Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
1
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G
bởi:
x y (g G, g
1
xg = y ).
Với mỗi x G, đặt H
x
= {g G | g
1
xg = x} và O
x
= {g
1
xg | g
G}.
a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O
1
G
= {1
G
},H
x
là một nhóm con của G và |G| = |H
x
|. |O

bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính
A


x
1
.
.
.
x
n


=


b
1
.
.
.
b
n


,b
i
K ().

g fg

gf

trong đó f

,g

là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.
a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker
và chứng tỏ rằng
(V
r+1
)=(V
r
).
b) Tìm dim((V
r+1
)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
n

atb
|x(t) y(t)|,x,y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, d là một metric trên C
[a,b]
và với metric d, C
[a,b]
là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
(x, y)=

b
a
|x(t) y(t)|dt, x, y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, là một metric trên C
[a,b]
và với metric đó C
[a,b]
là
một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C
0
[0, 1] = {x C
[0,1]

, ta có y

A X

. Chứng minh
rằng, A L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,


A
2


= A
2
, với A = A A.
b) Cho (A
n
)
nN
L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
nN
|A
n
x, y| < +
với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup
nN
A < +.

i
i
= e
và a
p
r
i
1
i
i
= e. Suy ra a
i
có bậc là p
r
i
i
.
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =

IR
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.
b) N = {x A |y A, z A, (1 xy)z =1}.
c) Giả sử A có tính chất: x A, n>1 thuộc N sao cho x
n
= x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.

n
) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R
n
).
b)
ánh xạ
f : GL(n, R
n
) R

A det(A)
từ nhóm GL(n, R
n
) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R
n
)/SL(n, R
n
) đẳng cấu với nhóm R

.
Câu 2. Cho R = Z
p
[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong tr-ờng Z
p
các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f Rvới:
f =

0
V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7
a) Với x
0
,x
1
, ,x
n
là một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợp
D = {x = a
0
x
0
+ a
1
x
1
+ ããã+ a
n
x
n
| a
0
+ a
1
+ ããã+ a
n
=1}


f(x) nếu f(x) <n
n nếu f(x) n.
Chứng minh lim
n

A
f
n
dà =

A
fdà.
Câu 3. Ký hiệu X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn với chuẩn max.
a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặt
x
n
(t)=x(t
1+
1
n
), t [0, 1].
Chứng minh rằng, dãy (x
n
)
n
hội tụ về hàm x trong X.
b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t)=x(0)

Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây:


n=1
ln(1+n)
n

,>1.
2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi:
f =



0, nếu x/ (0, 1],

n, nếu x (
1
n +1
,
1
n
], với n N.
Tính

R
fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue
trên R.
Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X là
một ánh xạ liên tục. Giả sử (K
n

0
x
2
(t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt
đ-ợc giá trị bé nhất trên M.
Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R là
một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f X

khi và chỉ khi tập
M = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e
n
, : n N}
và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho


n=1
Ae
n

2
<
10
+. Với mỗi n N, ta đặt A
n
: H X xác định bởi A
n
x =
n


,k
3
).(l
1
,l
2
,l
3
)=(k
1
+(1)
k
3
l
1
,k
2
+l
2
,k
3
+l
3
), k
1
,k
2
,k
3
,l

: M
n
(K) K xác định bởi

A
(X)=Tr(AX), X M
n
(K)
là một phần tử của không gian đối ngẫu (M
n
(K))

.
b)
ánh xạ
: M
n
(K) (M
n
(K))

A
A
là một đẳng cấu giữa các không gian vector.
Câu 4. Cho : V W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector
n-chiều V vào không gian vector m-chiều W. Chứng minh rằng,
a) Nếu U là một không gian vector con k-chiều của V sao cho U ker
là không gian con p-chiều thì dim (U)=k p.
b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T Im() là
không gian con r-chiều thì dim

x

),
với R

= R \{0}.
1. Chứng minh rằng, (G, ) là một nhóm. Chỉ ra nhóm tâm của G.
2. Chứng minh rằng, với bất kỳ k R, tập hợp
H
k
=

(x, k(x
1
x
)) : x R


là một nhóm con giao hoán của G.
Câu 3.
1. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n với hệ tử trong tr-ờng K.
Chứng tỏ
rank(A) + rank(B) n rank(AB) min {rank(A), rank(B)}.
2. Chứng minh rằng, công thức trên vẫn còn đúng khi A, B là các ma
trận chữ nhật với n là số cột của A và cũng là số hàng của B.
Câu 4. Cho f là một dạng song tuyến tính trên không gian vector
thực n-chiều V và U = {a
1
,a
2

là nghiệm của hệ ph-ơng trình
A





y
1
y
2
.
.
.
y
n





=0
với A M
kìn
(R) là ma trận nhận đ-ợc từ B bằng cách bỏ n k hàng
cuối cùng của B.
2. f đ-ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một
cơ sở nào đó của V, là không suy biến. Chứng tỏ nếu f không suy biến
thì dim L


2n
2n1
.
Câu 2. Cho (X, d
X
), (Y,d
Y
) là hai không gian metric, trong đó X
compact. Ký hiệu C(X, Y ) là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y.
1. Giả sử f,g C(X, Y ), đặt (x)=d
Y
(f(x),g(x)). Chứng minh
rằng, (x) là một hàm liên tục trên X.
2. Với f,g C(X, Y ), đặt d(f,g) = max
xX
(x). Chứng minh rằng,
C(X, Y ) là một không gian metric. Hơn nữa, C(X, Y ) là không gian đầy
đủ khi và chỉ khi Y đầy đủ.
Bài 3. Cho X là một không gian metric đầy đủ và là ánh xạ liên tục
bị chặn từ X ìR vào R. Giả sử tồn tại (0, 1) sao cho
x X, y
1
,y
2
R : |(x, y
1
) (x, y
2
)| |y
1

Câu 5. Cho {e
n
,n N} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
H và (
n
)
n
là một dãy số bị chặn.
15
1. Chứng minh rằng, với mọi x H, chuỗi


n=1

n
x, e
n
e
n
hội tụ
trong H.
2. Đặt Ax =


n=1

n
x, e
n
e

n
=0.
Câu 2.
a) Cho A là một tập con trong không gian metric X và x X là một
điểm dính của A. Giả sử x/ A. Chứng minh A là một tập vô hạn. Suy
ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng.
b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X Y là một toán
ánh liên tục từ X lên Y. Cho A X sao cho
A = X. Chứng minh rằng
f(A)=Y.
Câu 3. Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các
giá trị của A.
a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định
chuẩn. Chứng minh rằng, nếu tồn tại số m>0 sao cho Axm x
với mọi x X thì R(A) là một không gian con đóng của Y.
b) Giả sử X, Y là các không gian Banach và R(A) là tập đóng trong
Y. Chứng minh rằng, tồn tại số m>0 sao cho với mỗi y R(A), tồn
tại x X để y = Ax và ym x.
Câu 4. Ký hiệu H là không gian Hilbert.
a) Giả sử A là không gian con 1-chiều của H và a là một phần tử
khác 0 của A. Chứng minh rằng, với mọi x H ta có
d(x, A

) = inf

x u,u A


=
|x, a|

của tr-ờng C các số phức. Ký hiệu G
k
là tập
các căn bậc p
k
của phần tử đơn vị của C (p là số nguyên tố và k là số
nguyên d-ơng) và G =


k=1
G
k
.
a) Chứng tỏ rằng G là một nhóm con cấp vô hạn không cyclic của C

và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn.
b) Trên G, xét hai phép toán , nh- sau:
x, y G, x y = xy, x y =0.
Chứng minh rằng, (G, , ) là một vành giao hoán, không chứa đơn vị
và không có idean tối đại.
Câu 2. Cho D là một miền nguyên với đơn vị e sao cho mỗi nhóm con
của nhóm cộng của D là một idean của D. Chứng minh rằng, D đẳng cấu
với vành Z các số nguyên hoặc D đẳng cấu với vành Z
p
các số nguyên
mod(p), với p là một số nguyên tố.
Câu 3. Xét không gian vector thực M(n, R) gồm các ma trận vuông
cấp n với hệ tử trên tr-ờng R các số thực. Ký hiệu S(n) là tập con các
ma trận đối xứng và A(n) là tập con các ma trận phản đối xứng của
M(n, R).