CHƯƠNG I
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
(Trọng tâm – 5điểm)
* MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
1. Hàm 2 biến:
Cho không gian vector:
2
= {(x, y); x, y } và tập D
2
Định nghĩa : Ánh xạ: f: D
(x, y) f(x, y)
Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập D.
- D là tập xác định của f
- x, y là 2 biến tự do
- z = f(x, y) là biến phụ thuộc vào (x, y)
- f(x, y) là giá trị của hàm số f tại điểm (x, y) D
Lưu ý: Khi cho hàm hai biến, ta phải cho ánh xạ f và tập xác định D. Tuy nhiên, trên thực
tế ta gặp các hàm số được cho bởi công thức mà không đề cập đến tập xác định. Khi đó, ta
cần quy ước tập xác định D chính là tập hợp các giá trị làm cho f có nghĩa.
VD1: cho hàm số : z = f(x, y) = x
2
– y
2
+ 1 với tập xác định D =
2
.
• Với (x, y) = (1, 2) z = f(1, 2) = 1
2
– 2
2
+ 1 = – 2

2
0
●
●
Tương tự như hàm hai biến, ta có quy tắc về tập xác định D (nếu bài toán không cho
trước)
VD: Xét hàm : f(x, y, z) = ln(z – x
2
– y
2
)
Ta quy ước tập xác định D là: D = {(x, y, z)
3
: z – x
2
– y
2
> 0}
Vẽ hình minh họa cho D, trước hết ta vẽ mặt cong:
z = x
2
+ y
2
(phương trình mặt cong trong không gian 3 chiều)
* Xét trong mp(Oxy), x=0, ta có:
y
2
là một parabol
* Xét trong mp z = c (với c>0 bất kì) thì :
x

1
, x
2
, …, x
n
) f(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Được gọi là n biến xác định trên tập D.
VD: Cho hàm số: f(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = x
1
.x
2
+ x
3
– x
4
với tập xác định D =

1
, y
2
, …, y
n
)
Khoảng cách giữa A và B là:
Page 2
x
y
0
● C
z
d(A, B) = =
VD: Trong
3
thì: d(A, B) =
* HÌNH CẦU MỞ - HÌNH CẦU ĐÓNG TRONG R
n
:
Xét điểm M
0
(x
01
, x
o2
, …, x
0n
)
n

: d(M, M
0
) r}
Được gọi là hình cầu đóng tâm M
0
, bán kính r. (lấy cả phần bên ngoài)
Lưu ý: Trong
2
, hình cầu mở/đóng được gọi là hình tròn mở/đóng.
Hình tròn mở Hình tròn đóng
* ĐẠO HÀM RIÊNG:
Xét hàm số 2 biến: f(x, y)
Để tính đạo hàm riêng theo 1 biến, ta xem biến còn lại là một hằng số rồi tính đạo hàm
như quy tắc tính đạo hàm 1 biến.
Làm tương tự cho biến còn lại.
Lưu ý: - Đối với đạo hàm 3 biến, ta vẫn áp dụng quy tắc này.
- Hàm có bao nhiêu biến thì ta có bấy nhiêu đạo hàm riêng (cấp 1)
Kí hiệu: ; hay ;
Một số công thức tính đạo hàm cấp 1:

Page 3
M
0
r
M
M
0
r
• M
(Tính đạo hàm theo biến x)

⇒
Đạo hàm riêng cấp 2
* ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO:
Khi tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến, ta thấy chúng cũng là hàm nhiều
biến. Do đó các đạo hàm riêng này lại có đạo hàm riêng của mình. Ta gọi đạo hàm riêng
của đạo hàm riêng cấp 1 là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số ban đầu.
Xét hàm 2 biến: f(x, y)
Giả sử có hai đạm hàm riêng cấp 1 là và .
Lúc này, = = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo x 2 lần
= = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo y 2 lần
= : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp
= : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp
Lưu ý: đối với hàm sơ cấp thì:
Tính chất này vẫn đúng đối với hàm số 3 hay nhiều biến (khi hàm f sơ cấp), nghĩa
là:
VD: Cho hàm số: f(x, y, z) = x
2
yz
3
– xy
4
z
5
+ y
3
zx
7
⇒ (*)
Page 5
(*) ⇒

0
)
Page 6
(1)
(3)
(2)
(5)
(4)
(6)
(6)
VD: Tính gần đúng: bằng vi phân. Sau đó so sánh với kết quả
của máy tính để đánh giá sai số.
Giải
Đặt f(x, y) =
⇒
Lúc này, ta chọn
⇒
& f(x
0
, y
0
) = = = 5
Đồng thời:
⇒
= .( + .( ) =
⇒ = f(x
0
, y
0
) + df(x

))
BÀI TẬP:
1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo )
3. Cho hàm f(x, y) = .Tìm ;
4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
5. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
6. Cho hàm:
f(x, y) = .
Tìm ; ; (bài làm 15 phút nộp ở lớp)
7. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng: A = sin31
o
.tg43
o
.
Giải:
Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.tgy
Lúc này:
Page 8
⇒
&
Ta có:
f(x, y) = sinx.tgy
• = cosx.tgy
⇒
•
⇒
⇒
=
⇒ A

(
* CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN:
1. Cực trị tự do:
Xét hàm f(x, y) có miền xác định D. M
0
(x
0
, y
0
) là một điểm thuộc D.
+ M
0
được gọi là điểm cực tiểu trên D của f khi và chỉ khi:
•
+ M
0
được gọi là điểm cực đại trên D của f khi và chỉ khi:
•
Điểm cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị.
2. Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm f :
• Bước 1: Tìm điểm dừng của f bằng cách giải hệ:
+ Nếu hệ này vô nghiệm: k⇒ ết luận: hàm f không có cực trị.
+ Nếu hệ có các cặp nghiệm (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2

Lưu ý: biểu thức chỉ có nghĩa là một số luôn dương nên trong khi giải ta không cần tính giá
trị của biểu thức này.
Giải hệ ta được:
Như vậy, f có 1 điểm dừng là: P(0, 1) (do > 0, )
Tiếp theo ta tính các đạo hàm riêng cấp 2:
Do vậy, tại điểm dừng P(0, 1):
Page 11
= B
2
– AC = < 0
Mà A = < 0
Kết luận: P(0, 1) là điểm cực đại với f
max
= f(0, 1) =
VD2: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = 3
Giải:
Ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
Không có trị nào thỏa điều kiện nên chuyển sang xét hiệu f(x, y) – f(0, 0) (do điểm (0,
0) làm cho đạo hàm riêng không tồn tại).
f(x, y) – f(0, 0) = 3 (3 – )
= < 0, ( (x, y) (0, 0))
Kết luận: P(0, 0) là điểm cực đại của f với f
max
=f(0, 0) = 3 = 3
VD3: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = x
4
+ y
4
–2x
2

• Tại P
1
( ), ta đặt:
= B
2
– AC = < 0
mà A = > 0
Kết luận: P
1
( ) là điểm cực tiểu.
BÀI TẬP:
Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:
1. f(x, y) = 2 +
2. f(x, y) = xy
2
(2 – x – y) với
3. f(x, y) =
* CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Page 13
VD: từ 12m
2
bìa cứng, cắt ra một hình hộp chữ nhật sao cho có thể tích đạt lớn nhất,
biết rằng hộp không có nắp.
V = x.y.z → Max ?
với điều kiện: xy + 2xz + 2 yz = 12
(diện tích 5 mặt hình hộp CN)
Cách 1: dùng bất đẳng thức cauchy:
4 =
4
3

1
,
1
); (x
2
, y
2
,
2
); … thì ta có các
điểm dừng tương ứng là:
 P
1
(x
1
, y
1
) ứng với (x
1
, y
1
,
1
)
 P
1
(x
2
, y
2

, y
0
) là điểm cực tiểu với f
min
= f(x
0
, y
0
)
 Nếu () > 0 thì ta kết luận: P(x
0
, y
0
) là điểm cực đại với f
max
= f(x
0
, y
0
)
 Nếu () không xác định thì ta kết luận: P(x
0
, y
0
) không là điểm cực trị của f.
• Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp 2: ; ;
• Bước 4: Xét tại từng điểm dừng:
o P
1
(x

) > 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
)) là điểm cực tiểu của f.
 Nếu d
2
L(P
1
) < 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
)là điểm cực đại của f.
 Nếu d
2
L(P
1
) không xác định dấu thì ta dùng điều kiện =0 bằng
cách lấy đạo hàm 2 vế của phương trình này rồi tính dx theo dy (hay dy
theo dx), sau đó thế vào d
2
L(P
1
). Xét tiếp dấu của d
2
L(P
1
):
+ Nếu d

2
– 8y
2
= 8
Giải:
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y) = f(x, y) +
= 3 – 3x – 4y

+ (x
2
– 8y
2
– 8)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(*)
(1)
thế vào (3) ta được:
Page 15
* Ứng với
1

Điểm dừng (ứng với
1

* Ứng với
2

Điểm dừng (ứng với
2

+ 2 dxdy
1
).dy
2
= . dx
2
2 .dy
2
()
Đến đây vẫn chưa xét được dấu nên ta dùng tiếp điều kiện:
x
2
– 8y
2
= 8 (lấy đạo hàm 2 vế)
2xdx – 16ydy = 0 (*)
Thế tọa độ P
1
vào (*), ta có:
2. .dx – 16. .dy = 0
.dx + .dy = 0
dx = dy (**)
Thế (**) vào () ta có:
d
2
L(P
1
) = . .dy
2
Page 16

2
)dxdy + (x
2
, y
2
)dy
2
= 2
2
dx
2
+ 2 dxdy
1
).dy
2
= . dx
2
2 .dy
2
()
Thế tọa độ P
2
vào (*), ta có:
2. .dx – 16. .dy = 0
.dx .dy = 0
dx = dy (***)
Thế (***) vào () ta có:
d
2
L(P

d
2
L(P) = (P)dx
2
(P)dy
2
+ (P)dy
2

+

+ 2 (P)dxdy + 2 (P)dxdz + 2 (P)dydz
d
2
L(P) = dxdy

= 2. dxdy + 2
= dxdy + 2dxdz + 2dydz ()
Ta sử dụng điều kiện: . Đạo hàm 2 vế ta được:
0 = xdy + ydx + 2xdz + 2zdx + 2ydz + 2zdy (*)
Thế x = 2, y = 2, z = 1 vào (*), ta có:
2dy + 2dx + 2.2dz + 2.1dx + 2.2dz + 2.1dy = 0
4dx + 4dy + 8dz = 0
Page 18
(1)
(2)
(3)
(4)
4dx + 4dy + 8dz = 0
dz = (**)

P
2
(–5, 4) ứng với =
• Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2:
* Ứng với = ; P
1
(5, – 4), ta có:
d
2
L(P
1
) = (P
1
)dx
2
(P
1
)dxy

+ (P
1
)dy
2

Page 19
= 2. dx
2
+ dy
2
= dx

= 25
2. f(x, y) = x
2
+ 12xy + 2y
2
với điều kiện: 4x
2
+ y
2
= 25
Page 20
CHƯƠNG II
TÍCH PHÂN BỘI
(Thi 1 câu – 2điểm)
I. TÍCH PHÂN KÉP:
1. Định nghĩa: (SGK trang 34)
2. Cách tính:
• Định lí Fubini :
a) Nếu D xác định bởi :
b) Nếu D xác định bởi :
Page 21
D
f
2
(x)
f
1
(x)
a
b

B
O 2
1
D
1
D
2
• Cách 2: D:
Như vậy:
Miền D là: D:
Chuyển thành: D:
3. Phương pháp đổi biến:
a) Tọa độ cực :
(r, ) là tọa độ của M
Đặt:
Page 23
A
B
O 2
1
D
1
D
2
y
M
(chiều quay của ngược chiều kim đồng hồ)
VD: Từ phương trình: xác định miền D ??
Ta có: (nhân r 2 vế)
(do )