Trờng đại học s phạm hà nội

Đề tài khoa học
Phát huy tính tích cực học tập của học sinh
qua việc dạy giải toán phân tích đa thức
thành nhân tử.
Ngời hớng dẫn: T.S Nguyễn Văn Khải
Ngời thực hiện: Trần Văn Chung
Trờng : THCS Tân Trào.
Hải dơng 2005
I .Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học
nói riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm
bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có
những tri thức đó con ngời cần phải học, nhà trờng là một trong những
nơi cung cấp những hành trang đó . Bộ môn toán trong trờng trung học cơ
sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén
của học sinh, nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc độ
phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết.vì
vậy ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc các dạng toán cơ bản và các h-
ớng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để học sinh phát triển t duy và hình
thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt đợc điều đó phải đòi hỏi tính tích cực,
tính t duy của ngời học nhng phơng pháp của ngời thầy cũng rất quan
trọng,làm cho học sinh học một nhng có thể làm đợc hai ba. Từ bài toán
đơn giản mở rộng lên bài khó .
Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến
đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp
dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu thức các
phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu
thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích đa thức thành
nhân tử, có nhiều phơng pháp, ngoài ba phơng pháp cơ bản nh : Đặt nhân

2
b ( 5b - 3a - b
2
)
2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
x
m + 3
+ x
m
( x
3
+ 1) = x
m
(x + 1) (x
2
- x + 1)
2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
a. Phơng pháp:
- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
b. Ví dụ:
9x
2
- 4 = (3x)
2
- 2
2
= (3x-2)(3x+2)
8 -27a
3
b

đẳng thức.
b. Ví dụ:
2x
3
- 3x
2
+ 2x - 3 = (2x
3
+ 2x

) - (3x
2
+ 3)
= 2x(x
2
+1) - 3(x
2
+1)
= (x
2
+1) (2x - 3)
x
2
- 2xy + y
2
- 16 = (x -y )
2
- 4
2
= (x - y - 4) (x - y + 4)

+ 1)
=3xy
2 2 2
(x 2x 1) (y 2ay a )

+ + + =3xy
( ) ( )
2 2
x 1 y a

+

=3xy
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 y a x 1 y a

+ + +

=3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a )
5. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
a. Phơng pháp:
Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi
dùng Phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
b. Ví dụ:
Phân tích đa thức x
2
- 6x + 8 thành nhân tử .

- 6x + 8 = x
2
- 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)
2
- (x - 2)
=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)
Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:
*Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c thành nhân tử
ta làm nh sau:
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
- Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành hai hạng tử bậc nhất.
Ví dụ: 4x
2
- 4x - 3
- Tích ac là 4.(- 3) = - 12
- Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4)
- Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)
4x
2
- 4x - 3 = 4x
2
+ 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1)
=(2x + 1)(2x - 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về

4x
2
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

=( 2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
x
7
+ x
2
+1= x
7
- x + x
2
+ x + 1 = x(x
6

cơ bản.
b. Ví dụ:
* Phân tích đa thức 6x
4
- 11x
2
+ 3thành nhân tử .
đặt x
2
= y ta đợc 6y
2
- 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)
Vậy: 6x
4
- 11x
2
+ 3 = ( 3x
2
- 1 )(2x
2
- 3)
* Phân tích đa thức (x
2
+ x)
2
+ 3(x
2
+ x) +2 thành nhân tử.
đặt x
2

+ (ab + c)x +ac
Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:
a+ b = 0
ab + c = -19
ac =-30
Chọn a = 2, c = -15
Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy : x
3
- 19x - 30 =(x + 2)(x
2
- 2x - 15)
3. Phơng pháp xét giá trị riêng.
a. Phơng pháp:
Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến
giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
b.Ví dụ
P = x
2
(y - z) + y
2
(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy
P = y
2
( y- z) + y
2
(z - y) = 0 nh vậy P chứa thừa số (x -y)
Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P
có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng
chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x).

(a-b)
- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a
2
(a-c)+a
2
(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa
nhân tử (a-b).
Tơng tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) .Vì F(a,b,c) là biểu thức
bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a). Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có
1+1 = k.1.1.(-2) k = -1
Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)
c
2
)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử
F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz .
- Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y
2
z + y
2
z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y
Lập luận tơng tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).
4. Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức:
a. Phơng pháp:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Nh vậy nếu đa
thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết
rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
Ví dụ: x
3
+ 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân

*Cách 2: x
3
+ 3x - 4 =x
3
- 1 + 3x
2
- 3 = (x
3
- 1) + 3(x
2
- 1)
= ( x - 1)(x
2
+ x +1 +3(x
2+
- 1)
= ( x - 1)(x + 2)
2
Chú ý:
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1)
-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng
tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ:
* Đa thức: x
2
- 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
*Đa thức: 5x
3

2
)
(- 3), Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử
(x - a) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để
xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1)
2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = 2x
3
- x
2
- 4x
2
+ 2x + 6x - 3
= x
2
(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)
= (2x - 1)(x
2
- 2x + 3)
5. Phơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a.Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c
Nếu b
2
- 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam
thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết.

- 2.
7
4
x +
49 25
16 16

)
= 2

2 2
7 5
(x ) ( )
4 4
= 2
7 5 7 5
(x - - )(x - + )
4 4 4 4
= 2(x-3)(x-
1
2
)
Chú ý: P(x) = x
2

3
).Tìm giá trị của x để A > 1
b. Đờng lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số,
phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử
chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các
nhân tử nằm dới mẫu.
Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự
liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh.
b. Ví dụ 2: (Các bài toán tơng tự )Rút gọn biểu thức :
A =
4 3
4 3 2
1
2 1
x x x
x x x x
+ + +
+ +
B =
2 2 2
2 2 3 2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
ab ac b bc
+ +
+
C =
3 3 3
2 2 2
3

trình thờng.
b. Ví dụ: Giải các bất phơng trình
b
1
)
2
2 3
x
x x


> 1

2
( 2)( 3)x x


> 0
Nhận xét: vì (- 2) < 0 (x- 2)(x - 3) < 0 2 < x< 3
b
2
) 3x
2
- 10x - 8 > 0
(3x+ 2)( x- 4) > 0
Ta lập bảng xét dấu tích .Kết quả x <
2
3

hoặc x > 4 .

2
+n
3
)
chia hết cho 6 .
Ta có 2n+3n
2
+n
3
= n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp,vì vậy
có ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho 3 mà
(2;3)=1 nên tích này chia hết cho 6.Vậy

n thì
2 3
3 2 6
n n n
+ +
là số
nguyên.
5. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
a)Đờng lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức
A
2
+ m , A
2
- m ,A
2
+B
2


x.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức
A(x,y) = 2005 + x
2
+ 15 y
2
+ xy

+ 8x + y
(Tơng tự :B = x
2
+y
2
+xy - x- y )
Ta có : A(x,y) = 2005 + x
2
+ 15 y
2
+ xy

+ 8x + y
= (x
2
+
1
4
y
2
+16+xy+8x+4y) + (

59
4
(y-
6
59
)
2
+
117342
59

117342
59
Vì (x+
1
2
y+4)
2
0 ,
59
4
(y-
6
59
)
2
0.Dấu " =" xảy ra

239
1

59
Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tơng tự .
Kết luận
Trên đây là 5 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân
tử.Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn có một số bài tập khác cũng
vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với những bài tập vận
dụng này đã giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp
giải bài toán nhanh hơn,thông minh hơn.Đờng lối giải những bài tập này
là học sinh biết vận dụng phơng pháp tích hợp để giải.Giáo viên hãy tác
động đến từng đối tợng sao cho phù hợp nh với học sinh trung bình cần
gợi ý tỉ mỷ, học sinh khá -giỏi nên ra nét cơ bản hớng dẫn giải theo con đ-
ờng ngắn nhất.Có nh vậy học sinh sẽ hoạt động tích cực hơn, phát huy đợc
t duy-trí tuệ của mình.
Qua các bài tập vận dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử học
sinh đợc rèn luyện - củng cố t duy tổng hợp.
Thử nghiệm s phạm
c . Kết luận chung
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng
trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp tới các phơng pháp khác tạo
lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có
hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích.
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác,
năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Trong năm học qua tối đa đã vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá
trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn
biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích đa thức tử và mẫu của các phân
thức rất quan trọng, nó không những giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu
có thể ) mà còn giúp việc tìm tập xác định mà còn tìm mẫu thức chung