C
Biên so

PH

Trong quá trình gi
cao. N
1
Ta dùng máy tính Casio đ
N
tránh d
Nh
N
Ta có thTrong đó:

1.2
Phương án 1:
Ta nh
N
Phương án 2:
Ta th
hay không, n
1.3
H

C
huyên đ
ề

Ta có th
ể
k
Hệ

s
aTrong đó:nn
ba
=

11
.
nnn
bba
a

=+
212
.
nnn
bba
a

=+

T S

GIẢ
I PHƯƠNG TR
Trong quá trình gi
ả
i phương tr
u nh
ận dạ
ng ra d
p phương tr
ình b
Ta dùng máy tính Casio đ
322
axbxcxdxaxbxc
+++=Û-++=Û
(Để
u dùng máy tính Casio không tìm
n đ
ế
n phương tr
i sơ đ
ồ
Horner (h
là nghi
ệm củ
a phương tr
k
ẻ bả
ng sau:


p phương tr
ình b
Phương án 1:

p phương tr
ình
đư
ợc nghiệ
m nguyên / h
Phương án 2:

chia phương tr
hay không, n
ế
u có th
ương tr
ình b
ậ
ân t
ích hạ
b
ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
T S
Ố
CÁCH ĐƠN GI
I PHƯƠNG TR


a

1n
b
-

b
ình b
ậc 4:
axbxcxdxe
ình
đó vào máy tính casio, dùng l
m nguyên / h
chia phương tr
ình bậ
c 4 đó cho
u có th
ể đưa đượ
c ta đ
ậ
c cao h
ơn:
b
ậc dần dầ
n xu
ng môn Toán cho h

ặc sử

c c
ần thiế
t, nên ghi nh
a phương tr
ình
nn
nn
axaxaxa
++++=
(*)()( )0
xbxbxb
a
Û-+++=
2n
a
-

…
2n
b
-

…
432
axbxcxdxe
++++=
đó vào máy tính casio, dùng l
m nguyên / h

n khi bi
ến đ
ổ
t ta có th
ể giả
i chúng, khi đó phương tr
0
axbxcxd
+++=

u có 1 nghi
ệ
m nguyên / h
322
0()(''')0
axbxcxdxaxbxc
a
+++=Û-++=Û
ể
dùng sơ
đ
c nghi
ệ
m nguyên/h

dụ
ng công th
t, nên ghi nh
1
110
xem có th
n ph
ụ
tx
=+
đ
ược nghi
ệ

kế
t qu
p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
C CAO

ổ
i ta thườ
ng th
i chúng, khi đó phương tr
0
m nguyên / h
ữ
u t
0()(''')0


…
1
b

o nh
ớ: đầ
u rơi, sau đó nhân ngang, c
0
axbxcxdxe
++++=

ệ
nh shitf SOVLE đ
ồ
Horner h
ạ
xem có th
ể đưa về
d
1
tx
x
=+

ệ
m nguy
ên ho

t qu

c chia đa th
u t
ỉ
thì ta quay l
Cardano

(khó!)
ng đ
ẳng th
ứ
110
0
axaxaxa
++++=

(*) thì:
11
(*)()( )0
xbxbxb
Û-+++=

a

0
a

b

0


c gi
thì:

'''0
axbxc
a
=
++=
c chia đa th
ức)
thì ta quay l
ạ
i tìm cách khác
(khó!)

ứ
c đáng nh
ớ
(*) thì:

u rơi, sau đó nhân ngang, c
tìm nghi
ệ
m.
ậ
c ba, rồ
i tìm cách gi
2
2
11

i tìm cách khác
ớ
)
u rơi, sau đó nhân ngang, c
ộ
ng chéo)
m.

i tìm cách gi
ả
11
mxnxp
xx
æöæö
++±=
ç÷ç÷
èøèø

ùng l
ược đồ
u làm đúng thì
ở
ằ
ng 0
…
……….

]

ình b

2
2
HC
huyờn

Biờn so

n:

1.
1 Gi
i cỏc phng tr
a)
32
xxx
+=
d)
32
68150
xxx
-+-=

1.2. Gi
i cỏc phng tr
a)
432
26210

g
)
44
(1)(3)2
xx
-+-=
1.
4. Tỡm
i
(HD: Vi

t l

2.1
H g
m hai phng tr
Vớ d
1:
2
.2 H g
m m
Vớ d
2:
2
.3 H
phng tr
H
i x
ng ụi v
Vớ d 3

22174105500
xxxx
-+-+=
i cỏc phng tr
432
22760
xxxx
-+-+=
5432
142523100
xxxxx
=
22
(43)(412)56
xxxx
+++-=-
44
(1)(3)2
xx
-+-=
i
u kin c

t l

i phng tr
PH
N II
m hai phng tr
1:

www.gvhieu.com
i cỏc phng tr
ỡnh b
c ba
25250
+=

68150
-+-=

i cỏc phng tr
ỡnh b
c 4 sau:
26210
xxxx
+=432
635623560
xxxx
-+-+=
432
22174105500
xxxx
-+-+=
i cỏc phng tr
ỡnh sau:
22760
xxxx

t phng tr
ỡnh b
phng tr
ỡnh
ỡnh
i xng:

i x, y l h

m khi ta thay x b
22
xxyy
xyxy
ỡ
-+=
ớ
+-=
ợ
2
2
3220
3220
xxyy
yxyx
ỡ
+ =
ù
ớ
+ =
ù
142523100
=

(43)(412)56
+++-=-

m
phng tr
4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
ỡnh trờn
theo m
. Tớnh
T S
H


c hai
'''0
axbxc
axbxc
ỡ
ù

ợ

m khi ta thay x b
22
10
4
xxyy
xyxy
-+=
+-=

3220
3220
xxyy
yxyx
+ =
+ =

c sinh l

p 10A1
www.gvhieu.com

BI T

32
990
xxx
+ =
32

44
(3)(1)82
xx
-++=
phng tr
ỡnh sau cú nghi
4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
. Tớnh
m
theo x)

PHNG TR
2
2
'''0
axbxc
axbxc
ỡ
++=
ù
ớý
++=
ù
ợ
44390
25360
xx


32
3619260
xxx
-+-=

432
325230
xxxx
+-++=
432
410
xxxx
+-++=

43
27830
xxx
+-+=
5432
223911872521800
xxxxx
+++++=
2
(23)(2)(5)12
xxx
-+-=-
44
(3)(1)82
xx

i y
thỡ h
phng tr
ng mi

n phớ cho h
p l ni

m vui khỏm phỏ

c)
32
xxx
3619260
-+-=

f)
6132240
xxx
325230
+-++=
c)
432
xxxx
410

f)
432
xxxx
27830

S
đ
ỹ
ớý
đ
ỵ
c nht:
phng tr
ỡnh
n phớ cho h

c sinh
m vui khỏm phỏ

32
52100
xxx
-+-=
32
6132240
xxx
+ =
432
32310
xxxx
+ +=
432
5101040
xxxx
-+-+=

6132240
xxx
+ =

432
32310
xxxx
+ +=
432
5101040
xxxx
-+-+=
223911872521800
+++++=


P
12
SSS
ú khụng
i.
]

52100
6132240
+ =

32310
+ +=


xx
ì
=
ï
í
++=
ï
î
2.
2. Giả
i các
a)
2
325
xy
xxyxy
+=
ì
í
++-+=
î
c)
22
22
2529
xxyy
xxyy
ì
ï
í

()2
abaabb
+=++
33223
()33
abaababb
+=+++
4432234
()464
abaabababb
+=++++
…Đ
ể
khai tri

ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
i các
hệ
phương tr
2
2
2260

-+-+=
22
4245
3323
xxyyxy
xyxy
-++-=
-++=
TAM GIÁC PASCAL
Khi khai tri
ển hằ
ng đăng th
222
()2
abaabb
+=++
33223
()33
abaababb
+=+++
4432234
()464
abaabababb
+=++++
khai tri
ển
()
n
ab
-

xxyxy
yxyyx
-+-+=
-+-+=
22
4245
3323
xxyyxy
xyxy
-++-=
-++=
TAM GIÁC PASCAL

ng đăng th
ức
()
222
abaabb
+=++

33223
()33
abaababb
+=+++

4432234
()464
abaabababb
+=++++
()


()
n
ab+
ta có th
4432234
()464
abaabababb
+=++++

n đi
ền từ
ng d
c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com

BÀI T
Ậ

b)
2
3440
xx
xx
ì
ï
í
ï


h)
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
ì
ï
í
ï
îPHỤ L
Ụ
ta có th
ể sử d
ụ
ng d
ấu +,-
, +,
1 5
p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
Ậ
P:

ì
++=
í
+-=
î
2
2
322560
322560
xxyxy
yxyyx
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î
22
22
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
ì
+ +=
ï
í
+-+-=
ï

-=
-++-=
22
312
4426
xxyy
xyxy
++=
+-=

322560
322560
xxyxy
yxyyx
+ =
+ =
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
+ +=
+-+-=
c sau đây đ
… vào trư
ớc hệ số.

1
1 1
1 2 1
1 3

ể
ghi các h

1 2 1

3 1

4 1

10 10 5 1

c sinh
”12|2013
”
[3]

ghi các h
ệ số.
10 10 5 1

]

C
Biên so
3.1
N
phương tr
3.1.
3.1.
3.2

1.
()()
fxgx
Ví dụ 1
:
3.1.
2.
()()
fxgx
Ví dụ 2
:
3
.1
3
.2
3
.3
3
.4
3
.5
3
.6
3
.7
3
.8
3.2
. DÙNG
3.2.

;;

Có r
u m
ột số
cách thư
Nhìn chung, gi
tòi,
để ý tỉ mỉ

lên th
ật nhiề
u v
C HI
Ệ
N PHÉP BI
i dung cơ b
ản củ
a phương pháp này là ta th
ình vô t
ỉ về
d
()()
fxgx
=Û
:

1713
xx
+=-

22
286122
xxxx
+++-=+
.7
Tìm m để

.8
Tìm m để

. DÙNG
ẨN PH
Ụ
t
ẩn phụ
và quy v
Trong cách gi
ả
i này ta c
. Sau đó bi
ểu thị
toàn b
Phương tr
ình dạ
ng:
3:

3890
xx
=

ề nhậ
n th
N PHÉP BI
Ế
N Đ
a phương pháp này là ta th
d
ạ
ng quen thu
()0
()()
()()
gx
fxgx
fxgx
³
ì
=Û
í
=
î
1713
xx
+=-

()0()0
()()
()()()()
gxfx
fxgx

431032
xx
=-
22
286122
xxxx
+++-=+
phương tr
ình
phương tr
ình
Ụ
ĐỂ GI
Ả
và quy v
ề bậ
c hai
i này ta c
ố gắ
ng nh
toàn b
ộ
phương tr
ng:

.()()0
afxbfxc
++=
3890
xx

ng quen thu
ộ
c (phương tr
2
()0
()()
fxgx
³
=

()0()0
()()()()
gxfx
fxgxfxgx
³³
ìì
=ÛÛ
íí
==
îî
2
xxxx
-=+-

3332
+ =-
5211

c hai
ng nh
ận ra dấ
u hi
phương tr
ình đ
ã cho theo
.()()0
afxbfxc
++=
436450
xxxx
++-+-=c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com PHƯƠNG PHÁP GI
là các phương tr
u phương pháp gi
ả
i phương tr
i phương tr
g trình vô t
ỉ là vấ
n đ

286122
+++-=+

231
xmxx
+-=+
22
24
xmxx
-=-
I PHƯƠNG TR
ÌNH VÔ T
u hi
ệu đặc biệ
t c
ã cho theo
ẩ
n ph
.()()0
afxbfxc
++=
, đặt
tfx
436450

(Hd: đặ
t

()()()()
fxgxfxgx

Ậ
P

ĐS:

ĐS:

ĐS: x=0

ĐS:

ĐS:x=3

ĐS:
231
xmxx
+-=+

có hai nghi
22
24
xmxx
-=-

ÌNH VÔ T
Ỉ
t c

ình b
ậ
c cao. Nhưng đ
i phương tr
ình
ng phép bi
ến đổ
i tương đương đ
c hai, phương tr
ình tích…)
ĐS:
2
x =-

ĐS:
2;1/2(15)
x
=-+
ĐS: x=0

ĐS:
1;1/2(171)
x
=-
ĐS:x=3

ĐS:
1
x =±


c cao. Nhưng đ
ổ
ình
.
i tương đương đ
ình tích…)

2
2;1/2(15)
=-+1;1/2(171)
=-

1
m phân bi
ệt.
i đ
ặt biểu th
ứ
i tìm cách quy v
ề bậc hai.

n:
0t ³

c sinh
”12|2013
”

ẽ
lớn
ẩ
n
C
Biên so
3.2.
a)
b)
c)
3.2.
a)
b)

C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ
Ví dụ
5:
Ví dụ 6
:
Ví dụ 7
:
3.2.
2. Dùng
a)


Hd: đ
b)

Dùng hai
Cách này thư
Cách gi
Lúc đó ta có h
Ví dụ
14
Ví dụ 1
5

ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
5:

11
xxxx
=
:

(
322244103
xxxx
+ +-=-
:

(
23
23238
xxx
-+=+
Dùng 3
ẩn phụ:
12
:
3
718812
xxxxx
+ +-+=
Hd: đ
ặt
3
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
Khi đó
abcabc
++=Û++=
t khác
333
abc
++=
(1) và (2) ta có
3. Phương pháp dùng
Dùng m
ột biến ph

ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
2
11
xxxx
=
)
322244103
xxxx
+ +-=-
361833
xxxx
++ +-=
đưa v
ề
phương tr
:

39
24
xx
++=

(Hd: đ
)
(
200611
xxx

()()?
abcabc
++-++=
3. Phương pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
kết hợ
p v
55
xx
++=

5,0
txt
=+³

. Ta có

ờ
ng áp dụ
ng cho phương tr
ặ
t
mn
uafxvbfx
=+=-
Lúc đó ta có h
ệ
mm

2
322244103
xxxx
+ +-=-
2
361833
xxxx
++ +-=
phương tr
ình tích
(Hd: đ
ặt
tx
=+
)
2
200611
xxx
+ =

(Hd: đ
22
4512193
xxxxx
++ +=-
23
23238
xxx
-+=+


=+³
. Ta có
xt
=-
ng cho phương tr
(),()
mn
uafxvbfx
=+=-
mm
uvc
uvab
+=
+=+

57405
-++=

4
1
2
xx
+=c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com


(Hd: đ
(Hd: đ
ặt
axxbx
=-+=+
718812
xxxxx
+ +-+=

33
22
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
??
++=Û++=
(1)

(2)
3333
()()?
abcabc
++-++=
ề
hệ
ệ
n có:
2
5
xt

(Hd: đặt
txx

(Hd: đặt
txx
, đi
ều kiện
t
³
1
tx
=-

, rút
(Hd: đ
ặt
451;21
axxbxx
=++=-+
2
24;2
axxbx
=-+=+
22
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+

()()?
++-++=

v
±-
=
ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
1
txx
=
)
222
txx
=+
36
txx
=++-
0
t
³
)
tx
, rút
x
ra th
22
451;21
axxbxx

c sinh
m vui khám phá
”
222
txx
=+
)
36
txx
=++-
)
ra th
ế vào pt)
22
451;21
axxbxx
=++=-+
24;2
axxbx
=-+=+
)
{1;0;1;9}
=-

y (1)
-
(2)…
(121)/2;(121)/2
xx
=-=

(121)/2;(121)/2
)
C
Biên so
c)
D
D

TÀI LI
-
-
-
C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ
c)
Dùng ẩ
n ph
D
ạng 1:
Gi
Cách gi
Đây là h
Ví dụ
16
D
ạng 2:

bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
n ph
ụ
đưa v
Gi
ả
i phương tr
Cách gi
ải: Đ
ặ
Đây là h
ệ đố
i x
16
:
3
12.21
xx
+=-
Gi
ả
i phương tr
Cách gi
ải: Đ
ặ
17

xxxx
++-+-=-
4

7
4
xxx
-+=-
U THAM
KH
PP gi
ả
i PT vô t
n đàn toán h
ọc
-
www.mathvn.com

ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
đưa v
ề hệ đố
i x
i phương tr
ình
n
xbaaxb
+=-

xxxxx
++-++ =
(
33
33
.353530
xxxx
-+-=
22
51495120
xxxxx
-+=++
3333
3152943
xxxx
++-+-=-
(
2
11
xxx
-+=-
KH
ẢO:
i PT vô t
ỉ -
Nguy
-





2
2882
xxxx
-+-=

(Hd
2
2122211
xxxxx
++-++ =
)
33
.353530
xxxx
-+-=

22
51495120
xxxxx
-+=++
3333
3152943
xxxx
++-+-=-
)
2
11
xxx
-+=-


xaax
=++

c h
ệ
xat
tax
ì
=+
ï
í
=+
ï
î
BÀI T
Ậ
2882
(Hd
: bình ph
2122211
xxxxx
++-++ =

(Hd: đ
.353530

(Hd: đặt
txx
22

tbax
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
(1)(2)(1)
(2)
xat
tax
=+
=+

. Gi
Ậ
P
: bình ph
ương, đ
ặ
(Hd: đ
ặt
txx
=++-
3
35

(2)
. Gi
ải, lấy
(1)(2)
ặ
t
2
txx
=-+
12
txx
=++-
3
35
txx
=+-
)
2
45;4
axxbx
= =+
(ĐS:
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
(ĐS:
,1
uxvx
==-

(561)/2;8
xx
=+=
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
(ĐS:
3;4;8/5
xxx
=-==
(ĐS:
xx
c sinh
”12|2013
”
[6]

15
2
-±
)
(1)(2)
1016

(Đs:
x
=
(ĐS:
x

x
=
)
2;3
xx
==
)
(561)/2;8
xx
=+=
)
3;4;8/5
xxx
=-==
)
0;9/16
==
)