

Chuyªn ®Ò 1:
phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc
D¹ng tæng qu¸t:
PhÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc,®a thøc víi da thøc:
A(B+C) = A.B +A.C
( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
Cho biểu thức:
M =










+
-



a) Bằng cách đặt
=



A = 4

-5.4

+5.4

-5.4

+5.4-1
= 4

-(4+1).4

+(4+1).4

-(4+1)4

+ (4+1).4-1
= 4-1
= 3
Cách 2: Thay 5 bởi
+
, ta có:
A =


++++++
=
++


, bằng vế phải.
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
[ ]
}{
+
Với

+=++=
.
Bài tập 2:
a)Chứng minh rằng

++
chia hết cho 7
b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ
là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
Tính




















+++++++=++
Tổng quát:





+=+=+


Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x-y ; b) x

+y

; c)x

+y

.

+y

=(x+y)

-2xy = 9

-2.14 = 53
c) (x+y)

= x

+y

+3x

y+3xy

= x

+y

+3xy(x+y)
suy ra x

+y

=(x+y)

-3xy(x+y) =9


A = x

+ 9y

+ 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26
= ( x

- 10x + 25) + ( 9y

- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)

+ ( 3y-5)

+ 1
Vì (x-5)


0 (dấu = xảy ra

x=5 ); (3y-5)



0 (dấu = xảy ra

y=


) nên A


1x

- 5x +3 = 2( y 1)

- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y

- 2y + 1) 5y + 3 + 5
= 2y

- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
A = (2+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1)
B = 2

.
Giải:
Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc :
A = (2-1)(2+1)(2



= a

+ 3a

(b + c) + 3a(b + c)

+ (b + c) + a

-3a

(b +
c) + + a

- 3a

(b + c) + 3a(b + c)

- (b + c)

- 6a(b + c)

= 2a

Bài tập vận dụng:
A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
a) 127


) (19

+17

+ +3

+1

) ;
e)




++

Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
a) A =






; b) B = 263

+ 74.263 + 37

; C = 136


N biết
x

+ 2x + 4

- 2
+
+2 = 0.
B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2
(x+1)(x-1) (x
2
-1)(x
4
+x
2
+1)+(x
2
-1)
3
;
c) (a+b+c)
3

3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) 3(a
2
+b
2
) .
Tiết 9-10-11-12
Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân
*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
D
C
B
A
M
C
A
B

(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với
M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt
phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ
chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M.
Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không
thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm
M thì ABCM là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và
không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng
trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm
là đỉnh của một tứ giác lồi.
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa
mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là
điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác
ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC
thì có hai trờng hợp :

ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC).
H .2a
các ví dụ :
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các
cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng
độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ
thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một
tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD +
DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong

BCD)
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong

BAD)
Từ đó :

Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai
đờng chéo.
2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có
còn đúng không ? vì sao?
Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC +
CD.
Chứng minh rằng : AB < AC.
Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)
Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD
và BC. Chứng minh rằng :
PQ


+


+
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ


+
.
( đpcm)
Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.
Do đó ta chứng minh đợc rằng :
PQ


+
.
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai
định lí:
(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =

+
(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ


+

A
D
E
O
K
L
B
C
A
hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong
của tứ giác ABCD.
*) hình thang hình thang cân:
Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
Trong hình thang, hai cạnh song song là
hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối
trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =

+
hình thang cân

góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do
đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
O
E
D
H
C
B
A
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)
Nhng trong tam giác OKL, ta có :
OK + OL > LK (3)
Trong

DEO : EO + OD > ED (4)

AH =



= +
hay
AB + CD =2h.
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ
đờng phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví
dụ trên).
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.
Ví dụ 6 :
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
à
à

+ =
. Chứng minh
rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải :
a) Vẽ BH

CD, BK

AD. Ta có
ả

(vì cùng
bằng
ả


) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ
giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng
nhau(theo định nghĩa) hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho
rằng vì AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình
thang có hai cạnh bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.
Các bài tập vận dụnG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là
phân giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua
trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm
của cạnh bên kia.
Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung
điểm của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =


thì tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao

M
D
C
B
A
1. a) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình
thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ
hai.
2. a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.(h.9)
h.8 h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
nửa cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy
và bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :
Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn
thẳng nối trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng
nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
MN // AB // CD
CD AB
MN
2

=

ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác,
nối hai điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế
ta đã vẽ thêm trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đ-
ợc định lí đờng trung bình của tam giác để chứng minh.
P
Q
N
M
D
C
B
A
F
O
D
M
B
H
N
I
G
P
K
C
E
A
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng
trung bình của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán


=
.
Ta có : MP = +Q = QN
AB2 CD AB
2 2

=

AB CD AB
CD 2.AB
=
=
+) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB =
2.CD , chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng
trung bình thành ba phần bằng nhau.
Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo
của nó chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau.
*) Ví dụ 3 :
Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đ-
ờng thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng
độ dài ba đờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc
hạ từ trọng tâm tam giác xuống đờng thẳng d.
Giải :
Giả sử
ABC

có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O;
các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d. Ta

thuộc vào vị trí chọn điểm C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ
dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau :
A'HA = AEC (1)
B'FB = BEC (2)Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là
trung điểm của HF thì N cũng là
trung điểm của AB. MN cũng là
đờng trung bình của hình
thang
vuông AHFB nên
A'H + B'F
MN AB và MN =
2

.
Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE
nên
AE + BE AB
MN =
2 2
=
.
Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và
AB
MN =
2

thẳng xy để tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất.
Tiết 19 => 24
Chuyên đề 4: ( 6tiết)
phân tích đa thức thành nhân tử
*) Kiến thức cơ bản:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức .
2. Các phơng pháp thông thờng :
+) Phơng pháp đặt nhân tử chung
AB + AC AD = A(B+C-D).
+) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2
A
3


3A
2
B + 3AB
2



AC AD + BC BD = (C D )(A + B)
*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng,
hiệu hai lập phơng là :
A
n
B
n
= (A B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A
n-1
A
n-2
B +A
n-3
B
2



A
2
B
2
với k

N và A

B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập
thành bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một
hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng
tử.
a) Cách 1. x
2
-6x + 8 = x
2
2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)
(x- 4)
Cách 2. x

9x
2
+ 6x 8 = 9x
2
+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào
hằng đẳng thức :
mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b đợc tách thành
b
1
+ b
2
sao cho b
1
b
2
=ac .
Trong thực hành ta làm nh sau :
1. Tìm tích ac .
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách.

+4y -12 = y
2
+6y -2y -12 = y(y +6) 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x
2
+x
+6)(x
2
+x 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x 1)
Cách làm nh trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai

x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử
trong phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng

x
2
k thì k không là bình
phơng của số hữu tỉ.
Tam thức x
2
+x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong
phạm vi số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có

2
4.
Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phơng pháp tìm nghiệm
của đa thức. Ta nhắc lại

là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Nh vậy
nếu đa thức f
(x)
chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại
chú ý rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx + c, suy ra ac = -4, tức là a phải là ớc của -4. Tổng quát, trong đa
thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi. Ước của -4 là

1,

2,

4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của
đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của
đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Cách 1. x
3
+3x
2

+x+1+3x+3)
= (x-1)(x+2)
2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa
thức chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc
chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.
Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức
không có nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong
đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng


trong
đó p là ớc của hệ số tự do,q là ớc dơng của hệ số cao nhất. Nh vậy
nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là

1,



,

2
2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức
trên phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng :
(

x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :

cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta đợc
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3
Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân
tử), do đó a=1 hoặc a=2.
Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể
bằng

1,

3.

a) 5x(x -2y) + 2(2y x)
2
; b) 7x(y -4)
2
(4 y)
3
;
c) (x
2
+4y
2
-5)
2
16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)
2
+(a-b+c)
2
- 4b
2
.
f) a

y-y
2
x + x
2
z z
2
x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng
nhau hoặc đối nhau.
Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2
+ 1.
Bài tập 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)

Tiết 25-26-27-28
Chuyên đề 6 :
phơng pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)
Nếu có q Z sao cho a = bq
Thì ta nói:
a là bội của b hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b hoặc b chia hết a
Kí hiệu: a b
a b a = bq


M
M
b) Tính chất cơ bản của quan hệ chia hết trong Z
Với mọi a, b, c, m

Z :
1. a/ 0 (a

0)
2. 1/ a
3. a/ a (a

(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,
2

)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2

.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là
ƯCLN(a, b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên
điịnh lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, d r
0
, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a,
b).
Ví dụ :
Tìm ƯCLN(300, 105).
- Chia 300 cho 105, ta đợc d 90
- chia 105 cho 90, ta đợc d 15
- Chia 90 cho 15, ta đợc d 0

Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia
hết cho b.
ac b và (a, b) = 1 c bM M
*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia
hết cho tích a.b.
c a, c b và (a, b) = 1 c a.bM M M
II Phơng pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) ph ơng pháp 1 :
Để chng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trờng hợp về số
d khi chia n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
5M
Giải :
Xét mọi trờng hợp khi chia n
Z
cho 5, ta có số d là : r =
0, 1, 2.
a) r = 0
c) r =
2


M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5

+
+
M
a) Trong 2 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2
(chẵn) ;
b) Trong 3 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ;
c) Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k ;
*) Ph ơng pháp 2 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân
tích m ra thừa số : m = p.q
1) Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh :
A(n)
p và A(n) qM M
(Suy ra A(n)
p.q, M
theo định lí 5 về chia hết )
Ví dụ 4 :
a) Chứng minh rằng tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu.
Giải :
a) Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của chúng là :
A(n) = n(n + 1)(n + 2)

3
mà (3, 8) = 1 nên A(n)
M
3.8 = 24.
2) Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số :
A(n) = B(n). C(n)
và tìm cách chứng minh
B(n) p và C(n) qM M
suy ra B(n).C(n)
M
p. q
Bài tập :
Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trờng hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
*) Ph ơng pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng
của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
Chứng minh rằng lập phơng của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi
13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Giải :
Ta phải chứng mhinh :
A(n) = n
3
13n
M
6
Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n
M
6, ta biến đổi A(n) thành

3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
= 3n
3
+ 9n
2
+ 15n + 9
= 3n
3
-3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3n(n 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n
2
n, n 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết
cho 3, vậy :
B = 3n(n 1)(n + 1)
M
9
C = 18n + 9n
2
+9
M
9
A = B +C mà B
M
9, C

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n :
a) n
3
n + 4 không chia hết cho 3 ;
b) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49 ;
c) n
2
+ 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Ph ơng pháp 4 :
Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n)
thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
A(n) = m . B(n)
Thờng phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng
đẳng thức (9), (10) và (11) ta có :
a
n
b
n
chia hết cho a b (a

b) với n bất kì
a
n
b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n chẵn ( n = 2k)

Giải :
2
4n
1 = (2
4
)
n
1
n
= (2
4
1)[(2
4
)
n

1
+ + 1] = 15 . M
Vậy : (2
4n
1)
M
15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :
A = 7
1
+ 7
2
+ + 7

$

*

$*

+$

*,$*$**+$
-./+./.,./../,./.
-
0
+-
0+
,-
0
-

+,-
0
-+-

-+
3!"#$%&!'&14$%!5$%(6$%*!7-
7$89$:4(&
;5<0,*=,>1?89&
/0123 !!"!#$%!&$'()
-

,-


.

8!"#$%&!'&$!9:$!;<.!=$%*,
@0A$%(AB&