DỰ ÁN DỰ THI CỦA GIÁO VIÊN
1. Tên dự án dạy học: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về tỷ lệ vàng.
2. Mục tiêu dạy học
a. Kiến thức
- Học sinh được tìm hiểu về tỷ lệ vàng thông qua kiến thức Toán học:
+ Dãy số Fibonacci.
+ Các dạng biểu diễn của tỷ lệ vàng.
+ Hình chữ nhật vàng.
- Học sinh có khả năng dùng tỷ lệ vàng trong Toán học để tìm hiểu tỷ lệ
vàng trong Sinh học:
+ Dãy số Fibonacci, tỷ lệ vàng và sự đâm chồi, mọc lá, số lượng
cánh hoa, sự sắp xếp cánh hoa và quả, hạt trong Sinh học 6.
+ Tỷ lệ vàng với cơ thể người trong Sinh học 8.
- Học sinh được tiếp cận tỷ lệ vàng áp dụng trong nghệ thuật và cuộc
sống.
b. Kĩ năng
- Học sinh có năng lực làm việc độc lập và sáng tạo giải quyết vấn đề để
thực hiện tốt các nhiệm vụ cá nhân.
- Phát triển năng lực hợp tác hoạt động theo nhóm, biết phân tích và đánh
giá thông tin, khắc phục sai lầm trong giải quyết tình huống của nhóm.
- Học sinh có khả năng giải quyết các tình huống thực tế liên quan đến tỷ
lệ vàng và liên hệ với các môn học khác như Mỹ thuật, Địa lý,
c. Thái độ
Giáo dục cho học sinh ý thức ham học hỏi, tìm tòi và biết vận dụng các
kiến thức liên môn để giải quyết các vấn đề trong thực tế.
3. Đối tượng dạy học của dự án
3.1. Đối tượng:
Học sinh trường THCS Sài Sơn.
4
Khối Lớp Số lượng
Số

dự án.
- Tổ chức dạy học theo chuyên đề cho từng nhóm đối tượng học sinh.
5
6.2. Phương pháp dạy học
- Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề.
- Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm.
- Ứng dụng CNTT và phương pháp dạy học hiện đại.
6.3. Các hoạt động dạy học
MỞ ĐẦU:
Mật mã Da Vinci (tiếng Anh: The Da Vinci Code) là một tiểu thuyết của
nhà văn người Mỹ Dan Brown được xuất bản năm 2003. Đây là một trong số
các quyển sách bán chạy nhất thế giới với trên 40 triệu quyển được bán ra (tính
đến tháng 3, 2006) và đã được dịch ra 44 ngôn ngữ.
Khi đọc tiểu thuyết Mật mã Da Vinci, chúng tôi rất tò mò và hứng thú,
xin được trích dẫn:
" Ông cảm thấy như đột nhiên quay về đại học Harward, đứng trong giờ
giảng Chữ nghĩa tượng trưng trong nghệ thuật của mình, viết con số ưa thích
lên bảng đen.
1,618
Langdon quay mặt về phía đám đông sinh viên đầy hào hứng: "Ai có thể
nói cho tôi biết con số này là gì?".
Một sinh viên chân dài chuyên ngành toán học ngồi ở phía sau giơ tay:
"Đó là số PHI". Cậu ta dài giọng ph-i-i.
"Tốt lắm Stettner", Langdon nói, "xin giới thiệu PHI với tất cả".
"Đừng có nhầm lẫn với PI", Stettner thêm vào rồi cười toét. Như cánh
toán học chúng tôi thích nói: "PHI hơn hẳn PI một con H".
Langdon cười nhưng dường như không ai hiểu câu nói đùa đó.
Stettner buồn thiu.
"Số PHI này". Langdon tiếp tục, "một-phấy-sáu-một-tám, là một con số
vô cùng quan trọng trong nghệ thuật. Ai có thể nói cho tôi biết tại sao?".

"Hoàn toàn có thể!". Langdon quặc lại, rồi mỉm cười chiếu một hình vỏ
ốc trên slide. "Bạn nhận ra cái này chứ?".
7
"Đó là một con ốc anh vũ", cô sinh viên sinh học nói. "Một loài nhuyễn
thể có vỏ cứng, có thể đẩy không khí vào trong vỏ để điều chỉnh độ nổi hay chìm
trong nước".
"Chính xác. Và bạn có thể đoán được tỉ số của mỗi đường kính vòng xoắn
này với đường kính vòng xoắn kế tiếp không?".
Cô gái có vẻ phân vân khi quan sát những vòng tròn đồng tâm trên vỏ xoắn của
con ốc anh vũ.
Langdon gật đầu: "PHI. Tỷ lệ thần thánh. Một-phẩy-sáu-một-tám trên
một".
Trông cô gái đầy vẻ kinh ngạc.
Langdon chuyển sang tấm slide tiếp theo - bản chụp cận cảnh một đầu
hạt hoa hướng dương: "Hạt hoa hướng dương có những vòng xoáy đối ngược
nhau. Bạn có thể đoán được tỉ số giữa đường kính vòng tròn này với đường kính
vòng trên kế tiếp không?".
"Là PHI?" Tất cả đồng thanh.
"Tuyệt". Bây giờ Langdon chiếu nhanh tất cả các tấm slide các đường
trôn ốc trên quả thông, cách sắp xếp lá trên những nhánh cây các vạch trên
bụng côn trùng, tất cá đều tuân theo Tỷ lệ thần thánh đến mức kinh ngạc.
"Thật kỳ lạ", ai đó reo lên.
"Phải", một người khác nói, "nhưng cái đó có liên quan gì đến nghệ
thuật?".
"Aha", Langdon reo lên, "rất vui vì bạn đã hỏi điều đó". Ông chiếu một
tấm slide khác - một tấm giấy da vàng nhạt có hình người đàn ông khoả thân
nổi tiếng của Leonardo Da Vinci Người Vitruvian được đặt tên theo Marcus
Vitruvius, kiến trúc sư lỗi lạc người La mã, người đã đánh giá rất cao Tỷ lệ thần
thánh trong một cuốn sách của ông mang tên Kiến trúc.
Không ai hiểu cấu trúc thần thánh của con người hơn Da Vinci. Thực tế

tự nhiên theo cách mà những tín đồ ngoại giáo vẫn làm, mà thậm chí không biết
thế. Ngày mồng một tháng năm là một thí dụ điển hình, ngày lễ tôn vinh mùa
xuân… Trái Đất hồi sinh để ban tặng sự hào phóng của mình. Ngay từ buổi sơ
9
khai, người ta đã viết về phép thuật bí ẩn cố hữu nơi Tỷ lệ thần thánh. Con
người chỉ đơn giản hoạt động theo những quy luật của tự nhiên, và bởi vì nghệ
thuật chính là nỗ lực của con người để bắt chước cho được vẻ đẹp từ bàn tay
Đấng Sáng Thế, các bạn có thể tướng tượng rằng chúng ta sẽ được tận mắt thấy
rất nhiều bằng chứng về Tỷ lệ thần thánh trong nghệ thuật học kỳ này".
Hơn một nửa giờ nữa trôi qua, Langdon cho đám sinh viên xem những
slide về các tác phẩm nghệ thuật của Michelangelo, Albrecht, Dyrer, Da Vinci
và nhiều người khác, để minh chứng sự áp dụng triệt để và đầy chủ ý của mỗi
nghệ sĩ đối với Tỷ lệ thần thánh trong bố cục mỗi tác phẩm của mình. Langdon
cũng chỉ rõ PHI trong các kích thước kiến trúc của đền Parthenon Hi lạp, của
các Kim tự tháp Ai cập, và thậm chí của cả toà nhà trụ sở của Liên hợp quốc tại
New York. PHI cũng xuất hiện trong cấu trúc tổ chức của các bản sonate của
Mozart, bản giao hướng số 5 của Beethoven, cũng như các tác phẩm của
Bartók, Debussy và Schubert. Số PHI, Langdon nói với sinh viên, thậm chí còn
được Stradivarius sử dụng để tính toán vị trí chính xác của những khe hình chữ,
khi ông tạo ra những cây đàn violon nổi tiếng của mình.
"Để khép lại". Langdon vừa nói vừa bước về phía chiếc bảng, "chúng ta
quay trở về với các biểu tượng". Ông vẽ năm đường giao nhau, tạo nên một
ngôi sao năm cánh: "Đây là một trong những hình ảnh đầy quyền năng nhất mà
các bạn sẽ thấy trong học kỳ này. Bình thường nó được biết đến như là một hình
sao năm cánh - hay pentacle như tổ tiên ta đã gọi - biểu tượng này được nhiều
nền văn hoá coi là linh thiêng và huyền bí. Có ai có thể nói cho tôi biết vì sao
lại thế không?".
Stettner, anh sinh viên khoa toán đó, lại giơ tay: "Bởi vì nếu thầy vẽ một
hình sao năm cánh, các đường thẳng sẽ tự chia nó thành những đoạn theo Tỷ lệ
thần thánh".

• Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
• Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh
sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
• Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
12
• Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có
2 đôi thỏ.
• Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi
thỏ.
• Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng
Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
• Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng
Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Cứ như thế ta sẽ có quy luật tính:
• Tháng Bảy: có 5 + 8 = 13 đôi thỏ.
• Tháng Tám: có 8 + 13 = 21 đôi thỏ.
• Tháng Chín: có 13 + 21 = 34 đôi thỏ.
• Tháng Mười: có 21 + 34 = 55 đôi thỏ.
• Tháng Mười một: có 34 + 55 = 89 đôi thỏ.
• Tháng Mười hai: có 55 + 89 = 144 đôi thỏ.
Vậy: Sau 1 năm sẽ có 144 đôi thỏ.
1.1.2. Nhiệm vụ 2: Dãy số Fibonacci
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Học sinh tự tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Cho dãy số: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
a/ Phát hiện quy luật các số hạng của dãy số trên.
b/ Tính số hạng số 20 của dãy.

11 144 89 1.617977528
12 233 144 1.618055556
13 377 233 1.618025751
14 610 377 1.618037135
15 987 610 1.618032787
16 1597 987 1.618034448
17 2584 1597 1.618033813
18 4181 2584 1.618034056
19 6765 4181 1.618033963
20 10946 6765 1.618033998
14
21 17711 10946 1.618033985
22 28657 17711 1.618033985
23 46368 28657 1.618033988
24 75025 46368 1.618033989
25 121393 75025 1.618033989
Tỷ lệ giữa hai số kế tiếp nhau trong dãy xấp xỉ 1.618, ví dụ như 5/3 =
1.666…, và 8/5 = 1.60.
Sau 40 số trong dãy, tỷ lệ này được tính chính xác đến 15 chữ số sau dấu
phẩy là: 1.618033988749895…
Như vậy nếu dãy Fibonacci đủ dài (các số hạng của dãy đủ lớn) thì tỷ lệ của
1 số hạng với số hạng liền trước nó luôn xấp xỉ bằng 1,618033988
Tỷ lệ đó được gọi là Tỷ lệ vàng (tiếng Latinh: sectio aurea), kí hiệu là: ϕ
1.1.3. Nhiệm vụ 3: Dạng liên phân số của tỷ lệ vàng
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh.
- Nội dung:
Người ta còn chỉ ra rằng số ϕ còn "đẹp" theo cách biểu diễn nó
dưới dạng liên phân số:
1

Trong thực tế chúng ta gặp rất nhiều đồ vật, trang thiết bị trong cuộc sống
có hình dạng hình chữ nhật. Cụ thể:
* Màn hình Tivi truyền thống: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng
là
4 : 3 = 1,(3)

* Khổ giấy A
4
: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
2 :1 1,4142
≈
16
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Điều đặc biệt của tờ giấy có kích thước này đó là nếu ta cắt đôi tờ giấy
theo chiều ngang, ta lại được 2 tờ giấy khác có kích thước 2 cạnh lại theo đúng
tỷ lệ này.
* Khổ sách giáo khoa: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
24 : 17 ≈ 1,41
* Màn hình Tivi thế hệ mới: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
16 : 9 = 1,(7)
Tuy nhiên, hình chữ nhật được coi là "đẹp" nhất là hình chữ nhật có tỷ lệ
kích thước giữa chiều dài và chiều rộng bằng tỷ lệ vàng. Nguyên nhân của sự
yêu thích đối với tỉ lệ vàng có thể là tính bất hợp lý của nó. Điều đó có nghĩa là
chính sự bất hợp lý này tạo ra sự khác biệt của nó đối với các tỉ lệ nhỏ của các số
nguyên khác (Ví dụ 2/3 hay 3/4 ), chính là điều mà sự thẩm mỹ cần. Tỉ lệ này đã
và đang được dùng để giảm bớt đi sự tròn trịa của các chiều dài sao cho không
có một sự đo đạc chính xác về trực quan để kiểm tra.
17
Hình chữ nhật có tỷ lệ kích thước giữa chiều dài và chiều rộng bằng tỷ lệ
vàng thì được gọi là hình chữ nhật vàng? Vậy thì tỷ lệ vàng được tính chính xác

b
ϕ
=
thì:
1
1
ϕ
ϕ
+ =
hay:

2 2
1
1 1 0(*)
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
+
= ⇔ = + ⇔ − − =
Ta tìm ϕ từ phương trình (*)
18
2 2 2
1 5 1 5
1 0 0 ( )
4 4 2 4
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− − = ⇔ − + − = ⇔ − =
1 5 1 5 1 5 1 5
2 4 2 2 2 2 2
ϕ ϕ ϕ

1
1
1
1
1
1
ϕ
= +
+
+
+
+O
Ngoài ra người ta còn tìm ra ϕ còn được biểu diễn dưới dạng liên căn bậc 2:
1 1 1 1 1
ϕ
= + + + + + +
1.2.2.4. Cách vẽ hình chữ nhật vàng:
Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có tỉ lệ chiều dài và chiều rộng bằng
φ và
1 5
2
ϕ
+
=
nên phân tích cụ thể như sau:
Vẽ một đoạn thẳng làm cạnh bé của hình chữ nhật có độ dài 1 đơn vị.
Như vậy: Độ dài cạnh lớn (chiều dài) sẽ bằng
1 5
2
ϕ

IF IE F 1 ( ) 1 ( ) IF
2 4 4 2 2
E= + = + = + = = ⇒ =
.
- Vẽ một đường tròn tâm I bán kính IF. Đường tròn này sẽ cắt tia BE tại
điểm C.
- Vẽ hình chữ nhật ABCD là hình chữ nhật vàng cần dựng.
1.2.2.5. Đường xoắn ốc vàng hay đường xoắn ốc Fibonacci:
Như ta đã biết số ϕ có tính chất:
1
1
ϕ
ϕ
+ =
hay:
1
1
ϕ
ϕ
= −
và các nhà
Toán học đã chứng minh được chỉ có số ϕ là số dương duy nhất có tính chất
này: nghịch đảo của nó bằng chính số đó trừ đi 1!
Từ tính chất đó ta thấy:
Nếu cắt hình chữ nhật vàng ABCD (AB < AD) thành hình vuông ABFE
và hình chữ nhật CDEF thì hình chữ nhật CDEF cũng là hình chữ nhật vàng. Cứ
tiếp tục như thế thì ta liên tiếp thu được các hình chữ nhật vàng.
20
A B
E

2.1.1.2. Tìm hiểu kiến thức về hoa
- Mẫu vật : Hoa hướng dương và một số loại hoa có số cánh khác nhau
- Các bộ phận chính của hoa: Đài, tràng, nhị, nhụy.
- Sự sắp xếp cánh hoa trên 1 bông: rời hay dính, các cánh hoa xếp tách rời
hay xếp thành các đường xoắn ốc.
- Nhị hoa: số lượng và cách sắp xếp
2.1.1.3. Kiến thức về quả
- Mẫu vật: Quả thông và 1 vài quả dứa có kích thước khác nhau.
2.1.2. Hoạt động 2: Giáo viên kiểm tra kiến thức các nhóm đối tượng thu thập
được thông qua phiếu báo cáo. Từ đó thống nhất lựa chọn những kiến thức cần
thiết phục vụ cho dự án.
22
2.1.2.1. Các kiểu xếp lá ở trên thân và cành
+ Nhận xét về cách bố trí của các lá ở mấu thân trên so với các lá ở mấu
thân dưới?
+ Cách bố trí của lá ở các mấu thân có lợi gì cho việc nhận ánh sáng của các
lá trên cây?
+ Có mấy kiểu xếp lá trên thân và cành? Đó là những kiểu nào?
2.1.2.2. Tìm hiểu kiến thức về hoa
- Mẫu vật : Hoa hướng dương và một số loại hoa có số cánh khác nhau
- Các bộ phận chính của hoa: Đài, tràng, nhị, nhụy.
- Sự sắp xếp cánh hoa trên 1 bông: rời hay dính, các cánh hoa xếp tách
rời hay xếp thành các đường xoắn ốc.
- Nhị hoa: số lượng và cách sắp xếp
2.1.2.3. Kiến thức về quả
- Mẫu vật: Quả thông và 1 vài quả dứa có kích thước khác nhau.
2.1.3. Hoạt động 3: Dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng với Sinh học 6
2.1.3.1. Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về φ và các mầm cây dưới kính hiển vi điện tử:
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh


2.1.3.3. Nhiệm vụ 3: Tìm hiểu về φ và sự mọc lá của cây
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh
- Nội dung:
Trong tự nhiên nhiều loài cây có cách mọc lá tuân theo các số Ficonacci.
Nếu chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không
che khuất lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và
25
nước mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc
theo lá, cành và thân cây.
Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống
dưới, lá sang lá đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp
chiếc lá mọc. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con
số vòng xoay khác ( ứng với cùng chừng ấy lá).
Kỳ lạ là con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta
gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau.
Quan sát cách mọc lá của một cây sau:
Trong ảnh cây trên , nếu chúng ta lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng
quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x),
hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8
lá. 3,5,8 là 3 số liên tiếp trong dãy Fibonacci.
Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới,
bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3,…
Ta sẽ thấy, mỗi chiếc lá liền kề cách nhau khoảng 222.5
0
, tức là chính xác
0,618 vòng tròn. 0,618 chính là 1/ φ.
Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,
rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13).

của giáo viên)
1. Em hãy đếm số lượng cánh của một số loài hoa sau: Hoa lan ý, hoa
hồng, hoa mẫu đơn, hoa cẩm chướng, hoa cúc vạn thọ, hoa dừa cạn, hoa giấy,
hoa loa kèn, hoa dạ yến thảo, hoa sứ, hoa bìm bìm, hoa dâm bụt, hoa xương
rồng, hoa ly.
2. Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa số lượng cánh hoa với số
Fibonacci trong dãy Fibonacci không?
3. Ép một số loại hoa có số lượng cánh là 1 trong các số Fibonacci sau: 0,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
- Nội dung:
27
+ Như vậy chúng ta thấy các số Fibonacci xuất hiện trong những bông
hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi
yến thường có 8 cánh, hoa vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa
cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
+ Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định, chẳng hạn
Hoa mao Lương. Tuy nhiên, cũng có những loài hoa có số lượng cánh hoa thay
đổi. Tuy nhiên, theo những nhà khoa học, những con số này luôn giao động
quanh một mốc trung bình là một số thuốc dãy Fibonacci.
- Ví dụ: Một số loài cây, số lượng cánh hoa là một số Fibonaccci như
sau:
+ 3 cánh: Hoa loa kèn, hoa Iris
+ 5 cánh: Hoa dâm bụt, hoa cẩm chướng, hoa hồng dại, phi yến, hoa sứ,
hoa đào…
+ 8 cánh: Hoa phi yến, hoa mai vàng
+ 13 cánh: Cúc vạn thọ, cỏ lưỡi chó, một số loài cúc
+ 21 cánh: Cúc tây, rau diếp xoăn
+ 34, 55, 89 cánh: Một số loài Cúc, hoa mã đề
- GV cho HS xem một số hình ảnh về các loài hoa có số lượng cánh là