40

TRẦN ĐÌNH CƯ
(GV Trường THPT Gia Hội, Huế)

ác bài toán giải tích là một dạng toán điển
hình thường gặp trong các kì thi giải toán
trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc
gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn
tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin
được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là
những đề thi của các Sở GD–ĐT trong
những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng
tôi đều tiến hành các thao tác trên máy
tính VINACAL 570ES PLUS II,
CASIO
f
x
−

570 ,VN PLUS hai dòng máy có nhiều tính
năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang
vào phòng thi.
I. TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ
• Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0

0
x
, sau đó ấn phím .
 Thí dụ 1. Tính giới hạn
56
0
121
lim
x
xx
A
x
→
+
−+
=
.
Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II) Ta thực
hiện theo quy trình bấm phím sau: . Ta được
kết quả
0,1333333333
≈
−
x
. Để đổi số thập
phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta ấn
phím như sau

Ta được kết quả
0,1333333333.
A
≈
− 
Thí dụ 2. Cho hàm số
()
3
()
2ln 1
x
e
fx
xx x
2
=
+
++
.
Tính giá trị gần đúng của
()
1
'1 '
2
Sf f
⎛
⎞


()
3
2
1
d
d
2ln 1
X
x
X
e
C
x
XX X
=
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
++ +
⎝⎠

ấn tiếp
. Rồi ấn liên tiếp dấu
đến khi
10=X
thì trên màn hình xuất hiện
57, 7875854=−C . Để lấy kết quả với 4 chữ
số thập phân, ta tiếp tục ấn phím

f
xx=+.
Nhận thấy
"( ) 0fx>
với
(
)
0;x∀∈ +∞ nên
'( )
f
x có nhiều nhất một nghiệm thuộc
(
)
0;
+
∞
.
Do đó
()
f
x
có nhiều nhất hai nghiệm thuộc
(
)
0; +∞ .
Dùng chức năng
để giải phương trình:
Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn

.

ee
y
yx x
++
⎧
+− =
⎪
⎨
⎪
+−= −
⎩

Lời giải. Điều kiện 1>
x
, 0>
y
.
PT
33
(1) ln ln
xx yy
exe
y
++
⇔+=+ (3)
Xét hàm số
3
() ln
+
=+

x
y=
Thay
y = x vào PT (2), ta được

23
2517 1xx x
+
−= −
⇔
432
4292110500(*)xxxx−+−+=

Sử dụng chức năng
để giải PT (*)
bằng cách: ghi vào màn hình PT (*), sau đó
ấn liên tiếp
ta được
1
1, 550510257
≈
x , lưu x
1
vào ô nhớ A bằng
cách ấn tiếp phím
, để tìm nghiệm
thứ hai ta vẫn ghi lại vào màn hình PT(*) rồi
ấn
ta được
2

(
)
46;46,++(; )
xy
=
(
)
46;46−−.
III. CỰC TRỊ HÀM SỐ, ĐIỂM UỐN
VÀ TIỆM CẬN
Thí dụ 5. Cho hàm số
432
() ,
f
xaxbxcxdxe
=
++++

(
)
0a ≠
thoả mãn
35
(0) ; (1) ;
42
ff==−
37

3
4
=
e . Vào chương trình
giải hệ 4 phương trình 4 ẩn bằng cách ẩn 42
, nhập các hệ số để tìm a, b, c, d. Ta tìm
được hàm số
42
173
()
424
=−+fx x x . Khảo
sát hàm số này ta tìm được

32323
0; ; 7; ; 7;
422
AB C
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−− −
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Vậy
()
1
., 32,4105

y
→−
= nên tiệm cận đứng 2.x =−
Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính
2
1||
238
lim
2
−
→±∞
⎛⎞
++
⎜⎟
+
⎜⎟
+
⎝⎠
x
x
xx
e
x
.
Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số

, màn hình hiển thị
(
)
lim

999 999 999;−
999 999 999 999− ta cùng được giá trị
2=−y hay
1, 41421
y
≈−
. Vậy có hai tiệm
cận đứng là
2 1, 4142=± ≈±y
.
Thí dụ 7. Cho hàm số
y
2
2
253
31
xx
x
x
−
+
=
−+
.
Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số
đã cho.
Lời giải. TXĐ
=
\D .
Ta có

−+
.
Vào chương trình
để giải phương trình
bậc ba
32
13 21 6 3 0.xxx
−
−+=

1
2
3
1, 8005
'' 0 0, 2772
0, 4624
x
yx
x
≈
⎡
⎢
=⇔ ≈
⎢
≈−
⎣

l−u vµo « nhí A
l−u vµo « nhí B
l−u vµo « nhí C.

17
2
2012
yx x xx=− − +−

trên đoạn
3; 2
⎡
⎤
−
⎣
⎦
.
Lời giải. Đặt 3; 2
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
D
, và

3
432
2011
31
() 17 .
2
2012
=− − +−

)
2 3,1741;f ≈−

(
)
2
0, 9035fx ≈− ;
(
)
3
2, 7104.fx ≈−
Suy ra
3,1741 ( ) 3, 0579, .
−
≤≤ ∀∈
f
xxD
Do đó
0()3,1741≤≤fx .
Vậy
max ( ) 3,1741; min ( ) 0.
D
D
fx fx
≈
= 

43
V. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thí dụ 9. (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013)

3
sin 4 log (sin 2)
XX
eXX
+
++ rồi ấn các
phím
ta được kết
quả là
2, 516059996. Đưa giá trị này vào ô
nhớ
A
bằng cách ấn .
Vậy
2, 5161.
12
f
π
⎛⎞
≈
⎜⎟
⎝⎠

b) Ta có
(
)
';
12
af
π

A
B và ấn phím ta
được
0,1578 . Vậy 0,1578.b
≈

Thí dụ 10. (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011)
Cho hàm số
sin
() ( 0)
xxx
fx x x
++
=> (1).
Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
0
3x =
với đường thẳng
2012.
x
=
Lời giải.
Gọi
α
là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm
0
3x =
với chiều dương của trục Ox. Khi đó
0

π
−

b)
35
3
0
121
lim .
382 1
x
xx
xx
→
+− +
+
−+

2. Cho hàm số
2
2
2
13
()
log ( 1)
23
+
+
=+
+

2
2013 2014 2013 2014
31 83.
x
xx x
xy x xy
⎧
+= +
⎪
⎨
−+= −
⎪
⎩

5. Cho hàm số
42
41
=
−+yx x . Tính chu vi
tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
6. Cho hàm số
2
1
3
2
=
−−
x
yx

y
xbxcxd=+ ++

Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp
tuyến tại điểm
141
;
28
B
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
thuộc đồ thị hàm số
có hệ số góc bằng
15
.
4