dưỡng toán

NXBGD

Sách phát triển toán

NXBGD

Sách nâng cao và các chuyên đề

Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán cơ bản và nâng cao toán 9

NXBGD

2. Toán bồi dưỡng 9

NXBGD

3. Sách giáo khoa toán 9

NXBGD

4. Sách bài tập toán 9

NXBGD

5. Sách nâng cao và các chuyên đê toán 9

NXBGD

6. Bài tập toán nâng cao 9

NXBGD

7. Tuyển chọn 400 bài toán 9

NXB Đà nẵng

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

26