Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
mục lục
a . mở đầu
Trang 2
1/ Lí do chọn đề tài
Trang 2
2/ Mục đích nghiên cứu đề tài
Trang 2
3/ Phạm vi nghiên cứu
Trang 3
4/ Phơng pháp nghiên cứu
Trang 3
b . Nội dung đề tài
Trang 4
1/ Cơ sở lý luận
Trang 4
2/ Tình hình thực tiễn
Trang 4
3/ Nội dung và phơng pháp tiến hành
Trang 5
3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ
Trang 5
3.2 Phơng pháp chung
Trang 5
3.3 phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản
Trang 5
a. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa
Trang 5
b. Phơng pháp đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Trang 8
c. Phơng pháp đặt ẩn phụ

việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao
tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ .
Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ
Q thành tập số thực R .Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai
thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán
về giải phơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng
cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ
thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối .
Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng
trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục
tình trạng trên về giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn
toán của học sinh ở trờng THCS.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao
năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là
công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo
giúp học sinh giải đợc một số bài tập .
- Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải ph-
ơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học .
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp
dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
- Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của
việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ .Đồng thời góp phần
nâng cao chất lợng giáo dục .
3. Phạm vi nghiên cứu- Đối t ợng nghiên cứu :
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng

SL % SL % SL % SL %
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
2
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
20 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5%
2.2 . Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc
trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không
có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các
em càng khó giải quyết.
3/ Nội dung và ph ơng pháp tiến hành
3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .
3.1.2. Các ví dụ :
a)
11 =x

b)
2173 =++ xx
c)
3+ xx
1
2
+ xx
=3
d)
4
1
1
1

ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì
x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0







13
1
x
x


1

13

x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
3
(1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS

2
)13(1 xx =

017027
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1


2
1


x
x


12

x
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

xxx ++++= 22211


01
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
2
51
=x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51
=x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:

1+x
=
x12
+
7x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01














44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phơng trình.
* Giải phơng trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
+
)(xq
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
4
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1+x
+
10+x
=
2+x
+
5+x
(1)
ĐKXĐ :


5
2
10
1
x
x
x
x
x -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1( ++ xx
= x+2 + x+ 5 + 2
)5)(2( ++ xx

2+
)10)(1( ++ xx
=
)5)(2( ++ xx
(3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
)10)(1( ++ xx
= 1- x
Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)

= x- 2
2.
41
2
++ xx
= x+ 1
3.
x1
+
x+4
=3
4.
3
45+x
-
3
16x
=1
5.
x1
=
x6
-
)52( + x
6.
3
1x
+
3
2x








4
0)43(
2
x
xx
x 4
Phơng trình (1)


43 x
= -x + 4






=
+=
443
443
xx
xx

2x
+
4x
= 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)

6-2x =5


x = 0,5(thoả mãn x

2)
+ Khi 2

x

4 ta có (2)

0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5


x =5,5 (thoả mãn x > 4 )


x < 5 ta có (1)

2-
1x
+ 3 -
1x
= 1


1x
=2

x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5

x

10 thì (1)

0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
b.2. Nhận xét :

2
++ xx
3.
143 ++ xx
+
168 + xx
= 5
4.
5233 ++ xx
+
522 xx
= 2
2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c 1. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x
2
+ 3x +
932
2
++ xx
=33
ĐKXĐ :

x

R
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
6
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS

1
= 3, x
2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:
x
+
4
x
= 12
ĐKXĐ : x

o
Đặt
4
x
= y

0

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

1
x
x
-1 x 3
Đặt
1+x
+
x3
= t

0

t
2
= 4 + 2
)3)(1( xx +


)3)(1( xx +
=
2
4
2
t
(2) .thay vào (2) ta đợc
t
2
2t = 0

t(t-2) = 0

+ 2)
Ta có
1
3
+x
=
1+x
1
2
+ xx
Đặt
1+x
= a

0 ;
1
2
+ xx
= b

0 và a
2
+ b
2
= x
2
+ 2
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a
2



x
2
5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
=
2
375
; x
2
=
2
375 +
+ Trờng hợp: a = 2b



1+x
= 2
1
2
+ xx
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
7
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS


x+ 1 = 4x

ĐKXĐ: -1

x

1 thì phơng trình (1) trở thành.
u + 2u
2
= -t
2
+ t +3ut


(u t )
2
+ u(u-t) + (u-t) = 0


(u-t)(2u t +1 ) = 0




=+
=
tu
tu
12




12 xx
+
12 + xx
=
2
3+x
ĐKXĐ : x

1
Đặt
1x
= t

0

x = t
2
+ 1 phơng trình đã cho trở thành
2
)1( +t
+
2
)1( t
=
2
4
2
+t



0
2
t
t




=
=
1
5
x
x


ĐkXĐ:
x 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2 . Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h-
ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dụng:
1/ x
2
5 +
6

6
23+x
d. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích :
d.1.Các ví dụ :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
8
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2110 ++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
- 6 (1)
ĐKXĐ : x

-3
Phơng trình (1) có dạng :
)7)(3( ++ xx
- 3
3+x
+ 2
7+x
+6 = 0



3+x
(
)37 +x

43
97
x
x




=
=
1
2
x
x


ĐKXĐ.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3
1 x
+
2+x
=1
ĐKXĐ : x

-2
Đặt
2+x
= t

- 4t
2
+ 3t + 2 =0

(t-2) ( t
2
-2t -1) = 0
Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2
2
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1)
1
2
+x
= 2(x
2
+ 1) + 2x - 1 (1)
Đặt
1
2
+x
=y ; y

0
(1)

(4x-1) y = 2y
2
+ 2x -1


2
)
suy ra x = u
2
-1 phơng trình (1) trở thành :
(u -1 ) (
)12
2
+ u
= 2 ( u
2
-1)

(u -1 ){ (
)12
2
+ u
- 2 (u+1)} = 0


(u-1) (
)122
2
uu
= 0






+=
+
)12(2
012
2
uu
u
(thoả mãn vì u

0 ) 5u
2
+ 4u - 1 = 0






=
<=
5
1
)(01
2
1
u
loaiu

nên có x = u
2

xx
= 0
2.
2
2
xx
- 2
2
2
+ xx
=
1x
3. x(x+5) = 2
225
3
2
+ xx
4. 2( x
2
+ 2x + 3) = 5
233
23
+++ xxx
e. Ph ơng pháp đ a về hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2
25 x
-
2

0
)(2))((
2
ba
bababa
ba




=+
=
5
2
ba
ba








=
=
2
3
2
7

Ví dụ 2: Giải phơng trình:
35
3)3(5)5(
+
+
xx
xxxx
= 2 (1)
ĐKXĐ : 3

x

5
Đặt





=
=
)0(3
)0(5
ttx
uux
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :





Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
3
2 x
+
1

x
= 1
ĐKXĐ: x

1
Đặt





=
=
)0(1
2
3
ttx
ux
Khi đó ta có u
3
= 2 x ; t
2
= x- 1 nên u



=+
=
034
0
2
tt
t









=
=
=
3
1
0
t
t
t
Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x

1 ) là nghiệm của phơng trình đã

a
2
=
3
2
)1(
+
x
b
2
=
3
2
)1(

x
ab =
3
2
1

x
. Ta đợc phơng trình : a
2
+ b
2
+ ab = 1 ( 1)




ba
abba
Từ hệ phơng trình ta suy ra a b = 2

b = a 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )
2
= 0

a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
e.2.Nhận xét :
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm
sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp
này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình
quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác
nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
e.3.Bài tập áp dụng :
Giải các phơng trình sau :
1.
x
1
+
2
2

=
3
32 x
5.
x
+
44
= x
g. Ph ơng pháp bất đẳng thức :
g.1. Ph ơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó ph ơng
trình vô nghiệm .
g.1.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
1

x
-
15

x
=
23 x
(1)
ĐKXĐ:







Với x

1 thì x < 5x do đó
1

x
<
15

x
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
Vậy phơng trình vô nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

116
2
+
xx
+
136
2
+
xx
+
4
2
54
+
xx
= 3 +

x
+
4)3(
2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x


2
+
4
+ 1 = 3 +
2


Vế phải của phơng trình đã cho lớn hơn vế trái .
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm .
g.1.2.Bài tập áp dụng:
1.
1

x
-
1

++
xx
= 4 2x x
2
(1)
Ta có vế trái của (1)
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
=
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
++
x



4
+
9

2
64 xx
)
2



2
)46()1((
22
+
x
=1 hay
4x
+
x6


2
Vì vậy phơng trình (1) có nghiệm là :





=+
=+
(**)264
(*)22710
2

5,33
2
+
xx
=
)44)(22(
22
++
xxxx
h. Ph ơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
h.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình :
3
2x
+
1
+
x
= 3 (1)
ĐKXĐ: x

1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phơng trình (1)
Với x > 3 thì
3
2x
> 1 ,
1
+
x

+
1

x
+
x
=
2
+ 9 (1)
ĐKXĐ:
1
0
01






x
x
x
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
13
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
h2.Nhận xét :
Khi giải các phơng trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử dụng
phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách
chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .

xx
i. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không
chặt
i.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình

2x
+
1995
+
y
+
1996z
=
2
1
(x+y+z)
ĐKXĐ : x

2; y

-1995; z

1996
Phơng trình (1)

x+y+z = 2
2x
+ 2
1995


=
=+
=
11996
11995
12
z
y
x






=
=
=
1997
1994
3
z
y
x
( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
763
2

2
++
x


2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 (x+1)
2


5
Vì thế phơng trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phơng trình (*) bằng nhau và bằng 5

x+ 1 = 0

x = -1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phơng trình:
14 x
x
+
x
x 14

=2 (1)
ĐKXĐ: x>
4
1
áp dụng bất đẳng thức

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú
ý các bớc sau :
+ Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)

a , g(x)

a
(a là hằng số )
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x)


m hoặc h (x)

m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu
đẳng thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
i.3. Bài tập áp dụng:
1.
1282
2
+
xx
= 3 -
4
2
13123
+

116
156
2
2
+
+
xx
xx
=
186
2
+
xx
k. Một số ph ơng pháp khác :
k.1.Ph ơng pháp miền giá trị :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
1
+
x
+
931851 =+ xxx
(1)
Ta tìm miền giá trị của hàm số :
y =
1

x
+
931851 =+ xxx
trên tập xác định

)5();1( yy
hay
[ ]
`362;1522
+
. Suy ra y
min
=
1522

và
y
max
= 2 +
36

với mọi x
[ ]
5;1

Để phơng trình (1) có nghiệm thì y
min


9

y
max
nhng điều này không xảy ra vì
y

3
12
2
1
=
+
x
x
Đặt y =
2
1
3
+x
hàm số có đạo hàm y
,
=
2
3
2
x


0 với mọi x nên đơn điệu tăng
và liên tục trong R.
y =
2
1
3
+x
có hàm ngợc y =

1
3
+x
= x

x
3
-2x + 1 = 0

x = 1 hoặc x =
2
51
+

.
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
15
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Vậy nghiệm của phơng trình là x= 1 và x =
2
51
+

.
k.3. Nhận xét:
Phơng pháp miền giá trị và phơng pháp hàm số ở trên mang nội dung kiến
thức ở bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy ở bậc
THCS mà chỉ dành cho giáo viên dạy ở bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm
cách đa về những phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS .
Chẳng hạn nh ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phơng trình nh sau:

2,3
=
2
51
+

.
4/ Kết quả.
4.1/ Nhận xét:
Trên đây tôi giới thiệu với các bạn một số phơng pháp giải phơng trình vô
tỉ, kết quả thu đợc rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của
các bài toán này không phải là ít. Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán này
thì chúng ta đã trang bị cho các em lợng kiến thức không phải là nhỏ. Trong ch-
ơng trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phơng pháp nữa. Trên đây tôi
chỉ trình bày một số phơng pháp thông dụng trong chơng trình trung học cơ sở.
Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tợng nào cũng tiếp thu một cách
dễ dàng, vì vậy giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và
phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết
sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen
dần. Dạng toán này có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản
trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t duy sáng tạo, biết
tìm cách giải dạng toán mới, tập trung Sáng tạo ra các vấn đề mới.
4.2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lợng qua kiểm tra đã đợc nâng lên
đáng kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt.
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
5 12,5% 20 50% 10 25% 5 12,5%
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
16

- SGK Toán 7-Nhà xuất bản GD 2003
- SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD
- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dỡng Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995
- Để học tốt Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 1999
- Phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực - Nhà xuất bản GD 2002.
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000.
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan .
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
17