A/ ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thời đại ngày nay cùng với công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất
nước, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão đòi hỏi con người
phải phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy toán học.
Vì vậy ngoài việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản phổ thông thì việc
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn Toán đang trở thành nhu cầu bức thiết của phong
trào giáo dục ở địa phương. Đặc biệt với học sinh trung học cơ sở việc trang bị
những kiến thức cơ bản, có đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy toán học cho học
sinh sẽ tạo ra nền tảng tin cậy để các em tiếp tục học tiếp môn Toán ở bậc trung
học phổ thông hoặc tiếp tục tự học về sau.
Trong chương trình đại số cuối lớp 7 và lớp 8 những kiến thức về đa thức chiếm
một phần không nhỏ và có nhiều dạng toán như chứng minh tính chia hết, tìm dư,
tìm nghiệm của đa thức . Nếu như chỉ có kiến thức sách giáo khoa thì những bài
toán đó học sinh khó có thể làm được. Do đó từ kiến thức cơ bản trong sách giáo
khoa, giáo viên phải khai thác, nâng cao và phát triển thì học sinh mới có thể áp
dụng vào giải toán được. Do vậy với kinh nghiệm của bản thân, tôi viết chuyên đề:
“Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức ” để từ đó các em
có thể làm được các bài toán xác định hệ số của đa thức, chứng minh sự tồn tại của
đa thức, xác định dạng của đa thức….
1
B/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I - Lý thuyết cơ bản về phép chia hết
1.Định nghĩa: Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng:
f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + … + a1x + a0
Trong đó các hệ số an, an - 1,…, a0 là những số nguyên (hoặc hữu tỷ…) và an 
0, ký hiệu của bậc đa thức là deg f(x) = n.
2.Định lý về phép chia:
Với hai đa thức tuỳ ý f(x) và g(x) 0 luôn t ồn tại duy nhất cặp đa thức q(x) và
r(x) sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x)
Trong đó r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x), (r(x) gọi là đa thức dư trong phép chia

+ d k - 1 ) = (xm - am )(xm (k-1) + xm(k-2)am + …+ xmam(k-2) +
am(k - 1))
xn - an xm - am (   đpcm)
Chứng minh điều kiện cần ( )
Giả sử xn - an xm - am v à n = mk + r (0 r < m )
Thì xn - an = xmk + r - amk + r = xr (xmk - amk) + amk (xr - ar)
Vì xmk - amk xm - am nên amk (xr - ar) xm - am 
Vì 0 r < m amk (xr - ar) = 0 v  ới x
xr = ar v ới x
r = 0 
Vậy n m (  đpcm)
Bài tập tương tự:
3
1-Tìm a, b để f(x) = x2 + ax + b (x + 1)2
2- Tìm a, b, c để x4 + ax2 + bx + c (x - 2)3
3- Chứng minh rằng xn - 1 xm - 1 n m  
Phương pháp 2 : Sử dụng phép đồng nhất
f(x) = anxn + an - 1xn - 1+ … + a1x1 + a0
g(x) = bnxn + bn - 1xn - 1 + … + b1x + b0
f(x) g(x) an = bn , an - 1;   …; a1 = b1; a0 = b0
Bài 1: Xác định các số a, b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức
x2 + x + 2
Hướng dẫn: đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương là một đa
thức bậc nhất, hạng tử cao nhất là: x3 : x2 = x. Vậy đa thức thương có dạng x + c.
Lời giải:
Gọi thương số của phép chia là x + c, ta có:
x3 + ax + b = (x2 + x + 2)(x +c)
x3 + ax + b = x3 + (c+1)x2 + (c +2)x + 2c
 
Vậy với a =1 , b = -2 , c = -1thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức

f(a) = 0.q(a) + r hay f(a) = r (đpcm)
Từ định lý ta suy ra f(x) (x - a) f(a) = 0 
Bài 1:
5
Xác định a để đa thức f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2.
HD: f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 khi nào ?
TL: Khi f(2) = 0.
Giải. Ta có: f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 f(2) = 0.
23 + 2.2 + a = 0 8 + 4 + a = 0 a = -12.  
Bài 2:
Xác định các hệ số a và b để đa thức f(x) = x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x
- 2.
HD: - Bài toán này sử dụng 2 phương pháp trên có làm được không ?
- Có cách làm nào khác không ?
- Có thể sử dụng định lí Bơdu để làm bài toán này được không ?
Giải.
Ta có : x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
f(x) x2 + x - 2 hay f(x) (x - 1)(x +2) 
  
Bài 2:
Tìm hệ số a, b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + bx + 1 chia hết cho x2 - 4 x + 3.
Giải.
Ta có: x2 - 4 x + 3 = (x - 1)(x - 3)
f(x) x2 - 4 x + 3
hay f(x) (x - 1)(x - 3)    
* Yêu cầu các em trình bày theo 2 phương pháp trên rồi so sánh .
Bài 3:
Xác định m để x2 - y2 - z2 + myz chia hết cho x + y + z.
Nhận xét: Học sinh rất lúng túng vì nếu sử dụng cách chia trực tiếp thì thật khó
khăn, vậy muốn sử dụng định lý Bơdu ta làm thế nào?

Ta có: x3m - 1 = (x3)m - 1 x3 - 1 x2 + x + 1 
Tương tự x3n - 1 ; x3p - 1 đều chia hết cho x2 + x + 1
Và x2 + x + 1 x2 + x + 1 x3m + x3n + 1+ x3p + 2 x2 + x + 1 (    đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng
x9999 + x8888 + … + x1111 + 1 x9 + x8 +  … + x + 1
Tương tự như phương pháp của bài 1 các em làm được ngay.
Ta có: x9999 + x8888 + … + x1111 + 1
= x9(x9990 - 1) + x8(x8880 - 1) + … + x(x1110 - 1)+ (x9 + x8 + … + x + 1)

(x9 + x8 + … + x + 1)
Tổng quát: Vì x iii0 1 = (x10) iii - 1 (x10 - 1) x9 + x8 +   … + x + 1
(Với i = 1,2,…, 9)
Với loại bài toán này học sinh luôn phải có kỹ năng thêm bớt để sử dụng linh hoạt
các hằng đẳng thức. Muốn vậy học sinh phải tự làm thêm các bài tập sau:
Bài tập tương tự:
1- Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
2- Chứng minh rằng: x2004 + x2005 + x2006 chia hết cho x2 + x + 1
3- Với giá trị nào của n thì đa thức x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1 .
Phương pháp 2: Dùng tính chất sau :
8
Với f(x) là đa thức với hệ số nguyên, ký hiệu f(x) Z(x) ; a, b l à các số nguyên ta
luôn có: f(a) - f(b) a - b
Chứng minh:
Giả sử f(x) = an xn + an - 1 xn - 1+ … + a1x + a0
ai Z (y = 0; 1;2; 3;  …; n)
Khi đó: f(a) - f(b) = an(an - bn) + an - 1(an - 1- bn - 1) + … + a1(a - b) a -
b (đpcm)
Bài 1: Chứng minh rằng không có đa thức f(x) nào có hệ số nguyên thoả mãn f(3)
= 8 và f(10) = 11
Lời giải:

I- Kết quả
Sau khi dạy xong chuyên đề “ Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết
của đa thức” cho học sinh, các em không những biết cách giải những bài toán liên
quan đến chia hết đa thức mà các em còn giải được bài toán ở nhiều khía cạnh như
xác định đa thức, tìm đa thức dư trong phép chia đa thức …. Thông qua đó các em
có cách nhìn linh hoạt một bài toán giúp các em phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em
thể hiện rõ sự yêu thích môn toán sau khi học xong.
Kết quả khảo sát cho thấy như sau:
10
Trước khi luyện Sau khi luyện
Phát hiện được dạng toán45% 89%
Kỹ năng vận dụng linh hoạt 30% 80%
Trình bày bài 20% 70%
II- Bài học kinh nghiệm
Sau khi dạy xong phần này tôi rút ra và tích luỹ một số kinh nghiệm sau:
a-Trong quá trình giảng dạy môn toán việc hệ thống kiến thức và bài tập theo từng
vấn đề để giúp học sinh dễ tiếp thu là rất cần thiết.
b-Muốn dạy một vấn đề gì đó để đạt hiệu quả cao thì đòi hỏi bản thân mỗi giáo
viên hiểu đúng bản chất của vấn đề đó từ đó mới phát triển, tổng quát… và có thể
thay đổi đề bài theo các hướng khác nhau mà vẫn đúng bản chất của nó.
c-Phải thật chú ý đến khâu trình bày của học sinh, nhiều khi các em hiểu vấn
đề nhưng khi trình bày lại bị lúng túng.
III- Phạm vi áp dụng
Kinh nghiệm này tôi áp dụng với đối tượng học sinh khá giỏi lớp 8, đặc biệt kinh
nghiệm này có tác dụng rất cao trong việc dạy bồi dưỡng Đội tuyển học sinh giỏi.
IV. Kết luận chung
Trên đây là kinh nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy chuyên đề: “Một số phương
pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức ”. Chuyên đề này là chuyên đề khó
và rộng nên mỗi phương pháp tôi mới chỉ đưa vào một số bài tập cơ bản để rèn kỹ
năng cho học sinh. Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích cho việc bồi dưỡng