A – ĐẠI SỐ
PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) )
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính y
!
và tìm nghiệm y
!
= 0
3. Xét sự biến thiên
4. Tìm cực trị của hàm số ( nếu có )
5. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có )
6. Tìm các đường tiệm cận của hàm số
7. Lập bảng biến thiên
8. Xác định một số điểm đặc biệt
9. Nhận xét: chỉ ra tâm đối xứng hoặc trục đối xứng ( nếu có )
• Phân dạng hàm số
1. Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0). Đồ thị của hàm số luôn có một điểm uốn và điểm đó là tâm đối
xứng của đồ thị.
2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠

4. Hàm số y =
edx
c
bxa
edx
cbxax
+
′
+
′
+
′
=
+
++
2
(a
≠
0, c
≠
0). Hàm số này có hai tiệm cận là tiệm
cận đứng x =
d
e
−
và tiệm cận xiên y =
bxa
′
+
′

=ax
2
+ bx + c :
⇔≤∆ 0
y
!
cùng dấu với a

⇔≥∆
0
y
!
trong trái ngoài cùng
Cực trị
-Lập pt: y
!
= 0 (1).
-Có yêu cầu cực đại, cực tiểu
dùng bảng biến thiên hoặc đạo
hàm cấp hai.
-Pt (1) có nghiệm đơn thì hàm số có cực trị ; nghiệm kép hoặc
vô nghiệm thì không có cực trị.
Cực đại:



<
′′
=
′

GTNN
-Biến đổi đại luơng tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất thành một
hàm số một biến: A = f(t).
-Lập bảng biến thiên hs f(t).
-Miền xác định phụ thuộc vào điều kiện của biến t.
-Khi f(x)
≤
M,f(x)
≥
m thì M và m chỉ được gọi là GTLN,NN
khi có hai điều kiện: + M,m là hằng số
+ tồn tại một giá trị của x sao cho f(x) = M
, f(x) = m.
Tương giao
Lập pt hoành độ điểm chung. -Nghiệm đơn thì cắt.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Biện luận pt bằng đồ -Từ pt tạo hai hs (một hàm -Nghiệm đơn thì cắt.
thị
không tham số và một hàm có
tham số).
-Khảo sát và nvẽ đồ thị hàm số
trên cùng hệ trục, dùng sự
tương giao để biện luận.
-Nghiệm kép thì tiếp xúc
-Vô nghiệm thì không điểm chung
Tiếp xúc
Điều kiện tiếp xúc: hai hàm số
bằng nhau và hai đạo hàm

0
) = tanα.
- Tt tạo với ox một góc α thì f
!
(x
0
) = ±tanα.
Lập phương trình tiếp
tuyến (tt) theo cách
hai
Lập phương trình tt dạng: y =
kx + b
Lập điều kiện tiếp xúc giửa
(C): y = f(x) và tt: y = kx + b.
- Tổng quát y = kx + b
- Qua một điểm M thì pt dạng: y – y
M
= k( x - x
M
)
- Qua gốc tọa độ thì pt là: y = kx
- Tt song song vời (d): y =lx thì pt là: y = lx + m
- Tt vuông góc với (d): y = lx thì pt là: y = lx + m
Điểm cố định của
một họ đường
Chuyển hs họ đường thành pt
tham số của m dạng:
a
n
.m

(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
y = | f(x) |
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần dưới ox làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
y = f(| x |)
Giữ nguyên phần (C) bên phải oy làm phần một của
(C
!
), lấy đối xứng phần giữ nguyên làm phần hai của (C
!
).
(C): y = f(x) vẽ (C
!
):
| y | = f(x)
Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C
!
), lấy đối
xứng phần giữ nguyên qua ox làm phần hai của (C
!
).

2
+ 9x; c) y = - x
3
+ 3x
2
-2 ;
d) y = - x
3
+ 3x
2
; e) y = 2x
3
+ 3x
2
– 1; e) y = -x
3
+ 3x
2
- 9x +1.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 1; b) y = -x
4
+ 3x
2
+ 4; c) y = x
4

1 2x
x 2
−
+
c/ y =
6
x 3+
d/ y =
2x 8
x
−
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x
3
+ 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
–3x–2+m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n
0
; * m = 4: 2 n
0
; * 0 < m < 4: 3 n
0
; * m = 0: 2 n
0
; * m < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

; * k = 4: 2 n
0
; * 0 < k < 4: 3 n
0
; * k = 0: 2 n
0
; * k < 0: 1 n
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x
4
+ 2x
2
+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x
4
+ 2x
2
+ 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n
0
; * m = 2: 2 n
0
; * 1 < m < 2: 4 n
0
; * m = 1: 3 n
0
; * m < 1: 2 n

Bài 9: Cho hàm số (C): y =
x 1
x 3
+
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (C
m
): y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y =
9
x 1
8
− −
Bài 11: Cho hàm số (C
m
): y = x
4
– (m + 7)x
2
+ 2m – 1

3 1
x
8 8
−
Bài 13: Cho hàm số (C
m
): y =
(m 1)x 2m 1
x 1
+ − +
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(
3
; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung
⇒
x = 0, thay x = 0 vào (C)
⇒
y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1
Bài 14: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
+ (m + 3)x
2

y ( ) 0
≠
 


 ÷
′
α =

 ÷

 ÷
′′
α >

 
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại x = -2 ĐS: m =
5
3
−
Bài 15: Cho hàm số (C
m
): y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định


 ÷
′
∆ ≤ ∆ ≤

 
* m
2
– 2m + 1
0≤
⇔
m = 1
(vì m
2
– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ĐS: m
≠
1
c) Xác định m để y
”
(x) > 6x. ĐS: m < 0
Bài 16: Cho hàm số (C
m
): y =
mx 3
x m 2
+
+ +
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu

Bài 21: tìm max, min của các hàm số sau:
a. A = cos4x + 2sin2x – 3(DS: Max A=
2
3
−
, Min A = - 6) b. B =
13
23
+− xx
(DS: Max B = 19, Min B = 0)
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ
VÀ LOGARÍT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
@
n
n thua so
a a.a a
=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
@
1
a a
=

a

> ∈
)
@
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :
@
m n m n
a .a a
+
=
@
m
m n
n
a
a
a
−
=

> ∀ ∈
)
• Tính đơn điệu: * a > 1 :
x
y a=
đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a=
nghòch biến trên
R
• Đồ thò hàm số mũ :
a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0
dn

log a 1=
;
a
log a 1=
•
M
a
log a M=
;
log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +
•
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α

• Đặc biệt :

a
b
c
c
b
a
loglog
=

4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=

y=log
a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
4. ẹũnh lyự 4: Vụựi 0 < a

1 vaứ M > 0;N > 0 thỡ : log
a
M = log
a
N

M = N
5. ẹũnh lyự 5: Vụựi 0 < a <1 thỡ : log
a
M < log
a
N


x x 1 x 2
2 .3 .5 12

=
e.
2
2 x 1
(x x 1) 1

+ =
f.
2 x 2
( x x ) 1

=
Bài 2:Giải phơng trình:
a.
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
+ +
+ =
b.
2x 6 x 7
2 2 17 0
+ +
+ =
c.
x x
(2 3) (2 3) 4 0+ + =
d.

(x 1) 1

+ =

Bài 3:Giải phơng trình:
a.
x x x
3 4 5+ =
b.
x
3 x 4 0+ =
c.
2 x x
x (3 2 )x 2(1 2 ) 0 + =
d.
2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2
2 3 5 2 3 5
+ + +
+ + = + +
Bài 4:Giải các hệ phơng trình:
a.
x y
3x 2y 3
4 128
5 1
+


=



d.
x y
2 2 12
x y 5

+ =

+ =

e.
2 2
lgx lgy 1
x y 29
+ =


+ =

f.
3 3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +


+ =

g.
( )

+


=


+ = +

l.
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3

=


= +


Bài 5: Tìm m để phơng trình có nghiệm:
x x
(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0 + =
Bài 7: Giải các bất phơng trình sau:
a.
6
x
x 2

16
9
. b. Định m để bất phơng trình thỏa
x R
.
Bài 12: Giải các phơng trình:
a.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + − +
b.
5 25 0,2
log x log x log 3+ =
c.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2− + =
d.
x 16 2
3log 16 4log x 2log x− =
e.
2
2x
x
log 16 log 64 3+ =
f.
3
lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ − =
g.

= ≠
∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
Nếu
( ) ( )
f x d x F x C
= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
.
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C

= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k

π
= − + ≠
∫
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất:
a.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b.
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c.

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
g. Nếu
( )
[ ]
, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 

. Đặt
cost x=
hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c) TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
. Đặt
lnt x=
hoặc
lnt p x q= +



hoc
n
t ptgx q= +
nu nh biu thc
ptgx q+
nm trong du
n
.
e) TH5:
( )
2
1
.
sin
f cotgx dx
x



. t
t cotgx=
hoc
t pcotgx q= +

( )
,p qĂ

hoc
n

( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


Đ5. DIN TCH CA HèNH PHNG:
1). Din tớch ca hỡnh phng gii hn bi:

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =
(trong ú hai ng thng

;x a x b= =
cú th thiu mt hoc c hai).
a). Cụng thc:
( )
2
b
a
V f x dx

=


(3)
b).Các bước thực hiện:Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( )
0f x =
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (3).
Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π

2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
f.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
g.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x +
∫
h.
19
2
3
0
8

2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
n.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
o.
3
3
0
cos
tgxdx
x
π
∫
p.
2
2 3

3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
v.
3
2 3
0
1x x dx+
∫
y.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x
π
+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.

e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx−
∫
h.
( )
1

−
∫
2.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
3.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫

4.
2

2
x
xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
7.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
8.
1
2
0

−
+ +
∫
14.
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
−
+
∫
15.
3 2.3
x x
dx+
∫
16.
( )
dx
x ln x ln x 1+
∫
17.
cos 2x dx
3
π
 
−

∫
24.
cosx sin x
dx
sin x cos x
+
−
∫
25.
2
sin x cos x
dx
(sin x cosx)
−
+
∫
26.
2
cos2x
dx
(sin x cosx)+
∫
27.
2
sin x
e sin 2xdx
∫
28.
tan x
2

( )
4 2
:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận
xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.

P
và các tiếp tuyến.
Bài 11: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x=
;
2:d y x= −
và trục Ox.
Bài 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 13: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.Tính
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến
Bài 14: Cho đường cong
( )
2 1

∫
+ xx
xdx
cossin
cos
c) K =
∫
x
dx
5
cos
d) L =
∫
− dxx 9
2
e) M =
∫
+
1
0
2
1dxx
f) N =
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
g) P =

z a b= +
. Khi đó
z z=
5) Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di



=
=
⇔
db
ca
6) Các phép toán: cho z
1
= a
1
+ b
1
i , và z
2
= a
2
+ b
2
i
a/ z
1
+ z
2
= (a

2
+ b
2
i) (thực hiện tương tự như nhân 2 nhị thức)
d/
( ) ( )
1
2 2
2
a bi c di
z
z c d
+ -
=
+
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Lý thuyết
1) Phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c với a, b, c
∈
R
2) Cách giải
• Tính
2
4b acD = -
• Biện luận
a) Nếu
D


⇔
w
2
= z



=
=−
⇔
bxy
ayx
2
22
IV. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Lí thuyết
@ Số phức w = x + yi (x,y
∈
R) có dạng lượng giác là z = r(cos
θ
+ isin
θ
)
Với






’
)
Thì z.z
’
= r.r
’
[ cos(
θ
+
θ
’
) +isin(
θ
+
θ
’
)]

'
'
r
r
z
z
=
[cos(
θ
’
-
θ

4 4
x i= −
Bài 2. Giải phương trình
2
4 7 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
2 3x i= +
;
2
2 3x i= −
Bài 3. Giải phương trình
2
6 25 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
3 4x i= +
;
2
3 4x i= −
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i= + + −
Đáp số:
4P = −
Bài 5. Giải phương trình
2
2 2 0x x− + =
trên tập số phức. Đáp số:
1

2 6 5 0z z+ + =
trên tập số phức. Đáp số:
1
3 1
2 2
x i= − +
;
2
3 1
2 2
x i= − −
Bài 9. Cho hai số phức:
1
1 2z i= +
,
2
2 3z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
2z z−
.
Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 10. Cho hai số phức:
1
2 5z i= +
,
2
3 4z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2

z i
z i
z i
− −
= −
−
trên tập số phức. Đáp số:
1
1 2x i= +
;
2
3x i= +
.
Bài 15. Tìm phần ảo của số phức z, biết:
2
( 2 ) (1 2 )z i i= + −
. Đáp số:
2−
Bài 16. Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của
z iz+

3x i
=
.
Bài 20. Hãy tìm dạng lượng giác của số phức:
a) z = 1+
i3
b) z = -
i
2
1
2
1
+
c) z =
2011
1






+i
i
d) z = - sin
θ
- icos
θ
Bài 21/ Tính :
1. (5 + 2i )– 3(-7+ 6i)

i
i-
9.
3 2
4 3
i
i
-
+
10.
(7 4 )
(1 3 ).(8 7 )
i
i i
−
− +
A
B
C
M
N
Bài 22: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau.
a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i).
c) z = (7 – 3i)
2
– (2 - i)
2
d)
( )
2 3

B – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:
·
·
BAK KAC=
Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
O
A
B
C
c) Đường cao AH
AH BC
⊥
Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm
d) Đường trung trực a :
,a BC⊥
M là trung điểm BC
Giao điểm của 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G : GA=
2
3
AM G là trọng tâm
3) Định lý :
/ /
MA MB
N
MN BC
=

b)
. .AH BC AB AC
=
c)
2
.AH HB HC
=
A
B
C
H
A
B
C
K
A
B
C
H
A
M
a
B
C
I.VECTO TRONG KHÔNG GIAN
d)
2
.AB BC BH
=
e)

có AM là trung tuyến
·
0
90
2
BC
AM BAC
= ⇔ =

·
0
90MA MB MC BAC
= = ⇔ =
7)
ABC∆
đều cạnh a: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
Đường cao AH =
3
2
a
Diện tích
2
3
4
a
S =
8) Định lý Talet:

/ /
AM AN

2
AB CD AH
S
+
=
14) Hình bình hành
.S DC AH
=

15) Hình thoi
.S AD BH
=
,
1
.
2
S AC BD
=
16) Hình tròn:
2
S R
π
=

17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1
∆
lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1
∆

B
C
M
N
A
B
C
D
H
x
A
B
C
A
B
D
H
B
C
A
A
D
B
C
H
D
C
A
B
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông ; Cạnh huyền, 1 góc nhọn

25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại đầu mút
của bán kính
OB là bán kính đường tròn
a
⊥
OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2
∆
bằng nhau b) Cùng bằng cạnh thứ ba c)
EFAB CD GH AB GH= = = ⇒ =
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)
∆
có 2 góc =
⇒
∆
cân
⇒
2 cạnh bằng nhau
f)
∆
cân
⇒
đường phân giác hay đường cao ở đỉnh chia đôi cạnh đáy g) Áp dụng đl I)3

2∆
đồng dạng
⇒
cặp góc thứ ba bằng e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường thẳng thứ ba
⇒
2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc đồng vị bằng
B
a
O
D
A
B
C
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một vuông góc i) cùng bằng góc thứ ba
j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba k) cùng cộng với góc thứ ba bằng
0
60
l)
$ $ $
1 2 3 4 1 4= = = ⇒ =
$ $ $
m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh
⇒
2 góc đối bằng nhau o) Hai tiếp tuyến cắt nhau

·
·

g) Đường trung bình trong một
∆
thì // với cạnh thứ ba h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau
a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =
⇒
2 đt
⊥
b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c)
∆
có 2 góc phụ nhau
⇒
góc còn lại bằng
0
90
⇒
2đt
⊥
d)
/ /a b
a c
a c

⇒ ⊥

⊥


P
P
A, B, C thẳng hàng
c)
AB n
BC n
⊥


⊥

⇒
A, B, C thẳng hàng d)
·
·
xAB xAC= ⇒
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1
∆
f) Đường tròn (O) có AB là đường kính
⇒
A, O, B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A
⇒
O, A, O
’
thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn

uuur uuur uuur r
42) Tích vô hướng của hai véctơ
. . cos( , )a b a b a b
=
r r r r
43) Tam giác ABC
( )
2 2 2
1
.
2
AB AC AB AC BC
= + −
uuur uuur
44) Định lý Cô sin a
2
= b
2
+ c
2
-2bc cos b
2
= a
2
+ c
2
-2ac cosB c
2
= a
2

a b c
R
A B C
= = =
O
M
A
B
c
a
b
A
B
C
47) Diện tích tam giác a) S =
1
2
ab sinC =
1
2
bc sinA =
1
2
ac sinB, b) S =
4
abc
R

b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥
a
c
b
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

a
b
P
a
P
b
( )
( )
a song song P
a b
b P

( )a P⊥
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông
góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông
góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
50/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này
vuông góc với mặt phẳng kia.

 CÁCH XÁC ĐINH GÓC
51/ Góc của hai đường thẳng
P
b
a
a
//
b
,
( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥
Q
P
b
a
( ) ( )
( )


ϕ
y
x
β
α
∆
O
•
( ) ( )
α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))
α β
=
góc
·
( ; ) : 0 90
o

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng làgóc giữa
đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng
 KHOAÛNG CAÙCH
• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
AOB
• Thường chọn điểm O
∈
a hoặc O
b
b'
a'
B
A
O
b
a
α
=
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA


* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ
= −

β
α
B
O
A
ϕ
∆
B
O
A
ϕ
a
α

• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
• Dựng qua
( )AB

Dùng: MH
⊥
(
α
), H thuéc (
α
) ta cã: d(M,(
α
)) = MH
α
M
H
Chän ®iÓm M trªn
∆
1
, dùng MH
⊥

∆
2
( H thuéc
∆
2
) ta cã d(
∆
1
,
∆
2
) = MH

H
M
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường thẳng //
HèNH V MT S HèNH CHểP T BIT
54/ Hỡnh choựp tam giaực ủeu

>
Hỡnh chúp tam giỏc u:

ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn

>
c bit: Hỡnh t din u cú:

ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u

>

ã
SIH

=
55/ Hỡnh chúp t giỏc u>
Hỡnh chúp t giỏc u:

ỏy l hỡnh vuụng


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn

>
Cỏch v:


V ỏy ABCD


Dng giao im H ca hai ng chộo AC & BD


V SH

(ABCD)




, MH

(

), H thuộc

)
(

) // (

),

chứa trong (

)
H
M





Dựng mặt phẳng (

) chứa b & (

) // a


B
A
H
M
a'
b
a
Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
h


I
C
A
H
S
B


I
H
D
A
B
C
S


B
h
c
a
b
a
B
h
.
57) Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
58) Thể tích khối lăng trụ

' ' '
' ' '
SCDE
SC D E
V
SC SD SE
V SC SD SE
=
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ

1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính V khối lăng trụ.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng
α
,tính V khối chóp.Biết
trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
ϕ
.Tính V khối chóp.
Bài 3:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
1/Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp.
2/Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng
α
,tính V khối chóp.
Bài 4: Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao với mặt bên là
0
30
.Tính
V khối chóp cụt .
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
R 3
.A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc
hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
1/Tính
xq tp
S va S
của hình trụ . 2/Tính V khối trụ tương ứng.
Bài 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
1/Tính

⊥ ⊥
.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại
C’.Tính V khối chóp đó .
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đáy là hình vuông cạnh a ,cạnh bên
tạo với đáy một góc
0
60
. Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD ,cắt SB tại E và cắt
SD tại F.Tính V khối chóp S.AEMF.
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.Tính V khối tứ diện
A’BB’C.Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm
ABCV
, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tính V khối chóp
C.A’B’FE.