Bi tp ụn tp cui nm
Bài 1: Cho góc xOy. Trên Ox lấy hai điểm A và B. Trên Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC và OB
= OD. Nối BC và AD cắt nhau tại M. Nối AC và BD.
a) Chứng minh các tam giác MAC và MBD là những tam giác cân.
b) Gọi P và Q là trung điểm của AC và BD. Chứng minh ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
Bài 2: Cho

ABC. Kẻ AD vuông góc với AB và AD = AB (C và D nằm khác phía đối với AB). Kẻ Ay
vuông góc với AC (Hai tia Ay và AB thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đờng thẳng AC). Kẻ đờng
thẳng đi qua A và trung điểm M của BC. Từ D kẻ đờng thẳng vuông góc với AM tại E và cắt tia Ay tại F.
Chứng minh tam giác AFC là tam giác vuông cân.
Bài 3: a) Cho

ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:
+)Nếu AB =
2
1
BC thì góc C bằng 30
0
; +)Nếu góc C bằng 30
0
thì AB =
2
1
BC.
b) Cho

ABC (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC, nối A với trung điểm M của BC. Biết các góc
BAH, HAM và MAC bằng nhau. Tính số đo góc của

ABC.

E, F, N thẳng hàng.
Bài 7: Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC. Lấy điểm M thuộc
đoạn thẳng AB (M nằm giữa A và B). Lấy điểm N trên tia Cy (C nằm giữa A và N) sao cho BM = CN. Kẻ
tia phân giác Az của góc xAy. Đờng trung trực của MN cắt Az tại O. Chứng minh OC vuông góc với Ay.
Bài 8: Cho

ABC có góc BAC là góc tù. Kẻ AD vuông góc với AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai
tia AB và AC). Kẻ AE vuông góc với AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Trung điểm
của BC là M. Chứng minh hai đờng thẳng AM và DE vuông góc với nhau.
Bài 9: Cho

ABC (AB

AC). Tia phân giác Ax cuả góc A cắt BC ở D. Từ D kẻ đờng thẳng song song
với AB cắt AC ở F. Từ D kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở E.
a) Chứng minh AE = ED = DF = FA.
b) Từ trung điểm M của cạnh BC kẻ đờng thẳng vuông góc với tia Ax cắt các đờng thẳng AB và AC ở P
và Q. Chứng minh EF // PQ. c) Chứng minh BP = CQ.
Bài 10: Cho

ABC đều. Trong tam giác dựng tam giác vuông cân DBC tại D.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ADB và ADC bằng nhau.
b) Trong tam giác BDC lấy một điểm E sao cho góc EBC và góc DCE cùng bằng 30
0
. Chứng minh DC =
CE.
Bài 11: Cho

ABC (BA = BC), góc B bằng 80
0

AKC =

PKB. Suy ra AC // BP.
b) Chứng minh

ABP =

NAM. Từ đó suy ra AK vuông góc với MN.
Bài 14: Cho

ABC cân có góc B và góc C bằng nhau và bằng 50
0
. Gọi K là điểm trong tam giác sao cho
góc KBC bằng 10
0
, góc KCB bằng 30
0
. Chứng minh rằng

ABK là tam giác cân và tính số đo góc BAK.
Bài 15: Cho

ABC biết 3

A = 4

B = 6

C.
a) Tìm số đo các góc của tam giác.

a) Chứng minh rằng CE = DE. b) Dựng đờng cao AH của tam giác ACD. Chứng minh AH // BE.
Bài 19: Cho

ABC có góc A bằng 60
0
. Tia phân giác của góc B cắt AC ở M, tia phân giác của góc C cắt
AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC.
Bài 20: Cho

ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho
MK = MB. Chứng minh rằng:
a) KC vuông góc với AC. b)AK song song với BC.
Bài 21: Cho

ABC, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Trên tia đối của tia BD, lấy
điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AH =
AK.
Bài 22: Cho

ABC có AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là
giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b)

KBD =

KCE.
Bài 23: Cho

ABC có góc A = 60
0


MNA =

MNB. c) ND là phân giác của góc ANB.
d) Góc AMB lớn hơn góc ANB.
2
C C T LUYN
Đề 1:
Bài 1:Thực hiện phép tính:
a)
23
16
27
5
5,0
23
27
5
27
5 +++
b)
19
8
3
.
5
1
51
5
1

1
.2
5
1
5
1
.25)
23







+






a








0
8
1
7
1
5
1
4
1
. =






+






+x
c)
1
5
4
4
3

2
+ x
4
-3x
3
a)Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.
b)Tính h(x) = f(x) g(x) và k(x) = f(x) h(x)
c) Tìm hệ số có bậc cao nhất và hệ số tự do của hai đa thức h(x) và k(x).
Bài 5: Cho ABC cân tại A có AB = AC .Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao
cho BD = CE.
a.Chứng minh DE // BC
b.Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC. Chứng minh DM = EN.
c.Chứng minh AMN là tam giác cân.
3
d.Từ B và C kẻ các đờng vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I Chứng minh AI là tia phân
giác chung của hai góc BAC và MAN.
Đề 3:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)
7
3
:
4
1
5
3
7
3
:
5





12
5
36
1
8
7
18
1
9
2
:
8
7
Bài 2: Tìm x biết:
a)
4
3
4
3
4
1
=+ x
b)
4
11
2

2
1
.
3
1
4 x

Bài 3: Số HS của khối 6, 7, 8, 9 của một trờng THCS tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số HS của khối 8
và khối 9 ít hơn số HS của khối 6 và khối 7 là 120 HS . Tính số HS của mỗi khối.
Bài: 4 Cho hai đa thức:
f(x) = x
4
-2x
3
+3x
2
-x +5 g(x) = -x
4
+ 2x
3
-2x
2
+ x -9
a)Tính f(x) +g(x) và f(x) g(x) b)Tính f(-2) và g(2) c) Tìm nghiệm của f(x) + g(x).
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , phân giác BD. Kẻ DE BC (E BC).Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao choAF = CE.Chứng minh rằng:
a.BD là đờng trung trực của AE b.AD < DC c.Ba điểm E, D, F thẳng hàng.

Đề 4:
Bài 1: Tính giá tri của biểu thức:

và x+y+z = - 90 b) 2x = 3y = 5z và x y + z = -33
Bài 3: Cho các đa thức: F(x) = x
3
- 2x
2
+ 3x + 1 ; G(x) = x
3
+ x 1 ;H(x) = 2x
2
- 1
a/ Tính F(x) - G(x) + H(x) b/ Tìm x sao cho F(x) - G(x) + H(x) = 0
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, đờng cao AH. Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm.
a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH.
b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng.
c/ Chứnh minh hai góc ABG và ACG bằng nhau.

Đề 5:
Bài 1:
a)
1 5 1 5
13 : 18 :
4 7 4 7


ữ ữ

b)
3 1 1 2 1
7 2 5
2 3 2 3 3

- 7x
4
; G(x) = x
5
- 9 + 2x
2
+ 7x
4
+ 2x
3
- 3x
a/ Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến. b/ Tính tổng h(x) = f(x) + g(x)
c/ Tìm nghiệm của h(x)
Bài 4: Cho ABC cân tại A .Tia phân giác BD, CE của góc B và góc C cắt nhau tai O. Hạ OK AC,
OH AB. Chứng minh: a.BCD = CBE b.OB = OC c.OH = OK.

Đề 6:
Bài 1:Thực hiện phép tính:
a)
3 13 5 6
5 25 9 14
+
b)
1 8 1 81
: : :
9 27 3 128



ữ

+ 2x
4
x
2
và g(x) = -3x
2
+x
4
-1 + 5x
5
a) Tính h(x) = f(x) +g(x) và q(x) = f(x) g(x) b.Tính h(1) và q(-1)
b) Đa thức q(x) có nghiệm hay không.
Bài 5: Cho tam giác ABC .Vẽ ra ngoài tam giác đó các tam giác ABM và ACN vuông cân ở A .Gọi D, E,
F lần lợt là trung điểm của MB, BC, CN.
Chứng minh:
a) BN = CM. b.BN vuông góc với CM c.Tam giác DEF là tam giác vuông cân.

Đề 7:
Bài 1:Thực hiện phép tính:
a)
1 5 1 4
0,5 0,4
3 7 6 35
+ + + +
b)
8 1 1 1 1 1 1 1 1
9 72 56 42 30 20 12 6 2

Bài 2: Tìm x biết: a)
3 3 2

5
+ x
2
- 2x
3
+ 3x
2
+ 2.
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x). c) Tính P(-1); Q(0).
5
Bài: 5 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC),
0
^
90>A
. Vẽ đờng trung trực của các cạnh AB và AC, cắt các
cạnh này ở I và K và cắt BC lần lợt ở D và E.
a) Các tam giác ABD và tam giácAEC là tam giác gì ?
b) Gọi O là giao điểm của ID và KE. Chứng minh AIO=AKO. c) Chứng minh AO BC.
Đề 8:
Bài 1:Thực hiện phép tính:
a)
2 5 1 4
. 1
7 7 5 5
+ +
b)
3 3 3 1 1
: 1 :
5 4 5 4 2

- 5x
3
- 2 x - x
4
- 1
a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.
b) Tìm H (x) = A(x) + B(x) ; G(x) = A(x) - B(x) c) Tính H (
2
1

) và G (-1)
Bài: 5 Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. (H BC). Gọi K
là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a) ABE = HBE; b) EK = EC; c) So sánh BC với KH.

Đề 9:
Bài 1:Tính:
a) (0,125).(-3,7).(-2)
3
b)
25 1
36.
16 4
+
c)
4 25 2
: 1
81 81 5

d) 0,1.

a) Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừ giảm dần của biến.
b) Tính f(x) + g(x) và f(x) +g(x). c.Tìm nghiệm của f(x) + g(x).
Bài: 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, các tia phân giác trong AD và CE của góc A và góc C
cắt nhau tai O.Đờng phân giác ngoài góc B của tam giác ABC cắt AC tại F.
Chứng minh:
a)
ã
0
90FBO =
b)DF là tia phân giác của góc D của tam giác ABD c)D, E, F thẳng
Đề 10:
6
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)
4 7 19
.2,5 0,25
15 12 20

+ +
ữ

b)
4 9 1
30 2,8:
25 15 6

+
ữ

c)

a)Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b)Tính P(x) = f(x) g(x)
c)Xét xem các số sau đây số nào là nghiệm của đa thức P(x):-1; 1; 4; -4.
Bài: 5: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) ,O là giao điểm 3 trung trực 2 cạnh của tam giác ABC (O nằm
trong tam giác).Trên tia đối của các tia AB và CA ta lấy hai điểm M; N sao cho AM = CN
a) Chứng minh
ã
ã
OAB OCA=
. b.Chứng minh AOM =CON.
c.Hai trung trực OM; ON cắt nhau tại I. d.Chứng minh OI là tia phân giác của
ã
MON
.

bi khú
Bi 1 : (4 im). Thc hin cỏc phộp tớnh.
A
3 4 2 14 2 2 2 2 2 1
: : : 3 .7 3 .5
5 9 7 9 5 7 7 7 7 2


= + +
ữ ữ ữ



; B =
2 2 2 2
1 1 1 1

BC
.
Bi 5: ( 5. im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A v cú AB=3AC . Trờn cnh AC ly hai im D v E
sao cho AD=DE=EC. Trờn tia i ca tia AB ly im H sao cho AH=AB. T H k Hx //AD v t D k
Dy//AH sao cho hai tia ny ct nhau ti K.Chng minh rng:
a. AD=AH=HK=DK. b.
V
BEH cõn.
c. BK=KC, BK

KC. d.
0
45AEB ACB + =

ỏp ỏn:
Bi 1:
1 T s : =
3 4 14 2 2 3 4 14 2 2
: :
5 9 9 5 7 5 9 9 5 7


+ + = + +
ữ ữ ữ

18 5 2 2 7
: 1:

( ) ( )
1.2.3.4 98 . 4.5.6 101
1.101 101
2.3.4.5 99 . 3.4.5 100 99.3 297
= = =
(1.0)
Bài 2:
a. ĐS: x =-3,5 hoặc x = 20,5 (1.0)
b. Xét hai trường hợp :
* Nếu
1
2
x ≥
thì ta có : 2x-1-x =1
⇒
x =2 ( thỏa mãn
1
2
x ≥
) (0,5)
* Nếu x <
1
2
thì ta có : -2x +1-x =1
⇒
x=0 ( thỏa mãn x <
1
2
) (0,5)
Vậy x =0 hoặc x=2. (0,25)

( 2) ( 2) 0 ( 1)( 2) 0x x x x x⇔ − − − = ⇔ − − =
(1.0)
⇒
x=1 hoặc x=2 (0,5)
Bài 3:Gọi hai số đó là a và b. (0,25)
Ta có : 30.( a+b) =120 .(a-b) = 16.(a.b) (0,5)
Từ điều kiện : 30.(a+b) =120.(a-b) tìm được
.
5 3
a b
=
(1) (1.0)
Từ điều kiện : 120.(a-b) = 16.a.b tìm được
.
2 15
a b a b−
=
(2) (1.0)
Từ (1)và (2) ta suy ra: a=5 và b=3 (0,25)
Bài 4:
HS vẽ hình ghi GT, KL đúng (0,5)
a.Ta có :
0 0 0
90 30 60B∠ = − =

mà
V
ABM cân tại B do BA=BM
⇒V
ABM đều. (1.0)

, Từ đó suy ra được BK=CK,
BK CK
⊥
d. Chứng minh được
BAE KDC AEB KCD= ⇒ ∠ = ∠V V
0
45AEB ACB KCD ACB K CB⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ =
9