1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1 Không gian Hilbert và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đạo hàm Frechet và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 9
Chương 2: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình
parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Khái niệm về đánh giá ổn định và các ví dụ minh họa . . . . . . . .12
2.3 Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
LỜI NÓI ĐẦU
Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không
chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài
toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số
hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc
chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh
khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho
phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương
trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện biên
thuần nhất ([5]). Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L
2
, rất
ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác. Với mục đích nghiên cứu về
các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời
gian, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức,
chúng tôi đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài:"Các kết

, u
1
− u
2
  0, ∀t ∈ [0, T ]
còn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f(t, w
1
) −f(t, w
2
)  kw
1
− w
2

với hằng số k  0 không phụ thuộc vào t, w
1
,và w
2
.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy
cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán-trường Đại học Vinh cùng với gia
đình và bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS.
Nguyễn Văn Đức -người đã dành cho tác giả sự quan tâm giũp đỡ tận
tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến khoa Toán, khoa Sau đại
học, các thầy cô trong tổ Giải tích -khoa Toán - Đại học Vinh đã giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn.
Không gian tuyến tính, định chuẩn, đầy đủ được gọi là không gian
Banach.
1.1.3 Định nghĩa. ([1]) Cho H là không gian tuyến tính thực.
Ánh xạ ., . : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu
(i)u, v = v, u, ∀u, v ∈ H;
(ii)ánh xạ u → u, v là tuyến tính với ∀v ∈ H;
(iii)u, u  0;
(iv)u, u = 0 ⇔ u = 0.
Không gian Banach với chuẩn được sinh ra bởi một tích vô hướng được
gọi là không gian Hilbert.
1.1.4 Bổ đề. ([1])(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Giả sử H là không
gian Hilbert, khi đó
u, v  uv, ∀u, v ∈ H.
1.1.5 Định lý. ([1]) Nếu H là không gian Hilbert thì tích vô hướng trên
H là ánh xạ liên tục: H × H → K, nghĩa là nếu (u
n
, v
n
) ⊂ H × H mà
(u
n
, v
n
) → (u, v) ∈ H × H thì u
n
, v
n
 → u, v.

={u ∈ H: u⊥G được gọi là phần bù trực giao.
1.1.10 Định lý. ([1]) G
⊥
là không gian con đóng của H.
1.1.11 Định lý. ([1]) Nếu H là không gian định chuẩn mà chuẩn trên H
thỏa mãn đẳng thức bình hành thì tồn tại một tích vô hướng trên H sao
cho chuẩn sinh bởi tích vô hướng trùng với chuẩn ban đầu trên H.
1.1.12 Định nghĩa. ([1]) Cho X và Y là các không gian Banach thực.
(i) Ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R.
(ii) Toán tử tuyến tính A : X → Y được goi là bị chặn nếu
A := sup{Au
Y
|u
X
 1} < ∞.
1.1.13 Định nghĩa. ([1]) Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng
., ..
(i)Ta kí hiệu L(H) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H
vào H. Với mọi A ∈ L(H) , B ∈ L(H) được gọi là toán tử liên hợp của
A nếu
Au, v = u, Bv, ∀u, v ∈ H.
Trong trường hợp này, ta kí hiệu B = A
∗
.
(ii) A được gọi là tự liên hợp nếu A
∗
= A.
1.1.14 Định lý. Giả sử A : H → H là toán tử tự liên hợp, khi đó
(i) giá trị riêng của A là số thực;

của A hoặc A được gọi là cái thu hẹp của B nếu G(A) ⊂ G(B). Khi đó
ta kí hiệu : A ⊂ B.
1.1.16 Bổ đề. Nếu A là một toán tử xác định trù mật từ H vào G. Khi
đó có các kết luận sau
1) D(A
∗
) := {y ∈ G : x −→ Ax, y là liên tục trên D(A)} là một
không gian con tuyến tính của G.
2) Với mỗi y ∈ D(A
∗
) thì có duy nhất A
∗
y ∈ H với Ax, y = x, A
∗
y
với mọi x ∈ D(A).
3) A
∗
: D(A
∗
) → H là tuyến tính.
1.1.17 Định nghĩa. Nếu A là toán tử xác định trù mật từ H vào G thì
toán tử A
∗
từ G vào H thỏa mãn
Au, v = u, A
∗
v, ∀u, v ∈ H
8
được gọi là toán tử liên hợp của A. Nếu A ∈ L(H, H) và A

2) A
∗
là xác định trù mật khi và chỉ khi A đóng hóa được.
3) Nếu A đóng hóa được thì A = (A
∗
)
∗
= A
∗∗
.
1.1.21 Hệ quả. Nếu A là toán tử đóng, xác định trù mật từ H vào G
thì A
∗
là đóng, xác định trù mật và A = A
∗∗
.
1.1.22 Định nghĩa. Cho A là một toán tử đơn ánh từ H vào G. Khi
đó, toán tử A
−1
từ G vào H xác định trên D(A
−1
) := R(A), được gọi là
toán tử nghịch đảo của A.
1.1.23 Nhận xét. Với A là toán tử đơn ánh, ta có
G(A
−1
) = {(y, A
−1
y) : y ∈ D(A
−1


[ϕ]h

= 0.
F

[ϕ] được gọi là đạo hàm Frechet của F tại ϕ. F được gọi là khả vi
Frechet nếu nó khả vi Frechet tại mọi ϕ ∈ U.
F được gọi là khả vi liên tục nếu F khả vi và F

: U → L(X, Y ) liên
tục.
1.2.2 Định lý. ([11]) Giả sử F : U ⊂ X → Y khả vi Frechet và Z là
không gian định chuẩn. Khi đó:
1. Đạo hàm Frechet của F xác định duy nhất.
2. Nếu G : U → Y khả vi Frechet thì αF + βG khả vi Frechet với
∀α, β ∈ K và
(αF + βG)

[ϕ] = αF

[ϕ] + βG

[ϕ], ϕ ∈ U.
3. Nếu G : Y → Z khả vi Frechet thì G ◦F : U → Z khả vi Frechet và
(G ◦F )

[ϕ] = G

[F (ϕ)]F

∈ Y.
5. Giả sử X, Y là các không gian Banach và U ⊂ L(X, Y ) là toán tử
ngược bị chặn khác rỗng. Khi đó, ánh xạ inv : U → L(X, Y ) xác định bởi
inv(T ) := T
−1
khả vi Frechet và
inv

[T ]H = −T
−1
HT
−1
10
với T ∈ U và H ∈ L(X, Y ).
CHƯƠNG 2
CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC TỰA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tôi đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian

u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T,
u(T ) − ϕ  
với ràng buộc u
i
(0)  E, i=1,2; E,  là các số thực dương, E > , trong
đó A(t, u) là hàm thỏa mãn điều kiện
A(t, u
1

u
1
(t) −u
2
(t)  c(t)
ν(t)
E
1−ν(t)
.
2.1 Giới thiệu bài toán
Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng ., . và chuẩn.. Giả sử
ϕ ∈ H,  là một số dương và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f(t, w
1
) −f(t, w
2
)  kw
1
− w
2

11
12
với hằng số k  0 không phụ thuộc vào t, w
1
và w
2
. Xét phương trình
parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian


u
X
 ω(f
Y
).
13
Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([7]) và trong trường hợp
này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa
Tikhonov ([10]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào
năm 1943 ([12])). Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài
toán có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn
(nhiệt độ hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội, ), hoặc
đó là một tập lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu, Nếu
ω(t) = ct
α
với α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta
có một "bài toán tốt". Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh
giá ổn định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có
một đánh giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một
"bài toán rất xấu".
Trước khi trình bày một ví dụ về đánh giá ổn định cho phương trình
parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert, chúng tôi trình bài
khái niệm hàm lồi, hàm lồi logarithmic (xem [6]).
Điều kiện để hàm f(t) là một hàm lồi của t trên đoạn [t
1
; t
2
] là
f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1

(s)ds ≥ f

(t)(t −t
2
), t ∈ (t
1
, t
2
).
Từ đó đạt được
f(t) ≤

t
2
− t
t
2
− t
1

f(t
1
) +

t −t
1
t
2
− t
1


t
2
− t
t
2
− t
1

ln F (t
1
) +

t −t
1
t
2
− t
1

ln F (t
2
). (2.4)
Do đó
F (t) ≤ [F(t
1
)]

t
2

2
≥ −k
1
F F

− k
2
F
2
. (2.7)
Trong đó k, k
1
, k
2
là các hằng số và F > 0 trên đoạn [0, t]. Từ (1.5) ta có
d
2
dt
2
[ln(F.e
kt
2
2
] ≥ 0. (2.8)
Từ (2.7) ta có
d
2
dδ
2
[ln(F (δ).δ

1

ln F (t
2
) +
1
2
k(t − t
1
)(t
2
− t).
Điều này kéo theo
F (t) ≤ exp

1
2
k(t − t
1
)(t
2
− t)

[F (t
1
]

t
2
−t


δ
2
− δ
δ
2
− δ
1

ln[F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1
] +

δ −δ
1
δ
2
− δ
1

ln[F (δ
1
).δ

1
[F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1
]
δ−δ
1
δ
2
−δ
1
, (2.11)
với δ ∈ [δ
1
, δ
2
] và δ
1
= e
−k
1
t
, δ
2

1
(t) −u
2
(t). Khi đó, ta đạt được
z(t) ≤ 2
t
T
E
1−
t
T
.
Chứng minh. Do z(t) = u
1
(t)−u
2
(t) nên z(t) là nghiệm của phương trình
z
t
+ Az = 0, 0 < t < T. (2.13)
Đặt F(t) = z(t)
2
= z(t), z(t), ∀t ∈ [0, T ]. Ta có
f

(t) = z
t
, z(t) + z(t), z
t
 = 2z

2
. Áp dụng bất
đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
(Az, z)
2
≤ z(t)
2
Az
2
. (2.16)
Từ (2.14), (2.15) và (2.16) ta có
f(t)f”(t) − (f

(t))
2
≥ 0. (2.17)
Giả sử ∃t
0
∈ [0, T ] sao cho f(t
0
) = 0. Do A xác định dương nên từ (2.14)
ta có f

(t) ≤ 0, ∀t ∈ [t
0
, T ] nên f(t) là hàm giảm. Vì vậy f(t) = 0, ∀t ∈
[t
0
, T ]. Đặt g(t) = z(t), z(T −t), ∀t ∈ [0, t
0

2
)
2
= g(
t
0
2
) = g(t
0
) = 0.
Lặp lại quá trình trên ta có g(
t
0
4
) = 0, , g(
t
0
2
n
) = 0. Từ đó suy ra g(0) =
lim
n→∞
g(
t
0
2
n
) = 0. Vì vậy z(0)
2
= g(0) = 0 ⇒ z(0) = 0. Điều này

T

h(0) +
t
T
h(T )
⇒ lnf(t) ≤

1 −
t
T

ln f(0) +
t
T
ln f(T )
⇒ f(t) ≤ (f(0))
(
1−
t
T
)
(f(T ))
t
T
⇒ z(t)
2
≤ z(0)
2(1−
t

(T ) − ϕ + ϕ − u
2
(T )
≤ u
1
(T ) − ϕ+ u
2
(T ) − ϕ ≤ 2.
Từ (2.19) ta có
z(t) ≤ 2
t
T
E
1−
t
T
.
Định lí được chứng minh.
b) Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số
phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert.
2.2.2 Định lý. ([9]) Giả sử rằng,
(i) A(t) là toán tử tự liên hợp với mỗi t ∈ [0, T ] và u(t) thuộc miền
xác định của A(t).
(ii) Tồn tại các hằng số k, c sao cho với u(t) là nghiệm của
Lu =
du
dt
+ A(t)u = 0, 0  t  T, (2.20)
thì ta có bất đẳng thức
−

(τ)dτ

, a
3
(t) =

t
0
a
2
(ξ)dξ,
ν(t) =
a
3
(t)
a
3
(T )
. (2.23)
Khi đó, nghiệm u(t) của phương trình (2.20) thỏa mãn đánh giá sau với
mọi t ∈ [0, T ],
u(t) ≤ e
kt−kT ν(t)
u(T )
ν(t)
u(0)
1−ν(t)
. (2.24)
Chứng minh. Đặt v(t) = e
−kt

= 4k A(t)v, v + 4A(t)v
2
− 2a
1
(t) (A + k)v(t), v(t) −2k ˙q
= 4A(t)v
2
+ 4k A(t)v, v −2k (−2 A(t)v, v − 2k v, v) + a
1
(t) ˙q
= 4

A(t)v
2
+ 2k A(t)v, v + k
2
v
2

+ a
1
(t) ˙q
= 4(A(t) + k)v
2
+ a
1
(t) ˙q. (2.26)
19
Từ (2.26), chúng ta đạt được
q¨q ≥ 4(A(t) + k)v

a
3
(T )
g
ν
(T ν(t)), (2.29)
¨q(t) = T
a
1
(t)a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t)) + T
2

a
2
(t)
a
3
(T )
)
2
g
νν

1
(t)g(T ν(t))
a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t))
+

T
a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t))

2
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.31)
Từ (2.31), ta thu được bất đẳng thức
g
νν
(T ν(t))g(T ν(t))  (g

−kt
v(t), nên với mọi t ∈ [0, T ] ta có
u(t) ≤ e
kt−kT ν(t)
u(T )
ν(t)
u(0)
1−ν(t)
.
Định lý được chứng minh.
2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian
Trong phần này, chúng tôi đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian. Cụ thể, chúng ta có
2.3.1 Bổ đề. Nếu h là một hàm khả tích Riemann và tăng ngặt trên [0,1].
Khi đó
t
1

0
h(s)ds 
t

0
h(s)ds,
∀t ∈ [0, 1].
Chứng minh. Khẳng định của bổ đề đúng nếu t = 0. Trong trường hợp
t = 0, ta xét hàm
q(t) =
t

) =
p(t) −p(0)
t
=
p(t)
t
.
Từ đó ta có
p(t) = tp

(t
0
) = th(0) < th(t).
Khi đó
th(t) −
t

0
h(s)ds = th(t) − p(t) > 0, ∀t ∈ (0, 1].
Hay
t
1

0
h(s)ds 
t

0
h(s)ds,
∀t ∈ [0, 1].

p(s)ds)dv(t), ∀t ∈ [0, T ].
Chúng ta có
q
v
=
t

0
p(s)ds.
22
Sử dụng Bổ đề 2.3.1, ta được
v(t)
1

0
q
v
dv(t) 
v(t)

0
q
v
dv(t).
Hay
v(t)

0
(
t

2.3.3 Bổ đề. Nếu a  b  0 và c ∈ R thì
2(a
2
− b
2
) −(a − b)c  −c
2
/8.
Chứng minh. Chúng ta có
a
2
− b
2
= (a − b)
2
+ 2(a − b)b  (a − b)
2
.
Khi đó
2(a
2
− b
2
) −(a − b)c +
1
8
c
2
 2(a − b)
2

23
2.3.5 Định lý. Nếu u
1
, u
2
là nghiệm của phương trình
u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T (2.38)
thì
(i) A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2
  0, ∀t ∈ [0, T ].
(ii) Tồn tại các hằng số c
1
, c
2
và c
3
sao cho

− A(t, u
2
u
2
u
1
− u
2

− c
2
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2

− c
3
u
1
− u
2

2
  2A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2

2
− c
1
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
u
2
u
1
− u
2

− (a
1
(t) −c
1

0
a
1
(τ)dτ


, a
3
(t) =
t

0
a
2
(ξ)dξ, ν(t) =
a
3
(t)
a
3
(T )
. (2.39)
iii) Các nghiệm u
1
, u
2
của (2.38) thoả mãn
u
i
(t) −ϕ  , u

24
Chứng minh. Đặt
z(t) = u
1
(t) −u
2
(t),
B(t)z = A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
,
D(t)z = f(t, u
1
) −f(t, u
2
).
Chúng ta có
z
t
+ B(t)z = D(t)z, 0  t  T, (2.42)
D(t)z  kz, (2.43)
B(t)z, z  0, (2.44)
−d
dt
B(t)z, z  2B(t)z

= −2
B(t)z, z
z
2
+ 2
D(t)z, z
z
2
. (2.46)
Từ ν(t) là liên tục và tăng ngặt trên [0,T] và ν(0) = 0, ν(T ) = 1, ta đặt
g(t) := h(ν
−1
(
t
T
)), ∀t ∈ [0, T ].
Khi đó
h(t) = g(T ν(t)), (2.47)
25
h

(t) = Tg
ν
ν
t
(t) = T
a
2
(t)
a

ν
(T ν(t))
g(T ν(t)
= −2c
5
B(t)z, z
z
2
a
2
(t)
+ 2c
5
D(t)z, z
z
2
a
2
(t)
. (2.50)
Đặt
Q(t) = −
B(t)z, z
z
2
1
a
2
(t)
= −

t

= (
−d
dt
B(t)z, z)z
2
− 2 B(t)z, z
2
+ 2 B(t)z, zD(t)z, z
 2(B(t)z
2
z
2
− B(t)z, z
2
) −c
1
(B(t)zz − B(t)z, z)z
2
− a
1
(t) B(t)z, zz
2
+ 2(kz
2
− D(t)z, z) B(t)z, z
− c
3
z

1
(t) B(t)z, zz
2
− c
3
z
4
. (2.54)