TIỂU LUẬN
PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN CHO
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH CẤP 2
Nhóm 8 - Lớp PP Toán sơ cấp K24
Mục lục
1 PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN 3
1.1 Hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Trường hợp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Trường hợp 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 7
2.1 Bài tập 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bài tập 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Bài tập 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Bài tập 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Bài tập 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Mở đầu
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật.
Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai
phân, tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau như
những hàm số của đối số nguyên. Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai. Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai về phương
trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành phần, nhưng do đặc thù của nó,
người ta thường xét và giải trực tiếp.
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là tổng của nghiệm phương trình sai

1.1 Hàm Grin
Xét phương trình sai phân
ax
n−1
+ bx
n
+ c
n+1
= f
n
(1.1.1)
hoặc
x
n+1
= px
n
+ qx
n−1
+ f
n
(1.1.2)
Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng
a + bλ + cλ
2
= 0 (1.1.3)
có môđun khác 1, tức là |λ
1
| = 1, |λ
2
| = 1, ta tìm nghiệm của (1.1.1) với vế phải f

II. aG
−1
+ bG
0
+ cG
1
= 1
III. aG
n−1
+ bG
n
+ cG
n+1
= 0 khi n ≥ 1
Bắt đầu từ trường hợp λ
1
= λ
2
. Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất có dạng
x
n
= αλ
n
1
+ βλ
n
2
Bởi vậy, mỗi nghiệm riêng G
n

n
2
khi n ≥ 0
với α

và β

là các hằng số thích hợp.
3
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
1.1.2 Các trường hợp
Vì λ
1
= λ
2
, |λ
1
| = 1, |λ
2
| = 1 nên có thể xảy ra các trường hợp sau:
1. |λ
1
| < 1, |λ
2
| > 1
2. |λ
1
| < 1, |λ
2
| < 1

2
, khi n ≤ 0
α

λ
n
1
, khi n ≥ 0
Khi n = 0 cả hai công thức cuối phải cho cùng một giá trị G
0
. Từ đây suy ra β

= α

. Chọn β

từ điều
kiện thỏa mãn nhóm II :
aβ

α
−1
2
+ bβ

+ cβ

λ
1
= 1

2
) = 0
Vậy
G
n
=







1
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
λ
n
2
, n ≤ 0
1
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
λ

B
4
, hoặc |c| >
B
4
,
hoặc

b
2
− 4ac >
B
2
, vì nếu trái lại, |a| ≤
B
4
, |c| ≤
B
4
,

b
2
− 4ac ≤
B
2
, thì
B
2
4

2
√
2
< B trái với giả thiết
Ta lại có
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
= c(λ
1
− λ
2
) = a(λ
−1
2
− λ
−1
1
) = −

b
2
− 4ac
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 4
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
|λ
1
− λ

|aλ
−1
2
+ b + cλ
1
| ≥
Bθ
4
và do đó
|G
n
| ≤
4
Bθ

1 −
θ
2

|n|
1.2.2 Trường hợp 2
Trong trường hợp 2, từ điều kiện bị chặn của G
n
khi n → −∞ suy ra α

= β

= 0, do đó
G
n

2
)
Vậy nghiệm cơ bản trong trường hợp 2 có dạng
G
n
=



0, khi n ≤ 0
1
c(λ
1
− λ
2
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≥ 0.
1.2.3 Trường hợp 3
Trường hợp 3 tương tự 1. Hàm G
n
có dạng
G
n
=

n
=



1
a(λ
−1
1
− λ
1
2
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Chú ý
a(λ
−1
1
− λ
−1
2
) = a
λ

1
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Nếu λ
1
= λ
2
= λ, thì x
n
= (α + βn)λ
n
.
Trong trường hợp |λ| < 1, ta có
G
n
=

0, khi n ≤ 0
1
c
nλ
n−1
, khi n ≥ 0.

c
nλ
n−1
, khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Từ các công thức trên ta thấy G
n
giảm theo quy luật hàm mũ khi n → ∞:
|G
n
| < Gρ
|n|
,
trong đó G > 0 và 0 < ρ < 1 là các hằng số nào đó, đồng thời có thể lấy ρ là một số bất kỳ thỏa mãn
bất đẳng thức
ρ > max

min

|λ
1
|,
1
|λ
1
|

, min

|λ

ax
n−1
+ bx
n
+ cx
n+1
= a
∞

k=−∞
G
n−1−k
f
k
+ b
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
+ c
∞

k=−∞
G
n+1−k
f
k


k=−∞
G
n−k
f
k





≤
n

k=−∞
|G
n−k
f
k
| +
∞

k=n+1
|G
n−k
f
k
|
≤ GF


| = 1, |λ
2
| = 1 nghiệm bị chặn duy nhất với −∞ < n < +∞sẽ là u ≡ 0. Đặt biệt, nghiệm cơ bản
bị chặn G
n
trong trường hợp |λ
1
| = 1 và |λ
2
| = 1 cũng duy nhất.
Nhận xét thêm rằng, khi thỏa mãn (1.2.1), ta sử dụng (1.2.2) thì từ (1.2.3) suy ra
|x
∗
n
| ≤
16
Bθ
2
sup
m
|f
m
|
Thật vậy
|x
∗
n
| ≤ 2
∞


k
|.
Ở đây, ta đã sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1 và ρ = 1 −
θ
2
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 6
Chương 2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
2.1 Bài tập 1.
Tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây bằng phương pháp hàm Grin:
x
n+1
+
5
2
x
n
−
3
2
x
n−1
=
5
2

cos





1
λ
1
− λ
2
λ
n−k
2
, n − k ≤ 0
1
λ
1
− λ
2
λ
n−k
1
, n − k ≥ 0
hay
G
n−k
=






k=−∞
2
7

1
2

n−k
5
2

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

+
∞

k=n+1
2
7
(−3)
n−k
5
2


.(−3)
n
∞

k=n+1
1
(−3)
n

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

Ta có
2
k

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

= ∆2
k


−2a sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos
kπ
2
− b sin
kπ
2

=⇒

−2a −b = 1
−a + 2b = 1
=⇒ −5a = 3, a =
−3
5
, b =
1
5
=⇒ 2
k

cos
kπ
2
+ sin


= ∆
1
(−3)
k

−
3
5
cos
kπ
2
−
6
5
sin
kπ
2

Vậy
n

k=−∞
2
k

cos
kπ
2
+ sin

5
cos(n + 1)
π
2
+
1
5
sin(n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

−
3
5
cos
kπ
2
+
1
5
sin
kπ
2

= 2


=
∞

k=−n+1
∆
1
(−3)
k

−
3
5
cos
kπ
2
−
6
5
sin
kπ
2

= −
1
(−3)
n+1

−
3

=
1
(−3)
n+1

−
3
5
sin
nπ
2
+
6
5
cos
nπ
2

=
1
(−3)
n

1
5
sin
nπ
2
−
2

nπ
2

+
5
7
(−3)
n
1
(−3)
n

1
5
sin
nπ
2
−
2
5
cos
nπ
2

= sin
nπ
2
2.2 Bài tập 2.
Tìm nghiệm riêng x
∗

(n −k)2
n−k+1
, khi k ≤ n
0, khi k ≥ n
và
x
∗
n
= −
1
4
∞

k=n+1
(n −k)2
n−k+1
.(k
2
− 6k + 5)
=−
1
4
n2
n+1
∞

k=n+1
(k
2
− 6k + 5)2

2
n+1
∞

k=n+1
∆2
k
(−2k
3
+ 6k
2
− 4k)
=−
1
4
n2
n+1
lim
k→+∞
2
−k
(−2k
2
+ 8k − 4) +
1
4
n2
n+1
+
1

2
− 4(n + 1)]
= n
2
2.3 Bài tập 3.
Viết công thức hàm Grin G
n
, rồi tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây:
x
n+1
−
5
2
x
n
+ x
n−1
= −
5
2
cos
nπ
2
Giải.
Phương trình đặc trưng λ
2
−

1
)λ
n−k
1
, n − k ≤ 0
1
C(λ
2
− λ
1
)
λ
n−k
2
, n − k ≥ 0
G
n−k
=





1
λ
2
− λ
1
λ
n−k

1
2

n−k
, k ≤ n
Vậy:
x
∗
n
=
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
=
n

k=−∞
−
2
3

1
2

n−k


2

n
n

k=−∞
2
k
cos
kπ
2
+
5
3
.(2)
n
∞

k=n+1

1
2

k
cos
kπ
2
Ta có
2
k

kπ
2

= 2
k

−2a sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos
kπ
2
− b sin
kπ
2

=⇒

−2a −b = 0
−a + 2b = 1
=⇒ a = −
1
5
, b =
2
5
=⇒ 2


1
2

k

−
4
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

Vậy
n

k=−∞
2
k
cos
kπ
2
=
n

1
5
sin(n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

−
1
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= 2
n

2
5
sin

4
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= −
1
2
n+1

−
4
5
cos(n + 1)
π
2
+
2
5
sin(n + 1)
π
2


1
5
cos
nπ
2

= −
1
2
n

2
5
sin
nπ
2
+
1
5
cos
nπ
2

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 10
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Thế thì
x
∗
n
=

2
5
sin
nπ
2
+
1
5
cos
nπ
2

Vậy nghiệm cần tìm là
x
∗
n
= cos
nπ
2
2.4 Bài tập 4.
Viết công thức hàm Grin G
n
, rồi tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây
x
n+1
− x
n

G
n−k
=

0 khi n − k ≤ 0
1
C
(n −k)λ
n−k−1
khi n − k ≥ 0
G
n−k
=



0 khi k ≥ n
(n −k)
1
2
n−k−1
khi k ≤ n
Vậy:
x
∗
n
=
∞

k=−∞


k=−∞
2
k

3
4
cos
kπ
2
− sin
kπ
2

− 2
1
2
n
n
n

k=−∞
2
k

3
4
k cos
kπ
2

a cos(k + 1)
π
2
+ b sin(k + 1)
π
2

− 2
k

a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k

−2a sin
kπ
2
− b sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos

1
4
cos
kπ
2
+
1
2
sin
kπ
2

Ta có
2
k

3
4
k cos
kπ
2
− k sin
kπ
2

= ∆2
k

(a
1

(k+1)
2
π
2

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 11
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
−2
k

(a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
+ (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

=2
k

(2a
1

2
) sin
kπ
2

= 2
k

(2a
1
k + 2a
1
+ 2b
1
) cos
(k + 1)π
2
+ (2a
2
k + 2a
2
+ 2b
2
) sin
(k + 1)π
2

−2
k


2
+ 2b
2
) cos
kπ
2
− (a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
− (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

=⇒

(−2a
1
− a
2
)k − 2a
1
− 2b

= −
1
2
Suy ra
2
k

3
4
k cos
kπ
2
− k sin
kπ
2

= ∆2
k

1
4
k cos
kπ
2
+

k
2
−
1

1
4
cos (n + 1)
π
2
+
1
2
sin (n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

1
4
cos
kπ
2
+
1
2
sin
kπ
2

= 2

1
2

sin
kπ
2

= 2
n+1

n + 1
4
cos (n + 1)
π
2
+

n + 1
2
−
1
2

sin (n + 1)
π
2
− lim
k→−∞
2
k


Vậy
x
∗
n
= 2.
1
2
n
.n.2
n

−
1
2
sin
nπ
2
+ cos
nπ
2

− 2.
1
2
n
2
n

−(n + 1)

x
n+1
− 6x
n
+ 9x
n−1
= 4n
2
− 16n + 10
Giải.
Phương trình đặc trưng λ
2
− 6λ + 9 = 0 có nghiệm λ
1
= λ
2
= λ = 3
Ta có |λ| > 1
Hàm Grin
G
n−k
=

0 khi n − k ≤ 0
1
C
(n −k)λ
n−k−1
khi n − k ≥ 0.
G

= −
1
3
.3
n
.n.
∞

k=n+1

1
3

k
(4k
2
− 16k + 10) +
1
3
.3
n
.
∞

k=n+1
k.
1
3
k
(4k

1
3
k


a
3
− a

k
2
+

2a + b
3
− b

k +
a + b + c
3
− c

=⇒








3
k
(−6k
2
+ 18k − 9)
Tương tự
1
3
k
.k.(4k
2
− 16k + 10) =
1
3
k
(4k
3
− 16k
2
+ 10k) = ∆
1
3
k
(−6k
3
+ 15k
2
− 9k)
Trong đó
∞

2
+ 18(n + 1) − 9

= −
1
3
n+1
(−6n
2
+ 6n + 3) = −
1
3
n
(−2n
2
+ 2n + 1)
và
∞

k=n+1
1
3
k
(4k
3
− 16k
2
+ 10k) =
∞


3
n+1
(−6n
3
− 3n
2
+ 3n) = −
1
3
n
(−2n
3
− n
2
+ n)
Từ đó ta có
x
∗
n
=

−
1
3

.3
n
.n.

−

3
+ 2n
2
+ n) +
1
3
(2n
3
+ n
2
− n) = n
2
Vậy
x
∗
n
= n
2
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 13
KẾT LUẬN
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là một phương trình khá phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta
cũng có một số phương pháp tìm nghiệm riêng của nó như phương pháp chọn (còn gọi là phương
pháp hệ số bất định), phương pháp biến thiên hằng số, phương pháp hàm Grin,
Qua tiểu luận này, nhóm chúng tôi đã trình bày: "‘Phương pháp hàm Grin cho phương trình dạng
ax
n−1
+ bx
n
+ cx
n+1