Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG
VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương
trình Giải tích lớp 12. Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề
thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường
rất hay xuất hiện. Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy
nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử
dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1, Hàm số
,0 1
x
y a a= < ≠
đồng biến khi
1a >
và nghịch biến khi
0 1a< <
, tức là:
* Nếu
1a
>
thì
1 2
1 2
x x
x x a a> ⇔ >
.
* Nếu
0 1a< <
thì

0 1a< <
thì
1 2 1 2
0 log log
a a
x x x x> > ⇔ <
.
*
1 2 1 2
0 log log
a a
x x x x= > ⇔ =
.
II. Các ví du minh hoạ.
Thí dụ 1. Giải phương trình
2
2 3 1.
x
x
= +
Lời giải. Chia hai vế của phương trình cho
2
x
ta được:
3 1
1
2 2
x
x
 

 
 
= + < ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
.
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
Mặt khác
( )
2
2
3 1 3 1
2 1
2 2 4 4
f
 
 
= + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
. Vậy phương trình có nghiệm
1x
=
. Ta chứng


( )
2
17 12 2 3 2 2− = −
với
0 3 2 2 1< − <

( )
2
34 24 2 3 2 4− = −
với
0 3 2 4 1< − <
Phương trình đã cho trở thành
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4 1
x x x
− + − + − =
Xét hàm số
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4
x x x
f x = − + − + −
có

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2

2 2 2
1 2 1 2 2 1 1
1 2 .
2
x x x x
x x x x x
− − − +
 
− = = − = −
 ÷
 
Đưa phương trình đã cho về dạng

2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1 2
2 2 2 . 2 .
2 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − − −
 
− − − −
− = − ⇔ + = +
 ÷

x x
x x x x
f f x
x x x x
≠
− =
 
− − − −
 
= ⇔ = ⇔ ⇔ =
 ÷
 ÷
 
 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2x
=
.
Thí dụ 4. Giải phương trình
2 2 1
2 3 2 3 1
x x
x x
x
+
+ = + + +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng

2 2 1 2 2 1 1
2 3 2 2.2 3 1 2 3 2 2 3 1

, từ phương trình ta có
( ) ( )
f u f v u v= ⇔ =
và phương trình ban đầu
tương đương với
2 1 2 1 0.
x x
x x= + ⇔ − − =
Xét hàm số
( )
2 1
x
g x x= − −
có
( ) ( )
2
1 1
' 2 ln 2 1 ' 0 2 log
ln 2 ln 2
x x
g x g x x= − ⇒ = ⇔ = ⇔ =
Lại có
( )
lim 2 1
x
x
x
→+∞
− − = +∞
và

2
1
log
ln 2
)
(
2
1
log
ln 2
2 2
1 1
log 2 log 1 0
ln 2 ln 2
g
 
= − − <
 ÷
 
)
Căn cứ vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình
( )
0g x
=
chỉ có nhiều nhất là
hai nghiệm. Mặt khác
( ) ( )
0 1 0g g
= =
, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

= + > ∀ >
Vậy
( )
f x
là hàm số đồng biến, mặt khác
( )
2 3f =
nên
2x
=
là nghiệm duy nhất của
phương trình.
Thí dụ 6. Giải phương trình
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 3

3 2 0
x
x
x x
=−
=−

⇔ + + = ⇔

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm
1x
= −
hoặc
2x = −
.
Thí dụ 7. Giải phương trình
( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x
+ + − = −
Lời giải. Điều kiện
0x
>
Ta đưa phương trình về dạng
( )
2
2
2
3 3

.
Dấu bằng xảy ra khi
( )
2
1 1 1
1
2
1
x
x
x
x
− − =
+ =

⇔ =


Vậy phương trình có một nghiệm
1x
=
.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
sin
1, 3 cos .
x
x=
2 2
sin cos 2

)
(
)
7, 2 3 2 3 2 .
x x
x
− + + =
( )
3 7
8, log 2 log .x x+ =
( )
4 4
6 2
9, log log .x x x+ =
( )
2
3 2
10, log 3 13 log .x x x− − =
( )
6
log
2 6
11, log 3 log .
x
x x+ =
( ) ( ) ( )
2 3 4 5
12, log log 1 log 2 log 3 .x x x x+ + = + + +
( )
2