SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Phần I: MỞ ĐẦU
I) LÝ DO CHON ĐỀ TÀI:
− Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học(PPDH) nhằm mục đích nâng cao chất lượng
dạy học và kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá trong học tập và áp dụng vào
trong thực tế cuộc sống, việc hướng dẫn học sinh trung học cơ sở(THCS) nói riêng và
học sinh nói chung sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán là việc làm cần thiết trong
dạy học. Do tính hữu dụng và thiết thực của máy tính bỏ túi(MTBT) và điều kiện kinh tế
xã hội cho phép, hoạt động ngoại khoá toán học nói chung và ngoại khoá MTBT nói
riêng trong các nhà trường nhằm mục đích :
− Mở rộng và nâng cao phần tri thức về MTBT của học sinh đã được học ở tiểu học.
− Phát triển tư duy thuật toán ở HS, hợp lí hoá và tối ưu hoá các thao tác, hỗ trợ đoán nhận
kết quả bằng các phép thử, để kiểm tra nhanh kết quả tính toán theo hướng hình thành các
phẩm chất của người lao động có kĩ năng tính toán.
− Tạo ra môi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú ở bậc học
THCS và THPT.
− “…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu
cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó
không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết,
…) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn
phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ
rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất
thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”.
− Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi
trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài
tập không thể giải bằng tay.
− Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là
“các bài toán về số học vả đại số ” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có
cấu trúc chiếm tỉ lệ từ 70% trở lên trong đề . Đồng thời cũng là hai môn học cơ bản của
toán học.
− Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, sử dụng MTCT để dạy

kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)
− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.
IV) CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU :
− Năm học 2014-2015 lại một năm nữa tôi được nhà trường phân công bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giải toán bằng . Bản thân cũng như các đồng nghiệp khác việc bồi dưỡng học
sinh giải toán bằng MTCT các cấp là một vấn đề có nhiều trăn trở và khó khăn. Qua trao
đổi và học hỏi một số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Như Tiến, cô Nguyễn Thị
Huyền… Đồng thời thông qua các buổi chuyên đề, bồi dưỡng chuyên môn, thao giảng
của ngành tổ chức bản thân đã đúc kết một số kinh nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi các cấp. Bản thân hình thành và thực hiện áp dụng đề tài này từ các lớp học tại
trường THCS số 1 Gia Phú
− Học sinh trường THCS số 1 Gia Phú.(học sinh ở các khối lớp)
− Học sinh trường THCS số 1 Gia Phú.(học sinh được lựa chọn ở các khối 8,9 từ 10/2014
đến 3/2015).
− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS số 1 Gia Phú( Từ 2/11/2014 đến
15/3/2015).
− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS số 1 Gia Phú .
− Tổng hợp và viết đề tài từ năm tháng 09/2014 - 3/2015.
- 2 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Phần II: KẾT QUẢ.
A-MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI:
− Học sinh không biết giải các bài toán bằng MTCT như thế nào.
− Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải
chung cho dạng bài tập này.
− Trong thực tế khi giảng dạy cho HS một số các bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng tính toán
hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu hoàn thành trong khuôn khổ thời gian hạn hẹp thì
phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng hoặc không có hứng thú học tập, bởi lí do là
các em ngại tính toán. Vì vậy để giúp HS tính toán nhanh và đơn giản hơn và đỡ lãng phí

Phương pháp:
Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A=A+1: a ÷ A
- 3 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Ấn nhiều lần phím
=
.
Gán:
0 Shift STO A
Nhập:
1 :Alpha A Alpha Alpha A Alpha a Alpha A= + ÷
ấn nhiều lần dấu
=
VD : giả sử A = Ư
(120)
. Các khẳng định nào sau đây là đúng :
Ac
Ab
Aa
∉
∈
∈
30,
;15,
;7,
Giải:
ấn 120
÷
1 = Kết quả : 120 ( đúng )
Chỉnh lại thành 120

÷
12 = Kết quả : 10 ( đúng)
Ta thấy : 10,909 < 11 nên ngừng ấn
Vậy kết quả là Ư
(120)
= {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 }
Kết quả trả lời câu hỏi ở đầu bài : a, sai b, đúng c, sai
2- Tìm bội của b:
Phương pháp:
Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A=A+1: a X A
Ấn nhiều lần phím
=
.
Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100
Ta gán: A = -1
Ấn nhiều lần phím
=
Ta có: B =
{ }
0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98
3-Kiểm tra số nguyên tố:
* Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ
Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố
Cách 1: (-1)  A
A + 2  A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là số
nguyên thì số đó không phải là nguyên tố.
Cách 2: Gán số đó vào B; Tính
B
= … (điểm dừng)
B ÷ 3 =

B
=
màn hình hiện kết quả số thập phân. Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại
A
−
B
X
phần nguyên của A chia cho B và ấn
=
.
VD : Tìm số dư của phép chia 9124565217
÷
123456
Ta có : 9124565217
÷
123456 = 73909,…………….
Tiếp theo ta ấn 9124565217 – 123456
×
73909 = 55713
Vậy R = 55713
2- khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số :
Nếu số bị chia A là số bình thường lớn hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số
( kể từ bân trái ). Ta tìm số dư như phần a). rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số
rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì liên tiếp như vậy.
VD: Tìm dư trong phép chia 2345678901234
÷
4567
+ 234567890
÷
4567 dư 2203

Vậy dư là 1732
3- Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn:
ta dùng phép đồng dư theo công thức sau :
. . (mod )
(mod )
(mod )
(mod )
c c
a b m n p
a m p
b n p
a m p
≡
≡


⇒
 
≡
≡


Vd: Tìm dư của phép chia :
27
2002
: 13
Ta có :
27
≡
1 ( mod 13 )

(a. b là các số nguyên dương) thì:
ƯCLN(A, B) = A:a = B:b; BCNN(A, B) = A.b = B.a
2. Thương
A
B
cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối giản
thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia
A
B
. Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên
dương nhỏ hơn A ) thì:
ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))
Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R .
Tiếp tục xét thương
R
A
và làm theo từng bước như đã nêu trên.
Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức:
ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) =
A.B
UCLN(A, B)
Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C.
Thuật toán:
1. Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] Điều này
suy ra từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] =
= ƯCLN[ƯCLN(A, C), B]
2. Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự. Ta cũng có:
ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A, C),
B]
B. Ví dụ minh họa

3872428
. Số dư tìm được là 123221. Suy ra:
ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221)
Ta có:
=
123221 607
3872428 19076
. Suy ra:
ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203,
BCNN =
15859395.3995649
203
= 312160078125
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431
Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101
=> ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101
C. Bài tập vận dụng
1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220
b. 1340022 và 622890625 c. 1527625 và 4860625 d. 1536885 và 24801105
2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360.
3. Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438. ĐS : 678
DẠNG 4: TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ
1 0

n n
n a a xa m
−
= M
VỚI m
∈

2
= 27 y
2
+1 nên y < x suy ra x =
2
37 1y +
Do đó gán: Y = 0, X= 0; nhập Y=Y+1:X =
2
37 1Y +
ấn phím = liên tục cho tới khi X nguyên
KQ: x =73; y= 12
Bài tập:
1. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x
2
= 47y
2
+1 KQ: x= 48; y= 7
2. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x
3
+ 17(2x-y)
2
= 161312
Giải : ta có 4x
3
+ 17(2x-y)
2
= 161312
3
161312 4
2

+
136
99900
=
245491
99900
VD : Tính chữ số thập phân thứ 105 của số thập phân
17
13
Ta có : 17
÷
13 = 1,307692308
( thực ra kết quả của nó là 1,307962307962 )
Ta thấy chu kì của kết quả là 1,(307692)
Mặt khác 105
≡
3 ( mod 6 )
⇒
chữ số thứ 105 trong phần thập phân của kết quả phép chia 17
÷
13 là số 7
VD : tìm
Nn∈
nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số biết n
121
có 5 chữ số đầu đều là chữ số 3
Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n
121

Nhưng ta có 123

÷
13 = 1,307692308 ( trên màn hình )
trong bộ nhớ máy vẫn lưu kết quả 1,30769230769
( máy vẫn giữ đủ 12 chữ số và chỉ 12 chữ số )
Nếu muốn làm tròn số thì bấm MODE MODE MODE MODE 1 và chọn làm tròn từ 0 đến 9
Nếu chọn FIX 4 và ấn tiếp SHIFT RnD
⇒
máy sẽ hiện kết quả 1,3077 và giữ kết quả này trong
bộ nhớ ( chỉ có 4 chữ số ở phần lẻ đã làm tròn )
⇒
Ans
×
13 = 17,0001
II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:
1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
VD : Tính :
- 8 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
a, A =
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27





−+−
+++












−+−
+++
Đối với bài tập dạng này thì trước khi tính chúng ta phải rút gọn biểu thức rồi mới tính biểu thức
như bình thường
1 1 1
1 1 1
2 1
1
91
3 9 27
3 9 27
:

 ÷  ÷
− + −
× − + −
 ÷
 ÷  ÷
 
   
   
+ + + × − + −
 ÷  ÷
   
= ×
   
   
× − + − × × + + +
 ÷  ÷
   
   
   
= ×
91
80 640
=
b,
( )
( )
( ) ( )
013,0:00325,0
045,02,1:965,11,2
67,088,33,503,0632,0

/c B + C a
b
/c D =
( cách gọi số nhớ ra bằng cách ALPHA A )
1.2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN.
Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x
2
-11x – 2006 tại
a) x = 1; b) x = -2; c) x =
2
1−
; d) x =
0,12345
1,23456
;
Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X:
Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997)
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Rồi dùng phím
#
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904)
Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c)
1
1995
2
−
; d) -2006,899966).

Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: Nhập biểu thức đã cho vào máy
(Ghi kết quả là - 4 )
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Dùng phím
#

#
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả. (Ghi kết quả là 25,12975279)
Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521)
Bài tập: 1/ Tính
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
− + −
=
− + +
khi x = 1,8165 (Kq: 1.498465582)
2/ Tính
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
− + −
=
− + +

3
T( 231007)
;
2007
T( 2008)
.
Kq:
3
T( 231007) 1,194910171= −

2007
T( 2008) 0,50063173= -
1.3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ
Phương pháp: Tính từ dưới lên hoặc tính từ trên xuống.
Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số
0
1
n 1
n
1
a
1
a
1
a
a
−
+
+
+

Giải:
Cách 1: tính từ dưới lên
Ấn: 3
1
x
−
5 2X + =

1
x
−
4 2X + =

1
x
−
5 2X + =

1
x
−
4 2X + =

1
x
−
5 3X + =
Ấn tiếp:
/
/

3))))))))
=
BIỂU DIỄN PHÂN SỐ RA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ.
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng
để giải nhiều bài toán khó.
Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số
a
b
có thể viết dưới dạng:
0
0 0
0
b
a 1
a a
b
b b
b
= + = +
Vì b
0
là phần dư của a khi chia cho b nên b > b
0
. Lại tiếp tục biểu diễn phân số
1
1 1
0
0 0
1
bb 1

. Số vô tỉ có thể biểu
diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập
phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.
Ví dụ : Tính a)
329 1
1
1051
3
1
5
1
A
a
b
= =
+
+
+
b)
15 1
1
17
1
1
B
a
b
= =
+
+

1
x
−
=
(máy hiện 5 9 64)
ấn tiếp
5− =
(máy hiện 9 64)
ấn tiếp
1
x
−
=
(máy hiện 7 1 9) KQ: a=7; b=9
b) KQ: a= 7; b=2
Bài tập:
- 11 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
1/ Biểu diễn B ra phân số
= +
+
+
+
1
B 7
1
3
1
3
1

5 2
1 1
4 3
1 1
3 4
2 5

 
 ÷
 
98
Kq :
157
4/ Tính C =
1
5
1
1
1
3
1
1
4
− +
+
+
+
Kq:
101
4,208(3)

2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +
+ +
+ +
(
12556
x
1459
−
=
)
7/ Tìm a, b,c,d biết :
3 12585 20052006 1
a) 9 b) a
2 1
1354 2007
10 b
1 1
a c
b d
+ = = +
+ +
+ +
Kq: a) a = 11 ;b = 12; b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2
8/ Tìm x biết :
4 1 2

 ÷
 
+
 ÷
 
(x =
1389159
1,106910186
1254988
≈
)
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc
để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn.
Ví dụ Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
- 12 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

2
– 3,21458x – 2,45971 = 0
Giải
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 1 2>
( ) ( )
( ) ( )1. 85432 3 . 321458 2 . 45971− −= = = =x1 = 2.308233881 x2 = -0.57 4671173
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R I⇔

thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học
do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có
nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm.
3.1.2: Giải theo công thức nghiệm
Tính
2
b 4ac∆ = −
+ Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm:
1,2
b
x
2a
− ± ∆
=
+ Nếu
∆
= 0 thì phương trình có nghiệm kép:
1,2

định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, …. Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét
để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này.
Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a≠0)
3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn
MODE MODE 1 3>
nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím
=
giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
- 13 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của
phương trình x
3
– 5x + 1 = 0.
Giải
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím
MODE MODE 1 3>
1 0 ( ) 5 1= = − = = = =(x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639 675)
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R I⇔

thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học
do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải.
3.2.2: Giải theo công thức nghiệm

83249 16751 108249 16751 83249 41751= = = = = = (1, 25) = (0, 25)
Ấn tiếp:
b/ c
aMODE 1 1. 25 0 . 25 =
(5)
Vậy đáp số E là đúng.
Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR.
Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn
Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn
MODE MODE 1 3
nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần
nhập hệ số ấn phím
=
giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3x y 2z 30
2x 3y z 30
x 2y 3z 30
+ + =


+ + =


+ + =

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 1 3 3 1 2 30 2 3 1 30 1 2 3 30= = = = = = = = = = = = = =(x = 5 ) (y = 5) (z = 5)
Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5.


2.2. (Sở GD Hà Nội, 1996)
13,241x 17,436y 25,168
23,897x 19,372y 103,618
− = −


+ =

2.3. (Sở GD Cần Thơ, 2002)
1,341x 4,216y 3,147
8,616x 4,224y 7,121
− = −


+ =

2.4.
2x 5y 13z 1000
3x 9y 3z 0
5x 6y 8z 600
+ − =


− + =


− − =

DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC

+ a
1
; b
2
= b
1
x
0
+ a
2
; …; b
n
=
b
n-1
x
0
+ a
n
. Suy ra: P(x
0
) = b
n
.
Từ đây ta có công thức truy hồi: b
k
= b
k-1
x
0

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
X
An phím: 1
.
8165
SHIFT STO X
− + − + ÷
− + + =
2
2
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1 )
( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 )
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và
fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có
sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng
cách bấm
CALC
, máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là
=
xong. Để có
thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x
0
vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để
tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
- 15 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Ví dụ: Tính
− + −
=

khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là
một số (không chứa biến x). Thế
b
x
a
= −
ta được P(
b
a
−
) = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
b
a
−
), lúc này
dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −
−
Số dư r = 1,624
14
- 1,624
9
- 1,624

1
,r
2
)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn
P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(
b
a
−
). Như vậy bài toán trở về dạng toán
2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết
cho x+6.
- Giải - Số dư
( ) ( )
2
4 3
a ( 6) 7( 6) 2 6 13 6
 
= − − + − + − + −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
( )
−

=
Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x +
3?
Giải –
Số dư a
2
= -
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
 
− + − −
 
=> a =
±
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
 
− − + − −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
3
( ) ( 3 ( ( ) 3 ) 17 ( ( ) 3 ) 625 )− − + − − =x
Kết quả: a =

x + b
2
và số dư r. Vậy a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
= (b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
)(x-
c) + r = b
0
x
3
+ (b
1
-b

.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia
đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = - 5; a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= -2; a
3
= -3; a
4
= a
5
= 0; a
6
= 1; a
7
= -1; b
0
= a

Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r
0
+r
1
(x-
c)+r
2
(x-c)
2
+…+r
n
(x-c)
n
.
Ví dụ: Phân tích x
4
– 3x
3
+ x – 2 theo bậc của x – 3.
Giải
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q
1
(x)(x-c)+r
0
theo sơ đồ Horner để được q
1
(x) và r
0
. Sau đó
lại tiếp tục tìm các q

(x)=1=a
0
, r
0
= 9
Vậy x
4
– 3x
3
+ x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)
2
+ 9(x-3)
3
+ (x-3)
4
.
Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Nếu trong phân tích P(x) = r
0
+ r
1
(x-c)+r
2
(x-c)
2
+…+r
n
(x-c)
n
ta có r

– 5x – m + 7
b. Cho P(x) = ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ dx
2
+ ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107.
Tính P(12)?
Bài 2: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33. Biết P(N) = N + 51. Tính
N?
Bài 3: (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r
1
khi chia P(x) cho x – 4.
c. Tìm số dư r
2
khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 4: (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x
3

2
trong Q(x)?
Dạng 2.7. Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được dưới dạng
ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
)”.
“Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỷ

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta
thấy có 2 nghiệm là x
1
= 2; x
2
= -3.
Khi đó ta viết được: x
2
+ x – 6 = (x – 2)(x + 3)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy
có 3 nghiệm là x
1
= 3; x
2
= -5; x
3
= -1.
- 18 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
Khi đó ta viết được: x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x

2
- 3x + 5)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+58x - 60 thành nhân tử?
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = {
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
5;
±
6;
±
10;
±
12;
±

±
4;
±
5;
±
10;
±
20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi đó bài
toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x
3
- 3x
2
+ 6x - 4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x
3
- 3x
2
+ 6x -
4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x
2
-
2x + 4). Ta thấy đa thức (x
2
- 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x
2

2006

+ Thực hành trên máy : 1 + 20005┘2006 = thì kết quả hiển thị là : 1.999950015 . nhưng
khi thực hành trên giấy ta dễ có kết quả là :
4011
2006
* Nguyên nhân: Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự ở tử và mẫu vượt quá 10
ký tự của phân số thì máy tự động thực hiện phép chia, sau đó hiển thị kết quả là số TP.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là gần đúng “»”,
muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, tính toán trên giấy.
c) Kết quả là số nguyên vượt quá 10 chữ số máy tính sẽ hiển thị dạng khoa học ax10n
sau khi làm tròn.
Ví dụ : giải phương trình : x
2
- 11111111110x – 11111111111 = 0
(1 )
.
+ Thực hành trên máy tính : MODE MODE 1 ► 2
Nhập hệ số: a? 1 = ; b? -11111111110 = ; c? -11111111111 =
Kết quả : x1 = 1.111111111x1010 ; x2 = -0.995 . Nhưng khi tính trên giấy ta có : a - b + c
= 0 do đó x1 = -1 ; x2= 111111111111.
* Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự nhập vào của mỗi hệ số
vượt quá 10 chữ số thì máy tính bị tràn bộ nhớ do đó kết quả sai, hoặc máy tính hiển thị kết
quả là số dạng khoa học.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai, muốn có kết
quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán trên giấy .
d) Kết quả đúng là số vô tỉ nhưng máy tính hiển thị kết quả là số TP.
Ví dụ : thực hiện phép tính : 4
2
+2006 – 5

kết quả trên máy đang ở trường số phức.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai trên trường
số thực, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành giải phương trình trên bằng
công thức nghiệm.
2/ Những sai sót về kết quả do thứ tự ưu tiên các phép toán gây ra :
Nhà sản xuất máy tính FX-500MS đã thiết kế cho máy tính những phép toán cơ bản với
mức độ ưu tiên của các phép toán như quy tắc ưu tiên của toán học. Nhưng thực tế máy FX-
500MS có thêm những tính năng về mức độ ưu tiên nếu chúng ta không nghiên cứu khi thực
hành giải toán sẽ cho kết quả sai, mặc dù chúng ta nhập đúng biểu thức và giá trị của biểu
thức đó và máy tính không báo lỗi. Người sử nhận kết quả sai mà cứ chắc chắn là một kết
quả đúng.
a) Phép nhân không dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu :
Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà
không hay biết.Ví dụ : thực hiện phép tính: 3 : 4 x(5-3) .
+ Thực hành trên máy: Cách 1 ; 3┘4(5-3) = cho kết quả là : 0.375 hay 3┘8 (phép toán
không có dấu x trước ngoặc đơn) và học sinh thản nhiên công nhận kết quả trên.
Cách 2 : 3┘4x(5-3) = cho kết quả là : 1.5 hay 3┘2 (phép toán có dấu x trước ngoặc đơn)
một lần nữa học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả .Thật sự bế tắc cho giáo viên để khảng định
một kết quả đúng, nếu ta không nắm vứng tính năng của máy tính .
* Nguyên nhân : Do tính năng của máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên của phép toán nhân
không có dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu.
* Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán ở kết quả cách 1 là sai, kết quả đúng ở cách 2 ,
Giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính năng này, và khắc sâu các quy tắc ưu
tiên mà toán học đã quy định. Nhập lại biểu thức trên máy và kiểm tra lại trên giấy.
b) Phân số thực hiện tối giản trước, trước khi thực hiện các phép toán khác :
Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà
không hay biết.
Ví dụ : thực hiện phép tính : A= (
18
)/2

Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đaị số và số học một cách sáng
tạo, phối hợp nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác
hết chức năng của MTCT.
Đối với khối đại trà thì 100% học sinh có MTCT đều sử dụng thành thạo và giải được hầu hết
các bài toán liên quan . Điều này đã kích thích được lòng ham mê môn học và dẫn đến các em
yêu quý môn học hơn.
Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện:
1.Nguyễn Việt Ánh (lớp 9A1 )
2. Phạm Thùy Dương (lớp 9A1)
Hai học sinh vào đội tuyển cấp huyện tham gia kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh:
2. Lợi Ích Và Khả Năng Vận Dụng:
- Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT.
- Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khoá và sử
dụng trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên MTCT.
- Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT
trong việc giải toán. Kết hợp giữa tư duy và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với
MTĐT phù hợp với xu thế phát triển của CNTT.
- 22 –
SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT
3. Đề Xuất Kiến Nghị:
- Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao
chất lượng các kì thi.
- Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho
việc giảng dạy.
- Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trong dạy học
Với kinh nghiệm còn ít mặc dù đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng không tránh những thiếu
sót. Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào quá trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn
thiện đề tài tốt hơn. /.
NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO:
– SGK toán 6, 7 ,8, 9 tập 1