1
Chủ đề 1: Nhân đa thức.
A. Mục tiêu:
- Nắm được quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
- Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo các cách khác nhau.
B. Thời lượng: 3 tiết (từ 1 đến 3)
C. Thực hiện:
Tiết 1:
Câu hỏi
1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức.
* Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.
a.
  
13.2
232
 xxxx
b.

















 xyzyx
2
1
.
3
1
5
2
10
3
=
xyzxyyx
6
1
5
1
5
24

Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức không phụ thuộc vào biến.
a.
   
 
3212
32
 xxxxxx

a.
   
25612103
22
 xxxxxx
với x = 15
b.
   
xyyyxx 5445 
với
2
1
;
5
1
 yx
c.
     
xyxyyxxyxyxy 
22222
586
với
2;
2
1
 yx
2
Giải:
a.
   

1
2
1
4
5
1
.5
22















c.
     
xyxyyxxyxyxy 
22222
586
=
=

















Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng.
a.
 
3243
24**36 yyxyx 
b.
 
2523
**4.2 baabba 
Giải:
a. Vì
yxxyyxyx
23432

b. a(1 - b) + a(a
2
- 1) = a.(a
2
- b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
= ab - ac - ab - bc + ac - bc
= -2bc = VP

đpcm
3
b. VT = a.(1 - b) + a.(a
2
- 1)
= a - ab + a
3
- a
= a
3
- ab = a.(a
2
- b) = VP

đpcm.
c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
= ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP


Bài 1: Làm tính nhân.
a. (x
2
+ 2)(x
2
+ x+ 1)
b. (2a
3
- 1 + 3a)(a
2
- 5 + 2a)
Giải:
a. (x
2
+ 2)(x
2
+ x+ 1)
= x
4
+ x
3
+ x
2
+ 2x
2
+ 2x + 2
= x
4
+ x
3

Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào biến.
(x
2
+ 2x + 3)(3x
2
- 2x + 1) - 3x
2
(x
2
+ 2) - 4x(x
2
- 1)
Giải: (x
2
+ 2x + 3)(3x
2
- 2x + 1) - 3x
2
(x
2
+ 2) - 4x(x
2
- 1)
= 3x
4
- 2x
3
+ x
2
+ 6x

= x
2
- xy + y
2
- xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)
2
+ 2(x - y) + 65
= 5
2
- 2.5 + 65 = 100
b. x
2
+ y(y - 2x) + 75
= x
2
+ y
2
- 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75
= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức.
a. A = x
3
- 30x
2
- 31x + 1 tại x = 31

- 15x
4
+ 16x
3
- 29x
2
+ 13
= x
5
- (x + 1)x
4
+ (x + 2)x
3
- (2x + 1)x
2
+ x(x - 1)
= x
5
- x
5
- x
4
+ x
4
+ 2x
3
- 2x
3
- x
2

+ n)

n

n
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
= 6n
2
+ n + 30n + 5 - 6n
2
- 10n + 3n + 5
= 24n + 10 = 2(12n + 5)
2

n
Chủ đề 2: Tứ giác.
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng các góc của tứ giác lồi.
- Biết vẽ, gọi tên các yếu tố, biết tính số đo các góc của tứ giác lồi.
B. Thời lượng: 1 tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C. Thực hiện:
Câu hỏi
1: Thế nào là một tứ giác, tứ giác lồi?
2: Tổng các góc của một tứ giác bằng?
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC
nhỏ hơn đường chéo BD.
Giải: C
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo B
Trong tam giác AOD ta có:

- <B - <D
= 360
0
- 100
0
- 70
0
= 190
0
Do đó: Góc <A = <C = 190
0
: 2 = 95
0
Bài 3: Tính các góc của tứ giác: ABCD biết rằng
Góc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4
Giải:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác ta có:
0
0
36
10
360
43214321




DCBADCBA
Do đó: góc <A = 36
0

0
, <A = 135
0
Từ <B + <C = 180
0
, <B - <C = 30
0
Ta tính được: <C =
0
00
75
30180
2 

<B = 180
0
- 75
0
= 105
0
Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia gica của góc D. CMR ABCD là
hình thang.
Giải:
BCD
có BC = CD

BCD
là tam giác cân B C

<D

=
2
1
<D E
mà <A + <D = 180
0
D C
Nên <A
1
+ <D
1
= 90
0
Trong
ADE
có <A
1
+ <D
1
= 90
0

<AED = 90
0
. Vậy AE

DE
Tiết 6:
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD có <A = <D = 90
0

= <D
1

OCD
cân

OC = OD
Ta lại có: AC = BD nên OA = OB
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N
sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng <A = 40
0
.
Giải:
a. Tam giác ABCD cân tại A A

<B = <C =
2
180
0
A
Lại có BM = CN (gt)

AM = AN M N

AMN
cân tại A
<M
1

ODC
cân

OD = OC

mà AD = BC (gt)

OA = OB A B
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy E

BCDADC 
(c.c.c)
9

<C
1
= <D
1

ED = EC (1) D C
Lại có: AC = BD nên EA = EB (2)
Từ (1) và (2)

E thuộc đường trung trực của hai đáy.
Vậy OE là đường trung trực của hai đáy.
Bài 8:
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a. Đường cao AH.
CMR: HD =
2
ba 

2
= 17
2
- 8
2
= 289 - 64 = 225 = 15
2
Vậy AH = 15cm
Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD =
2
1
DC. Gọi M là
trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM
Giải: A
Gọi E là trung điểm của DC. D
Vì
BDC
có BM = MC, DE = EC. I
Nên BD // ME

DI // EM E
Do
AME
có AD = DE, DI // EM
Nên AI = IM B M C
Tiết 8:
10
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thù là trung điểm của AD, BC, AC.
CMR
a.EI // CD, IF // AB

E F
Vậy EF
2
CDAB 

D C
Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung
điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho
biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK, KN.
Giải:
Vì MN là đường trung bình của
hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B
Xét
ADC
có AM = MD, MK // DC

KA = KC
Do đó: MK =
cm
DC
7
2
14
2

I K
Tương tự:
ABD
có AM = MD, MI // AB D C

xen giữa.
AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 90
0
- Dựng tia Ax

AD (Ax và C thuộc cùng D C
một nửa mặt phẳng bê AD)
- Dựng cung tròn tâm C có bán kính 3cm, cắt tia Ax ở B.
- KỴ đoạn thẳng BC.
* Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì: AB // CD
Hình thang ABCD có <D = 90
0
, AD = 2cm,
CD = 4cm, Cb = 3cm.
Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài toán.
* Biện luận:
Ta dùng được hai hình thang thoả mãn điều kiện bài toán: ABCD, AB
/
CD
Bài 13: Dùng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 50
0
,
<D = 70
0
A B B x
Giải:
* Phân tích
Giả sử dùng được hình thang ABCD
thoả mãn yêu cầu của bài toán. Qua A kẻ

Tiết 9:
Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a. x
2
+ 2x(y + 1) + y
2
+ 2y + 1
b. u
2
+ v
2
+ 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải:
a. x
2
+ 2x(y + 1) + y
2
+ 2y + 1
= x
2
+2x(y + 1) + (y + 1)
2
= (x + y + 1)
2
b. u
2
+ v
2
+ 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
= (u

Giải:
a. 8x
3
+ * + * + 27y
3
= (* + *)
3

(2x)
3
+ * + * + (3y)
3

8x
3
+ 3(2x)
2
.3y + 3(2x).(3y)
2
+ (3y)
2
= (2x + 3y)
3

8x
3
+ 36x
2
y + 54xy
2

= (2x + y)
3
13
c. x
3
- * + * - * = (* - 2y)
3

x
3
- 3x
2
.2y + 3x(2y)
2
- (2y)
3
= (x - 2y)
3

x
3
- 6x
2
y + 12xy
2
- 8y
3
= (x - 2y)
3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:

- (c + d)
2
= a
2
- 2ab + b
2
- c
2
- 2cd - d
2
= a
2
+ b
2
- c
2
- d
2
- 2ab - 2cd
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
=
 
 
 
 
yzxyzx 23.23 
= (x + 2z)
2
- (2y)
2

) - (x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
)
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
- x
3
+ 3x
2
y - 3xy
2
+ y
3
= 6x
2
y + 2y
3
= 2y(3x

a. (a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
) = (ay - bx)
2
+ (· + by)
2
b. (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
c. (x + y)
4
+ x
4

x
2
+ a
2
x
2
+ 2abxy + b
2
y
2
= a
2
y
2
+ a
2
x
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
= a
2
(x
2

+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
VP = (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ b
2
+ 2bc + c
2
+ c
2
+ 2ac + a
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc + a
2

4
+ y
4
= x
2
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
+ x
4
+ y
4
= 2(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
+ 2x
3
y + 2xy

) - (1
2
+ 3
2
+ + 99
2
) và
c. D = 3
8
. 7
8
- (21
4
+ 1)
d. E =
yx
yx


và H =
22
22
yx
yx


với x > y > 0
Giải:
a. A = (163 + 37)
2

- (21
8
- 1) = 1
Vậy D < C
c. E =
22
22
22
22
2
2)(
))((
yx
yx
xyyx
yx
yx
yxyx
yx
yx











2
Xét trường hợp: x
4
+ c
2
x
2
+ d
2
+ 2cx
3
+ 2dx
2
+ 2cdx
= x
4
+ 2cx
3
+ x
2
(c
2
+ 2d) + 2cdx + d
2
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:






1
b
a
d
c
Xét trường hợp x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ ax + b = (- x
2
+ cx + d)
2
Ta được: a = 2; b = 1; c = d = 1
Vậy x
4
+ 2x
3
+ 2x + 1 = (x
2
+ x + 1)
2
= (- x
2
- x - 1)
2
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a. C = 5 - 8x - x

b. D = - 3x(x + 3) - 7 = - 3x
2
- 9x - 7
= - 3(x
2
+ 2x.
4
9
4
9
2
3

) - 7
= - 3
7
4
27
2
3
2







x
= - 3

3
30
2
3
22
Do đó:
4
1
4
1
2
3
3 






 x
16
Vậy giá trị lớn nhất của D là
4
1

khi
2
3
0
2





x
Vì
xx 






 0
2
5
2
nên
4
7
4
7
2
5
2






x = 3
Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư.
A. Mục tiêu:
- Ôn tập cho học sinh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b + c) = ab + ac
- Ôn tập cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư.
+ Đặt nhân tư chung
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
+ Nhóm các hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Ngoài ra cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như:
+ Tách một hạng tư thành nhiều hạng tư
+ Thêm bớt cùng một hạng tư thích hợp.
+ Phương pháp đặt biến phụ.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 12, 13, 14)
C. Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp đặt nhân tư chung.
17
a. 12xy - 4x
2
y + 8xy
2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x
2
(y - 1) - 5x
3
(1 - y)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)

22
4
1
36
1
ba 
b. (x + a)
2
- 25
c. x
2
+ 2x + 1 - y
2
+ 2y - 1
d. - 125a
3
+ 75a
2
- 15a + 1
Giải:
a.
22
4
1
36
1
ba 
=



.
2
1
6
1
2
1
6
1
22
b. (x + a)
2
- 25 = (x + a)
2
- 5
2
= (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x
2
+ 2x + 1 - y
2
+ 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y
2
- 2y + 1)
= (x + 1)
2
- (y - 1)
2
= (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
= (x + y) (x - y + 2)

Giải:
a. 4x
2
- 9y
2
+ 4x - 6y
18
= (4x
2
- 9y
2
) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y)
= (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
b. x
3
+ y(1 - 3x
2
) + x(3y
2
- 1) - y
3
= x
3
+ y - 3x
2
y + 3xy
2
- x - y
3
= (x

= (x + y) (a
2
- 7)
d. x(x + 1)
2
+ x(x - 5) - 5(x + 1)
2
=
   
 
 
5151
22
 xxxxx
= (x + 1)
2
(x - 5) + x(x - 5)
= (x - 5)
 
 
xx 
2
1
= (x - 5) (x
2
+ 3x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
a. x
4
+ x

2
y
2
+ y
4
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- (xy)
2
= (x
2
+ y

+ x + 4)
c. x
3
- 3x
2
+ 2 = x
3
- 3x
2
+ 3x - 1 - 3x + 3
= (x - 1)
3
- 3(x - 1) = (x - 1)
 
 
31
2
x
= (x - 1) (x
2
- 2x - 2)
d. 2x
3
+ x
2
- 4x - 12 = (x
2
- 4x + 4) + (2x
3
- 16)

3
2
4
3
1
5.
5
4
3
19
5
b. a
2
- 86a + 13 với a = 87
c. a
2
+ 32a - 300 với a = 68
d. a
3
- b
3
- 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Giải:
a.









b. a
2
- 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100
c. a
2
+ 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68. 100 - 300 = 6500
d. a
3
- b
3
- 3ab(a - b) = (a - b) (a
2
+ ab + b
2
- 3ab)
= (a - b)
3
= (- 27 + 33)
3
= 6
3
= 216
Bài 6: Tìm x biết:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
b. (x + 2)
2
- 2x(2x + 3) = (x + 1)
2

(x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0

(2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0

(2x + 3) (1 - 2x) = 0

x = -
2
3
hoặc x =
2
1
Vậy nghiệm của PT: x
1
= -
2
3
, x
2
=
2
1
Chủ đề 6: Hình chữ nhật
A. Mục tiêu:
- Ôn tập cho học sinh các tính chất của hình chữ nhật.
20
- Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
- Rèn luyện khả năng vẽ hình, chứng minh một bài toán.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 15, 16, 17)
C. Thực hiện: A B

Từ (*) và (**)

EFGH là hình bình hành.
EF // AC, BD

AC

EF

BD D
EF

BD, EH // BD

EF

EH
Hình bình hành EFGH có góc E = 90
0

là hình chữ nhật
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC.
Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác EDME là hình gì? tính chu vi tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.
21
Giải:
a. Tứ giác ADME có góc <A = <D = <E = 90
0
B

trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
BCNCBM 
(c.g.c)

<B
1
= <C
1

BG = CG

BD = CE
Hình bình hành BEDC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.
22
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo
thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác EFEG là hình
thang cân. B
Giải:
Vì EF là đường trung bình của tam giác BDC
nên EF // DC
Do đó: AEFG là hình thang
Do FG là đường trung bình của tam giác BDC A D G C
Nên FG // BD

góc <G
1
= <D
1
(đồng vị)
Vì tam giác ABD vuông tại A, AE là đường

góc <C = <A
2

góc <A
1
= <A
2
b. Gọi O là giao điểm của AH và DE B H M C
I là giao điểm của AM và DE
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

OA = OE

góc <E
1
= <OAE (1)
Ta lại có:

AHC vuông

góc <C + <OAE = 90
0
(2)
ta có: góc <C = <A
2
(3) (cm ở câu a)
Từ (1), (2), (3)

góc <E
1

trung tuyến ứng với cạnh huyền

HK = EK

góc <E
2
= <H
2
(2)

Từ (1), (2)

góc <E
1
+ <E
2
= <H
1
+ <H
2
 = <AHC = 90
0
Do đó: góc DEK = 90
0
Chứng minh tương tự ta có: góc EDI = 90
0
Vậy DI // EK (®pcm)
Chủ đề 7: Hình thoi
A. Mục tiêu: Giúp học sinh
- Hiểu rõ định nghĩa hình thoi, các tính chất của hình thoi, các dấu hiệu nhận biết

AH = AK (gt)
Góc <B = <D (t/c hình bình hành)

tam giác
AKDAHB 
(cạnh góc vuông- góc nhọn kÌ)
Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)
Hình bình hành ABCD có 2 cạnh kÌ bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2: Hình thoi ABCD có góc <A = 60
0
. kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BÌ
là tam giác gì? Vì sao? B
Giải:
Xét
AEB
và
CFB
có: A C
AB = CB (®/n hình thoi)
Góc <A = <C (t/c hình thoi) E F
AEB
=
CFB
(cạnh huyền- góc nhọn) D

BE = BF
Vậy tam giác BEF cân
Lại có: góc <B =
0
00


E, O, G thẳng hàng. A C
Chứng minh tương tự ta có 3 điểm
F, O, H thẳng hàng. H G
- Điểm O thuộc tia phân giác của góc B D
nên cách đều 2 cạnh của góc do đó: OE = OF
Tương tự ta cũng có: OF = OG, OG = OH
Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường nên là hình chữ nhật.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc <A = 60
0
. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên
cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
Giải:
Ta có: Tam giác ABD cân tai A
Và <A = 60
0
nên tam giác ABC là tam giác đều.

AB = BD B
góc <ABD = <D
1
= 60
0
(t/c hình thoi)
Xét tam giác ABM và DBN có: A C
AB = BD (chứng minh trên) N
Góc <A = <D
2
(chứng minh trên) M

Gọi M là trung điểm của AD, ta có: A
HM = MA = MD = 2cm
Theo đề bài ta có: AH = 2cm B
D
Do đó: tam giác AHM là tam giác đều