Lý thuyết Toán 11
GIÁO VIÊN:
NAÊM HOÏC:
!"#$%
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 1 -)
Lý thuyết Toán 11
!&'(()*
+!(,((-'(.&/0,(
$+(-'((1 "+(-'(/-
2+(-'(.3(
[cos(a – b) + cos(a + b)]
[cos(a – b) - cos(a + b)]
[ ]
ac a b a b
+ + −
[ ]
c a a b a b
+ − −
(789:;<9:=>?@A9::B7CDE9
•
α α
+ =
α
α
α
=
k
π
α π
∀ ≠ +
∈
•
α
α
+ =
x k
π
∀ ≠
∈
•
α α
=
k
π
α
∀ ≠
∈
•
( )
x x
− = −
( )
x x
− = −
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 2 -)
Lý thuyết Toán 11
(F9:DM
•
( )
x x
π
− =
( )
x x
π
− = −
•
( )
x x
π
− = −
( )
x x
π
x x
π
− =
÷
(F9:C9GHI!"
•
x x
π
+ =
÷
x x
π
+ = −
÷
•
π
+ =
( )
x x
π
+ =
(P9:=>BQ;PB
•
x x
−
= ±
x x
+
= ±
•
x x x
x x
− −
= ± =
x x
x x x k
x
π
−
= ∀ ≠
−
(P9:=>SDT
•
( )
x x
= −
( )
x x
= +
•
x x
x
−
=
x x
x
+
=
(P9:=>=UV
x
t
=
•
−
%+.W,X,((Y(,((/Z(.
[
\
Q
]
^π
- - - - - - -
#
π
;
_
^$`#
V
^$6#
V
^$26
V
^$"#
V
^a#
V
^%#
V
^46
V
^2#
V
# 2#
Chu kỳ
T = 2π T = 2π T = π T = π
Tính
Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 4 -)
Lý thuyết Tốn 11
chẵn lẻ
Sự biến
thiên
Đồng biến trên:
k2 ; k2
2 2
π π
− + π + π
÷
Nghòch biến trên:
3
k2 ; k2
2 2
π π
+ π + π
÷
Đồng biến trên:
( )
k2 ; k2
−π + π π
–1
0
1
0
x –π 0
π
y =cosx
– 1
1
– 1
a
x
2
π
−
2
π
y = tanx
–∞
+∞
x 0
π
y = cotx
+∞
–∞
a
Đồ thò
y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx
'*⇔'π)∈
'⇔'π)∈
'⇔'π)∈
"+@C9:=\f9Vb[gQ+h^$≤Q≤$i
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 5 -)
Lý thuyết Toán 11
'⇔
(
(
x
x
π
π
=
= −
)∈'α⇔
x
x
α π
α π
=
= −
k k
k k
k k
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ ∈
¢
¢
¢
4+@C9:=\f9V=[gQ+
+,-
{ }
. k k
π
∈¡ ¢
' '( co
π
⇔ ∈¢
' '
α α π
⇔ ∈¢
' '
a b a b a b
⇔
+ + +
/0-
a
c
a b
b
a b
α
α
+
=
+
12345(62(7282-
' '
c
c c
'' *b x =
'''*c⇔
'*
''*
c
⇔
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 6 -)
Lý thuyết Toán 11
=>*-
''*x b+
'''*⇔
'*
''*
⇔
=>
* * *a c x≠ ≠ ≠
-
•
x x x x k
π
+ = − ∀ ≠
÷
•
x x x k
x
π
− = ∀ ≠
÷
•
x x x
+ = +
•
? ?
@
x
x
x
π
−
÷
+ =
x
x
x
π
−
÷
− =
!(789:;<9:=>=\V9:=Q:B7
•
A B C
A B C
+ + =
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 7 -)
Lý thuyết Toán 11
•
A B B C C A
+ + =
VI/Các phương trình lượng giác thường gặp :
(79:BnCDE9
•
u v k
u v
u v k
π
π π
= +
= ⇔
= − +
( )
¢
( )
v l
u v k l
u v k
π
π
≠
= ⇔ ∀ ∈
= +
¢
@C9:=\f9DT9o==UV_=KbL?@A9::B7pQF
#:BC5-
( )
( )
( )
( )
*
*
) *
*
*
b
a
−
≤
#2Iα2
[ ]
[ ]
) )
) *)
) )
) *)
b
a
b
a
b
a
b
a
π π
α α
α α π
π π
α α
α α π
− −
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
,0
u t
t
u t
u t
u t
=
≤
=
=
=
⇒92345(62L2
*
MJ12345(626<'N/H>;=>:⇒E2I52;<4J5J6<'
2+ (7]S9:G7
b
a b
α
=
+
(7"
• 6<52;<2Y
*
x
=
• Z
*
x
≠
26/0
x
t
=
:-
•
( )
*a x x b x x c
− + + =
,0
)
t x x x
π
= ± = ± ∈ −
÷
26
t
x x
−
= ±
÷
S9:492345(622>FL2/D
x
8
(7"
• 6<52;<2Y
*x
=
• Z
*x
≠
2622=^
12345(622
x
BK/3
12345(62/[2HBC512345
(62L22\U
x
S9:692345(622>FL/D
x
8
x
-
a x b x c x x d x x
+ + + +
*e x f x
+ + =
#E25J345X2312345(622>F
2OL223522=2
• M:Q3T55E-2E5:6223n55:Q3T55E:<R2H>2O/p2
@C9:N7NDBqF]Br9:sJKF9:?@A9::B7
• %K>BuE/K<5I^>5Q3T55E=D/:BC5
v
π
-
/3D/HBC5
v k
m
π
+
_=bLP9:=>t9;@A]M9:9BuFvN@C9:N7N9Kw
5 5'x tgx− =
5
x tgx
x
+ =
5 5'
x
x
− = −
n p−
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2. Hoán vò (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n
≥
1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là: P
n
= n! = 1.2.3………(n-1).n
3. Hoán vò lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2
, …, a
k
. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
,
n
2
phần tử a
2
, …, n
k
phần tử a
k
1 2
!
! ! !
k
n
n n n
4. Hoán vò vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vò vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vò vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
CHỈNH HP
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) .
K=h>J^;QOi12Fz2E2>g12FzcủaL12T1s8x12SX2_52\<R2SX8/:
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đcho.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
A
k
n
thì
{
{
kn
n
A
k
n
−
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 11 -)
Lý thuyết Tốn 11
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n phần tử của tập A.
|E2}22c~1Q•12€1>•128‚•-
k k
n
A n=
TỔ HP
.Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n ) được gọi
là là một tổ hợp chập k của n phần tử .
1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1
≤
k
≤
n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
−
= =
=
= +
− +
=
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A =
{ }
1 2
; ; ;
n
a a a
và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một
hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
1
1 1
k k m
n n k n k
C C C
−
+ − + −
= =
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
•
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
k k
n n
n n n n k k n n
n n n n n n
a b a a b a b a b a b b
C C C C C C
−
− − − −
+ = + + + + + + +
(1)
=
kkn
n
k
k
n
ba
C
−
=
∑
*
(*)
H nlFE
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 12 -)
Lý thuyết Tốn 11
Z:-
###
?
@@**@
T9[H=
###
−
−
−
+=
1. Công thức khai triển nhò thức Newton: Với mọi n
∈
N và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
−
=
C C C
−
+
+ =
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a và b những giá trò đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1
n n n
n n n
C x C x C
−
+ + +
⇒
0 1
2
n n
n n n
C C C+ + + =
(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n
n n n
C x C x C
TNs∩%/3T5IQ8:BQV^E=Ds8%
=>s∩%∅26:s8%[F9:GŠ+
#2_`-s∪%'Ji(282m2s'Ji(20%'Ji(
s∩%'Ji(282m2s8%/r52n'Ji(%=Ds∩%f/3To2;>s%
s8%'>52x282m22_52c528…5'Ji(
.KB6+x,(yz(Y.&(ƒ
/X‹(0/Œ(Yx,(yz
/€99:•Q
MJzs=DQGh>/=<R12N12z2m:<RD2e>2C=h>J/r52Jƒ5'>O2; 5ImD
s
Ω
Q8'E>O^=Dso2;>Q89sZLi
s
s9
Ω
=
(}~sQ8D12Fz^s
Ω
Q8DE=h>J:2K'Ji(^12N12z
!5(z(Yx,(yz
$!/€9?t
9∅*9
Ω
*≤9s≤<I=Ds
=>s8%'>52x269s∪%9s9%
nlFEZ<I=Ds:
Giao hai biến cố: A
∩
B (hoặc A.B)
•
Hai biến cố xung khắc: A
∩
B =
∅
•
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
•
Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n
Ω
•
0
≤
P(A)
≤
1; P(
Ω
) = 1; P(
∅
) = 0
•
Qui tắc cộng: Nếu A
1
+ p
2
+ … + p
n
= 1
2. Kì vọng (giá trò trung bình)
•
µ
= E(X) =
1
n
i i
i
x p
=
∑
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
•
V(X) =
2
1
( )
n
i i
i
x p
=
−
1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n
≥
p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
≥
p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
§2. DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩatR28<D>'E/p2(GL1
¥
ED5>iGB3455IQ8B[iDc2C
o2;>
-
n u n
u ®
a
¥ ¡
,0
n
u u n=
5I
n
• >
Q8B[iD5J< ⇔>
ˆ>
∀∈
⇔>
>
ˆ*∀∈⇔
1
1
n
n
u
u
+
<
∀∈>
‡*
4. Dãy số bị chặn:
• >
Q8B[iDp20(G⇔∃t∈q->
≤t∀∈
• >
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2
k k
k
u u
u
− +
+
=
với k
≥
2
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 16 -)
Lý thuyết Toán 11
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
2
n
n n
n u u
S u u u
+
= + + + =
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
− +
=
với k
≥
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôùi q
q
= =
BF2BFc
X
n → +∞
=>
( )
Q< *
n
n
u a
→+∞
− =
o2;>-
( )
Q< 2i> 2
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
Chú ý:
( ) ( )
Q< Q<
n n
n
u u
→+∞
=
"+ _=JKB:B•BS9;‘DBn=+
*
n
v n
n n
u w≤ ≤ ∀ ∈¥
8
( ) ( ) ( )
n
lim lim lim u
n n
v w a a= = ⇒ =
Định lý 2:=>Q<>
Q<
26-
( ) ( ) ( )
lim lim lim
n n n n
u v u v a b± = ± = ±
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
BFcX
( )
n
u → +∞
2BF4X
( )
n → +∞
=>>
Q24<RDB345OŠKgD2C58/:(7/o2;>-Q<>
+∞
2i
>
→ +∞
2
n → +∞
:B[iD>
:52CQ8
−∞
2
n → +∞
=>Q<
( )
= ∞
o =>-
( )
lim
n
u = ∞
26
1
lim 0
n
u
=
% ,Wˆ,
B•BS9pQ]’wbLhF
9
iJ•B
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
J•B„|?K7;Q=>
o =>DTgDT|gG2;D2O^9Q8
*
2;D2O^wQ8
*
26
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 18 -)
n
f n
u
g n
=
„˜JK:?K7DBq9=>>Q9+
o #2z8<„>2
2I2o22T1
2lz8<„>K>2SQG2T1
*(Yyƒ
+ &'((.W
/€99:•Q#228<DP''E/p2(G2J5 :(a528<DP':5
2CQ8d2'BF=><IB[iD'
'
∈
8'
≠
*
n∀ ∈¥
<8
Q<'
/H>:Q<‹P'
( ) ( ) ( ) ( )
lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
= =
( )
( )
( )
( )
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f x
f x
L
g x M
g x
→
→
→
= = ≠
Q<'
/H>:
Q<‹P'
Œ
∞
26:P'BFcX2'BFo2;>-
( )
lim
x a
f x
→
= ∞
=><IB[iD'
Q<'
∞
/H>:Q<‹P'
Œd26:P':5
2CQ8d2'BFcXo2;>-
( )
lim
x
26:28<D:52CG(ECo
2;>-
( )
lim
x a
f x
−
→
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 19 -)
Lý thuyết Toán 11
.+ ,Wˆ,
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
$+ B•BS9pQKbL]S9:
( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
÷
o =>P'5'Q8E28</2S26:2K2zD<„>D2'20'
∞
=/WHBC5-
∞
÷
∞
4+ B•BS9pQKbL]S9:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
− ∞ ∞
+,3HBC5-
( ) ( )
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x
→∞
−
+
yƒ‰™(
+ &'(()*
$+ KbL?B•9=O=SB_=;Bq=\•9_=GVE9:
x x x x
f x f x f x f x
+ −
→
→ →
⇔ = = =
o P''E/p2(G2J5)/3T5IQ8QGV(G2J5)=>:QGV
C<I/K<2>R2J5Oi
o P''E/p2(G2J5‹)Œ/3T5IQ8QGV(G2J5‹)Œ=>:QGV
(G2J5)8
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→
=
/K<
∈
)2P* SQ8:o2O<R52;<2>R2J5
)
.+ ,Wˆ,+
$+ xH==t9?B•9=OpQKbL]S9:
( )
( ) ( )
( )
0
0
x x
a x=x
g x
f x
≠
=
o 6<
( )
0
lim
x x
g x
→
=
o 6<-
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
− −
+ +
→ →
→ →
=
$+ /€99:•Q;SVK=SB_=;Bq
o Định nghĩa :#228<D
( )
y f x=
'E/p2(G2J5
( )
)a b
8
( )
*
)x a b∈
/C
28<^28<DC/K<
*
x
Q8:
( )
( )
( )
*
*
*
*
• Q<
x x
f x f x
f x
x x
→
−
• =>28<D
( )
y f x=
:/C28<C
*
x
26:QGVC/K</:
"+ ›9:•QpQ;SVK
o Ý nghĩa hình học: #228<D
( )
y f x=
:/r2p
( )
C
•
( )
*
•f x
Q82;D5:^=1>i=/r2p
( )
C
^28<D
( )
y f x=
C
( )
( )
* * *
M x y C∈
( )
Q Q t=
C2n/K<
*
t
Q8-
( ) ( )
* *
•I t Q t=
2+ |FB=Š=t9;SVKJKP9:=>=t9;SVK
o Các quy tắc : #2
( ) ( )
) ) -u u x v v x C= =
Q82a5D
•
( )
• • •u v u v± = ±
•
( ) ( )
• • • u v u v v u C u C u
′
′
= + ⇒ =
•
( )
• •
*
n n n n
x n x u n u u n n
− −
′ ′
′
= ⇒ = ∈ ≥¥
•
( )
( )
( )
( )
* *
u
x x u u
x u
′
′ ′
= > ⇒ = >
•
( ) ( )
x x u u u
′ ′
′
= ⇒ =
•
( ) ( )
x x u u u
x u
′
′ ′
′
= − = − + ⇒ ⇒ = − = − +
4+ BNR9
o Định nghĩa :
GV : Phạm Hồng Phượng . ĐT : 0976.580.880 ( - 22 -)
Lý thuyết Toán 11
• #228<D
( )
y f x=
:/C28<C
*
x
12l^28<D
( )
y f x=
C/K<
*
x
Q8-
( ) ( )
* *
df x f x x
′
= ∆
* * *
f x x f x f x x
′
+ ∆ ≈ + ∆
6+ /SVKoNQV
o Đạo hàm cấp 2 :
• Định nghĩa :
( ) ( )
f x f x
′
′′ ′
=
• Ý nghĩa cơ học:MDS2n^2>iK/R5
( )
s f t=
C2n/K<
*
t
Q8
( ) ( )
* *
a t f t
′′
=
.
o Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
y
x
∆
∆
o Bước 2 : 6<52C
*
Q<
x
y
x
∆ →
∆
∆
• Cách 2 :‘1BV5c52S-
( )
( )
( )
*
*
*
*
• Q<
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
*
•f x k⇒ =
MJ12345(626<
*
x
>i(
( )
* *
y f x=
92345(62=1>i=12J6<:BC5-
( )
* *
y k x x y= − +
Chú ý :
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
( )
( )
* *
M x y C∈
là
( )
*
k f x
α
′
= =
Trong
đó
MJ12345(626<
*
x
2=8>i(12345(62=1>i=
ĐẠO HÀM
1.Tóm tắt lý thuyết
/SVKpQ
xf
=SB
*
x
„GtBnF
*
•
xf
Qw
*
•
xy
*
***
*
*
•
Q<
Q<
•
−
=
nn
xnx
x
x
•
=
•
x
x
−=
/SVKpQKAN
( ) ( )
••
'
*
≠
/SVKpQ“9:„BnF„t„@C9:
( )
•••
•
wvuwvu −+=−+
( )
*
••
•
••
•
≠=
−
=
+=
xvv
v
xx
•
=
( )
uuu
•
•
=
( )
•
•
uunu
nn −
=
( )
xx
•
−=
( )
uuu
•
•
−=
••
uunu
nn −
=
( )
x
u
•
•
−=
••
uunu
nn −
=
=>28<D>5':/C28<C'Q8
x
u
•
828<D
ufy =
:/C28<C>Q8
u
y
•
26
28<2T1
xgfy =
:/C28<C'Q8-
2. Các bài toán cơ bản:
.KB=V79$ o2/C28<a5/p252•-
@C9:N7N:BEB
.@•$MI
x∆
Q8<23>-
6<52C
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
8
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
^28<Di
xf
>/:
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
+
→
*
*
*
Q<
xx
xfxf
x
−
−
−
→
2628<D
xfy =
:/C28<
C
*
x
2c5:
/C28<C
*
x
.KB=V794Bk=N@C9:=\f9=BkN=Fwk9pQKbL
xfy =
S9:$#228<D
xfy =
:/r2p#=12345(62=1>i=C/K<t
**
) yx
@C9:N7N:BEB
.@•$+E/p2I/R
**
) yx
.@•" o2/C28<^
•
xf
C
*
x
.@•2Z=12345(62=1>i=C/K<t
**
) yx
:BC5-
**
Copyright: Tài liệu đại học ©