BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ANH DUY
SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG
TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ANH DUY
SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG
TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
NGHỆ AN – 2014
Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn
Thuận người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành Luận văn này trong
thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa sau Đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên
đề Thạc sĩ khoá XX, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn
Toán tại trường Đại học Vinh.

8. Cấu trúc luận văn 5
Trong chương này, chúng tôi triển khai một số kết quả nghiên cứu xuống
cơ sở thực nghiệm nhằm xem xét tính khả thi và hiệu quả của những quan
điểm trực quan tượng trưng cho học sinh khi giải toán mà luận văn đã đề
xuất đồng thời chúng tôi muốn kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết
khoa học 97
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 97
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 97
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 97
3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 98
Quá trình nghiên cứu, luận văn đã thu được một số kết quả sau đây: 106
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo đã khẳng định: “…Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương
pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt
một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực…”. Một trong những mục tiêu tổng quát của Nghị quyết cũng xác
định giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất
tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân. Khi đã xác định được mục tiêu
chung là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện thì chương trình cần
quan tâm hơn đến những nội dung dạy học gắn liền với cuộc sống. Nói cách
khác là giáo dục con người phải có cả kiến thức, kỹ năng và vận dụng được vào
trong thực tiễn.
1.2. Đại thi hào William A.Ward một nhà giáo dục lỗi lạc người Mỹ cũng
từng nói: “Người thầy trung bình chỉ biết nói, người thầy giỏi biết cách giải
thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, còn người thầy vĩ đại biết cách

3
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề khi sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học Đại
số và Giải tích đồng thời đề xuất các biện pháp thích hợp khi sử dụng PTTQ
tượng trưng trong dạy học góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở
trường THPT.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tính khả thi khi sử dụng phương tiện trực quan tượng
trưng trong dạy học Toán.
3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình giảng dạy, nếu biết khai thác và sử dụng hợp lý phương tiện trực
quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình môn Toán thì sẽ góp
phần nâng cao hiệu quả của hoạt động dạy và học ở trường phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn, vai trò và chức năng của phương tiện
trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích.
- Nghiên cứu các tình huống sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong
từng nội dung cụ thể của quá trình dạy học Toán.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả khi
giảng dạy bằng phương tiện trực quan tượng trưng.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy
học Toán có liên quan đến đề tài cần nghiên cứu.
4
- Nghiên cứu các sách, bài báo khoa học trên các tạp chí, công trình Luận án của
nghiên cứu sinh, tài liệu viết về phương tiện trực quan tượng trưng; các quan
điểm về lý luận và phương pháp dạy học Toán.
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

trường phổ thông
1.3. Kết luận Chương 1
CHƯƠNG 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG
TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
2.1. Các cơ sở căn cứ để đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng
trưng
2.2. Đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học
những tình huống điển hình môn Toán
2.3. Kết luận Chương 2
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
7
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.
1.1.1. Khái niệm phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.
Chúng ta biết rằng phương tiện trực quan là một phận của phương tiện dạy
học, nó là công cụ để GV sử dụng làm khâu trung gian tác động đến HS trong
quá trình dạy học nhằm giúp giảm thiểu sự trừu tượng của kiến thức Toán học
trong quá trình nhận thức. Nói đến trực quan tức là sử dụng nhiều giác quan để
quan sát trực tiếp quá trình thu nhận và xử lý thông tin. Do đó phương tiện trực
quan có vai trò quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán. Do đặc điểm của
toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong
môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí
hiệu…). Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước
nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu, tách rời khỏi tất cả các tính chất

khi chuyển từ cái cụ thể lên cái trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụ
thể của quá trình tư duy. Nguyên nhân là do: HS không phát hiện ra cái chung,
cái bản chất bị che lấp bởi cái riêng; trong khi vận dụng định nghĩa, đính lý, tính
chất vào giải bài tập HS cũng còn lúng túng do không hiểu được bản chất của
9
chúng. Một yếu tố có ảnh hưởng rất lớn đến quá trình tiếp thu kiến thức, giải
quyết vấn đề của học sinh chính là tính trực quan của tri thức được GV truyền
thụ. Do đó, với đặc thù riêng của bộ môn Toán việc nghiên cứu, khai thác và sử
dụng PTTQ tượng trưng là điều hết sức cần thiết.
Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học tạo điều kiện thuận lợi
cho việc tổ chức quá trình học tập. Bởi vì từ trực quan HS có được cảm nhận đầu
tiên về vấn đề cần tiếp thu. Điều đó giúp cho HS sau này khi gặp vấn đề cần phải có
sự liên tưởng tới kiến thức đã học thì HS sẽ có tư duy tốt hơn.
Trong dạy học Toán nói riêng việc sử dụng hợp lý các PTTQ tượng trưng
đóng một vai trò rất quan trọng. PTTQ tượng trưng không chỉ giúp cho việc
minh họa và tập trung sự chú ý của HS vào những thuộc tính và đặc điểm bên
ngoài của đối tượng mà còn giúp HS nhanh chóng phát hiện những thuộc tính
bên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra nó
như một cái toàn bộ thống nhất.
Chúng ta thấy rằng PTTQ tượng tượng trưng không chỉ tham gia vào quá
trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải
bài tập toán và phát hiện ra những sai lầm thiếu sót của học sinh Phương tiện
trực quan tượng trưng là chiếc cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu
tượng hóa và cả trong giai đoạn cụ thể hóa.
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất
sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu
tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần
thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn
nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan
10

- Huy động được các giác quan của học sinh tham gia vào quá trình nhận thức,
làm cho việc tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và việc ghi nhớ trở nên bền
vững hơn.
- Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọn
nhằm củng cố và áp dụng kiến thức.
Chức năng 4: Điều khiển quá trình dạy học.
- Phương tiện trực quan tượng trưng là công cụ hướng dẫn phương pháp trình
bày các chủ đề nghiên cứu cho GV.
- Nhanh chóng làm xuất hiện các thông tin học tập trong hoạt động nhận thức khi
kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của học sinh.
1.2. Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ở
trường phổ thông
1.2.1. Trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số
Chúng ta biết rằng trực quan chính là quan sát trực tiếp theo nghĩa thông
thường, tức là khi chúng ta muốn diễn giải vấn đề gì mang tính trừu tượng, khó
hiểu thì ta cần có một mô hình để nghiệm thấy làm cho vấn đề đỡ xa lạ hơn, dễ
hiểu hơn. Trực quan tượng trưng ở đây chính là: hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, ký
hiệu toán học thậm chí là có thể tóm tắt một công thức toán học theo cách riêng
của mình nhằm làm cho học sinh dễ hiểu hơn. Trực quan tượng trưng nhằm cụ
12
thể hóa cái trừu tượng trong một đối tượng. Thật sự mà nói, có nhiều bài toán
khó nhưng nếu chúng ta chịu khó để tâm vào đó nhằm đưa ra những hình vẽ trực
quan, những mối quan hệ thì vấn đề có thể giải quyết được dễ dàng hơn. Trong
trực quan tượng trưng ta chỉ dùng những công cụ thô sơ sẵn có, không cần đòi
hỏi về đầu tư máy móc thiết bị mà ta chỉ dùng phấn với bảng mà thôi để hỗ trợ
cho quá trình suy nghĩ đỡ trừu tượng hơn, gần gũi hơn và dễ hiểu hơn.
Sau đây là những ví dụ mang tính chất như vậy.
Ví dụ 1: Ta xét bài toán: Cho hàm số
1
2

2 1 0 2 1
x m x m
m x x m
− + ≥ ≥ −
 
⇔
 
− − > < −
 
13
Xét hiệu:
( ) ( )
2m 1 m 2 m 1− − − = +
+) Trường hợp 1:
Nếu
1 0 1m m+ ≤ ⇔ ≤ −
thì
2m 1 m 2
− ≤ −
. (ta xếp 2m-1 đứng sau m-2 trên trục
số)
Ta có hình biểu diễn trên trục số như sau:
Hình 1.1
Vậy
2
2 1
x m
x
x m
≥ −


⇔ − ≤ < −

< −

.
Khi đó tập xác định của hàm số là
[ 2;2 1)D m m= − −
.
Ta có hình biểu diễn sau:
Hình 1.2
14
Hàm số xác định trên [0;1) khi và chỉ khi
[0;1) [ 2;2 1)m m⊂ − −
.
2 0 2
2 0 1 2 1 1 2
2 1 1 1
m m
m m m
m m
− ≤ ≤
 
⇔ − ≤ < ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− ≥ ≥
 
(thỏa mãn m>-1).
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để hàm số xác định trên một khoảng
Xét bài toán: Cho hàm số

⇔

≥ ∀ ≥


2
2
2
4
2
2
m
m
m
m
m
≤

≤


⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
≤
≤



.
Vậy ta có

m của đề bài bằng cách vẽ hình minh họa trên trục số như sau:
Hình 1.3
Ta có
x m≥
là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện
2x ≥
ta thấy số 2
phải nằm bên phải của m như hình trên, nếu số 2 nằm bên trái của m, tức là nằm
vào phần bị gạch bỏ thì không thỏa mãn. Nhìn vào hình vẽ ta được
2m ≤
.
Một cách tương tự ta giải thích vì sao
; 2
2
m
x x≥ ∀ ≥
thì
2
2
m
≤
bằng hình vẽ trên
trục số như sau:
Hình 1.4
Ta lại có
2
m
x ≥
là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện
2x ≥

chưa biết m dương hay âm nên chưa biết dấu bất đẳng thức có đổi chiều hay
không. Như vậy đây là một bài toán khó đối với học sinh. Ta giải bài toán như
sau:
YCBT
( 1)x m 0, 1
2 0, 1
m x
mx m x
+ − ≥ ∀ ≥

⇔

− + ≥ ∀ ≥


1 0
( 1).1 m 0 0
0
0 1 0
.1 2 0
m
m m
m
m m
m m
+ ≥


+ − ≥ ≥


1x ≥
như sau: "Phần đường
thẳng ứng với
1x ≥
phải nằm phía trên Ox", nhìn vào hình vẽ ta thấy số 1 phải
nằm bên phải của giao điểm A của đường thẳng và trục hoành, nếu số 1 nằm bên
trái của điểm A thì ta thấy có một phần đường thẳng ứng với
1x ≥
lại nằm dưới
trục hoành do đó không thỏa mãn.
Khi số 1 nằm bên phải của A thì ta có
(1) 0f ≥
. Một cách tương tự khi
xem xét trực quan trên hình vẽ ta thấy trường hợp a<0 sẽ không xảy ra. Như vậy
18
một cách tổng quát ta có:
0
( ) ax b 0; 1
(1) 0
a
y f x x
f
>

= = + ≥ ∀ ≥ ⇔

≥

, còn trường
hợp a=0 chúng ta tiến hành xét riêng, nếu thỏa mãn thì ta nhận.

≥

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m
≤
phải
nằm trên Ox).
( ) 0,f x x m≤ ∀ ≥
0
( ) 0
a
f m
<

⇔

≤

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m≥
phải
nằm dưới Ox).
( ) 0,f x x m≤ ∀ ≤
0
( ) 0
a
f m
>

⇔

x m
x
− ≥

≤ <


− ≥ ⇔ ⇔ ∈ ∩ −∞
 
≤


− >

• Trường hợp 1: Với m<4 thì
[4;6) ( ; ]x m x∈ ∩ −∞ ⇔ ∈∅
. Nên hàm số đã
cho không tồn tại.
Hình 1.6
Trường hợp 2: Với
4 6m≤ <
Ta có:
[4;6) ( ; ] [4; ]x m x m∈ ∩ −∞ ⇔ ∈
. Nên hàm số đã cho có tập xác định là
[4;m]D =
.
Hình 1.7
• Trường hợp 3: Với
6m ≥
.

+ − < − ⇔ − >


+ − < −

2
6 0 2 3
1 1
7 7
3 3
x x x x
x x
x x
 
 
+ − ≥ ≥ ∨ ≤ −
 
⇔ > ⇔ >
 
 
 
< <
 
Biểu diễn nghiệm của hệ trên trục số: