Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
PHẦN MỞ ĐẦU
Trang
1
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông thì phần kiến
thức về bất đẳng thức là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức
để giải các bài toán có liên quan.
Là một sinh viên ngành toán tôi không phủ nhận cái khó của bất đẳng thức và
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức là bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách vận dụng
ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình để
rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán và qua đó có thể tích lũy
được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng
thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng
thức nói trên.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳng thức
vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các phương trình. Đề
tài này chủ yếu xoay quanh ba đối tượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu và
chứng minh một số bất đẳng thức thông dụng khác.


fdbeca ++>++⇒
fe >
•
ba >
và
mbmam >⇒> 0
•
ba >
và
mbmam <⇒< 0
•
0>> ba
0>> dc
bdac >⇒
•
0>> ba

nn
ba >⇒

Ν∈∀
n

ba >⇒
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối
baba +≤+
dấu “=” xảy ra
0≥⇔ ab

1 2

n
a a a⇔ = = =
Mở rộng: Cho n số dương
( )
1 2
, , , 2
n
a a a n ≥
và n số
1 2
, , ,
n
α α α
dương
có:
1 2
1
n
α α α
+ + + =
. Thì:
1 2
1 2 1 1 2 2
.
n
n n n
a a a a a a
α

tùy ý ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2

n
n
aa a
b b b
⇔ = = =
Mở rộng:
Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:
( )
( )
, , 1,2, ,
i i i
a b c i m=
Khi đó ta có:
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2

( )
naa
n
+≥+ 11
dấu “=” xảy ra
0
=⇔
a
hoặc
1
=
n
• Nếu
1
<<
na
thì
( )
naa
n
+<+ 11
1.3.5. Bất đẳng thức vectơ
•
vuvu ≤
•
vuvu +≤+
•
vuvu −≥−
•
wvuwvuwvu ++≥++≥++

)
1 2
( , , , ) D
n
x x x
∀ ∈
và
1 2
( , , , ) D
n
x x x
∃ ∈
sao cho:
1 2
P( , , , ) M
n
x x x
=

thì M gọi là giá trị lớn nhất của
1 2
P( , , , )
n
x x x
(hoặc
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là maxP hoặc P

( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là minP hoặc P
min
(min
1 2
( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 min
( , , , )
n
f x x x
).
2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (hàm số) bằng
phương pháp vận dụng bất đẳng thức
Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì
có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá
thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các phương pháp nêu
trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những
phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông
dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức
vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số
1 2
( , , , )

P( , , , )
n
x x x
α
=
.
Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp
dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng
thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp bất đẳng thức vectơ.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3
2
( )f x x
x
= +
(
0x
>
)
Trang
6
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Giải:
Ta có:
3
2 2 2 2
5
3 3 6

5
3x
=
2.2. BÀI TẬP
2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các
thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của hai
phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểu
thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng
thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 1: Cho ba số thực dương
cba ,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


















≥+
Suy ra
88111 =≥+++


















abc
abc
a
c
c
b
b
a
Hay


Giải:
Ta có:
2
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
cba
cba
+
−
+
−≥
+
⇒
1
1
1
1
2
1





111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
( )( )
cb
bc
c
c
b
b
++
≥
+
+
+
11
2
11

2
1
1
(3)
Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
8
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
   
 ÷ ÷ ÷
   
≥
+ + +
+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
8
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
⇔ ≥
+ + + + + +
Suy ra:


1 2abc ab bc ac⇔ ≥ + + +
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3 3 3
4
2 4 2abc ab bc ac a b c+ + + ≥
(2)
Từ (1) và (2) ta được:
3 3 3
4
1 4 2 1 8a b c abc≥ ⇒ ≥
hay
1
M
8
abc= ≤

Trang
8
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
2
abc ab bc ac a b c= = = ⇔ = = =
Vậy M
max
=
1

max

2
n
=
tại
1 2
1

1
n
a a a
n
= = = =
−
Bài 3: Cho hàm số
2
4
4 4
( ) 1 1 1f x x x x= − + − + +

xác định trên
{ }
D R : 1 1x x
= ∈ − ≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất của
( )f x
trên D.
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:

+ = + ≤
(3)
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:
D
( ) 1 1 1
x
f x x x
∀ ∈
≤ + + + −
(4)
Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ
khi
0x
=
.
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

( )

1 1
1 1 .1
2
x
x x
+ +
+ = + ≤
(5)
( )

1 1

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:
1 1
( )
1
f x
x x
= +
−
với
0 1x< <
Giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1
( )
1 1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x
   
 ÷  ÷
   
− −
= + = + + − + −
− − − −

1
2
1
x x
x x

Bài 5: Cho ba số thực dương
, ,a b c
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b c
b c c a a b
= + +
+ + +
Giải:
Đặt:
, , x b c y c a z a b= + = + = +

( )
1
2
a b c x y z⇒ + + = + +
Và
, ,
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
+ − + − + −
= = =
(*)
Từ đó ta có:
1
P 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y

1
2 2 2 3
2
=≥ + + −
( Bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra
y x
x y
z x
x y z
x z
z y
y z

=



⇔ = ⇔ = =



=


Từ (*) ta có
a b c= =
Vậy
min
3

( ) ( ) ( )
3
3
2 9 9 Sabc a b b c c a≥ + + + =
3
8 9 S
8
S
729
⇔ ≥ ⇔ ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =
Vậy
ax
8
S
729
m
=
Trang
11
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) 1 2
2
x
f x x x= + − −

( )
2 2
x x
x
f x
+ − −
≤ +

2
( ) 1f x x⇔ ≤ −
Từ đó suy ra:
( ) 1 Df x x≤ ∀ ∈
Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì
2
2
1 1 2
1 1 0 D
1
1
2
x x
x x
x


= − −

− = ⇔ = ∈



( )
( )
2
2
2
1 2 1
( ) 1 1 1 1f x x x
x x x
 
   
= + + + = + +
 ÷  ÷
 
   
 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1
( ) 2 .2 16f x x
x
 
≥ =
 ÷
 
Trang
12
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Dấu “=” xảy ra
1x
⇔ =

ab bc ac a b c
b c a a b c
     
= + + + + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2 , 2 , 2
a b c
ab a bc b ac c
b c a
+ ≥ + ≥ + ≥
Từ đó suy ra:
( )
1 1 1
A 2 2 2a b c a b c
a b c
≥ + + + + + − + +

1 1 1 1 1 1
A a b c a b c
a b c a b c
     
⇔ ≥ + + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
1 1 1
2 . 2 . 2 . 6A a b c
a b c
⇔ ≥ + + =

aa a
a a a
a a a a a a a a a
−
+ + + + − + + +
với
0 1,
i
a i n> ∀ =
Thì MinP = 2n tại
1 2
1
n
a a a= = = =
Bài 10: Cho biểu thức sau:
( )
2 2 2
3 3 3
3 3 3
1 1 1
P
ab bc ca
a b c
c a b
 
+ + +
= + + + +
 ÷
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . . 6
a a b b c c a a b b c c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + ≥ =
(2)

4 2 5 4 2 5 5 2 4 4 2 5 4 2 5 5 2 4
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . .
a b ab b c bc a c a c a b ab b c bc a c a c
c c a a b b c c a a b b
+ + + + + ≥

4 2 5 4 2 5 5 2 4
3 3 3 3 3 3
6 6
a b ab b c bc a c a c
abc
c c a a b b
⇔ + + + + + ≥ =
(3)
2 2 2 2 2 2
3
3 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc+ + ≥ = =

x x x=
,
Trong đó:
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
là n số dương cho trước.
Giải:
Đặt
1 2

n
a a a a
= + + +
,
( )
1,2, ,
i
i
a
b i n
a
= =
thì
0
i
b >
Và
1 2

x x x
a a
≤ + + + =

1 2 1 2
1 2 1 2
1
S . .
n n
a a
a a a a
n n
a
x x x a a a
a
⇒ = ≤
Dấu “=” xảy ra
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
n n n
n n n
x x x x x
x x x x
a a a a a a a a a
+ + +
⇔ = = = ⇔ = = = =
+ + +

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu
thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của
các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. Và sau khi áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu và đưa được về
hằng số.
Bài 1: Cho
3
, ,
4
a b c ≥ −
và
3a b c+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P 4 3 4 3 4 3a b c= + + + + +
.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( ) ( )
2
1. 4 3 1. 4 3 1. 4 3 1 1 1 4 3 3 3a b c a ab ac+ + + + + ≤ + + + + + + +

( )
( )
3 4 9a b c≤ + + +

( )
3 4.3 9 63≤ + =

P 4 3 4 3 4 3 3 7a b c⇒ = + + + + + ≤

và các số dương
, ,x y z
thay đổi sao cho
1
a b c
x y z
+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x y z= + +
.
Giải:
Ta có:
a b c
a b c x y z
x y z
+ + = + +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( )
2
2
a b c a b c
a b c x y z x y z
x y z x y z
 
 
+ + = + + ≤ + + + +
 ÷
 ÷
 

( )
z c a b c= + +
Vậy maxA =
( )
2
a b c+ +

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 4 4
( , , )f x y z x y z= + +
,
trên miền
( )
{ }
D , , : , , 0 và 1x y z x y z xy yz zx= > + + =
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược:
( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
1. 1. 1. 3x y z x y z+ + ≤ + +
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy yz zx x y z x y z x y z+ + ≤ + + + + = + +
Vì

1xy yz zx+ + =
Ta được:
3
3
x y z= = =
Vậy
( , , ) D
1
Max ( , , )
3
x y z
f x y z
∈
=
Trang
16
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 4: Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
1a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 3
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c b c a c a b
= + +

2 2 2
.
2 3 2 3 2 3
. 2 3 2 3 2 3
a b c
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
a ab ac b bc ba c ca cb
 
+ + ≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 
+ + + + + + + +
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
P 5a b c a b c ab bc ca
 
⇔ + + ≤ + + + + +
 
(2)
Mà
2 2 2
1a b c+ + =
, từ (2) suy ra
( )
1
P

Dấu “=” xảy ra
3
3
a b c⇔ = = =
Vậy MinP =
1
6
Trang
17
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 5: Cho hai số dương
,a b
thỏa
0 1,0 1a b< < < <
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2
1
M
1 1
a b
a b
a b a b
= + + + +
− − +
Giải:
Ta có:
2 2
2 2 2 2
1

a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
 
− + − + + ≤
 ÷
− − +
 
 
≤ + +  − + − + + 
 
 
− − +
 
1 1 1 9 9 5
M 2
1 1 2 2 2a b a b
⇔ + + ≥ ⇔ ≥ − =
− − +
Dấu “=” xảy ra
1 1
1
1
1 1
3
1
a a b
a b
b a b

với
0 1 1,
i
a i n< < ∀ =
Thì minP
2 1n
n
+
=
Bài 6: Cho hàm số thực
(
)
2
( ) 2007 2009f x x x= + −
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
( )f x
trên miền xác định của nó.
Giải:
Ta có miền xác định của
( ) : D 2009; 2009f x
 
= −
 
Mặt khác:
(
)
2
( ) 2007 2009 ( )f x x x f x− = − + − = −
( ) là hàmf x⇒

∈
= −
Với
Dx
+
∈
, ta có:
(
)
2
( ) 2007. 2007 1. 2009f x x x= + −
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì:

( )
( )
2 2
2
2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009
2008 4016
x x
x
+ − ≤ + −
≤ −
Suy ra:
( ) ( )
2 2 2
( ) 2008 4016 2008. 4016f x x x x x≤ − = −
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
4016

∈
=
tại
2008x =

D
min ( ) 2008 2008
x
f x
∈
= −
tại
2008x = −
Bài 7: Cho
, , 0x y z >
thỏa mãn
1xy yz zx+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
T
x y z
x y y z z x
= + +
+ + +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 x y y z z x x y z y z x x y z= + + ≤ + + + + = + +
( )
( ) ( )

Vậy minT =
1
2
tại
1
3
x y z= = =
.
Trang
19
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 8: Cho ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
= + + +
+ +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2

2
1
3
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

Thật vậy, từ trên ta có:
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca⇔ + + ≥ + +
(suy ra từ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
( )
2
7 10
100 P 1 P
3 3
P 30
a b c
 
≤ + + + =
 
 
⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra
1
3
a b c⇔ = = =
Vậy minP = 30 tại

1 2
1

n
a a a
n
= = = =
2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số.
Trang
20
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 1: Cho hai số thực
yx,
thỏa mãn
132 =+ yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
22
23S yx +=
Giải:
Ta có
( ) ( )
22
22
2323S yxyx +=+=
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
6
35

yxvyxv
Dấu “=” xảy ra
xy
yx
94
2
3
3
2
=⇔=⇔
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được:
35
9
,
35
4
== yx
Vậy minS =
35
6
tại
35
9
,
35
4
== yx
Bài 2: Cho
1x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

++≥++⇔
zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3
1
===⇔==⇔ zyx
y
z
x
y
z
x
Vậy minP =
3
1
khi
3
1
=== zyx
Bài 3: Cho
1
22
=+ba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
abba +++= 11A
Giải:
Trang


Kết hợp với điều kiện ban đầu
1
22
=+ ba
Suy ra:
2
2
== ba
Vậy
22A
max
+=
khi
2
2
== ba
Bài 4: Cho ba số dương
zyx ,,
và
1=++ zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
2
2
2
2
2
2
111

y
yv +=⇒








=
2
2
11
,
z
zw
x
zw +=⇒






=





+++++≥+++++
zyx
zyx
z
z
y
y
x
x
(1)
Nhận thấy:
( ) ( ) ( )
+++−++=








+++++
22
2
2
8081
111
zyxzyx
zyx
zyx








+++++
zyx
zyx
zyx
zyx
111
9.2
111
81
2
2

81.2
1
3.3.9.2
3
3
=≥
xyz
xyz
(3)
Từ (2) và (3) ta có:
( )

y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== zyx
Vậy
82P
min
=
khi
3
1
=== zyx
.
Bài 5: Cho
2=++ cba
và
6=++ czbyax
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
161616P czcbybaxa +++++=
Giải:

2
2
2
≥+++++=⇒ czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: P
min
= 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ
0
b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ
0
Giả sử
0=u
thì
vkw =

( )
0>k

c. Không có vectơ nào bằng vectơ
0
Trang
23
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình






2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax
kba
m
cz
by
c
b
k
by
ax
b
a
Bài 6: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
4=++ zxyzxy

xyyx
2
2
2
22
22
22
≥+
≥+
≥+

( )
( )
zxyzxyzyxzxyzxyzyx ++≥++⇒++≥++⇒
222222
22
= 4
Từ đó ta có:
( )
3
16
1643
4442444
≥++⇒=≥++ zyxzyx
Vậy: minF = 16 khi
13
2
±=== zyx
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1064284A

≥+−++++++−⇒ bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra
2,0
1
2
2
3
2
==⇔







=
−−
−
=
−
−
⇔ ba
ba
a
b
a
Vậy
25A
min

avav
auau
Mà:
( ) ( )
344192
22
≥++++−⇒+≥+ aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1
=a
Vậy:
34M
min
=
khi
5
1
=a
Bài 9: Cho ba số dương
cba ,,
thỏa:
abccabcab =++
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
ca
ca
bc
bc
ab