BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN

TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG,
TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN
VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN THỊ HUYỀN
TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG,
TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN
VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 62.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HUỲNH PHÁN
NGHỆ AN - 2014
LỜI CẢM ƠN
Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ
Nguyễn Huỳnh Phán
, người

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
PHẦN I. TẬP ĐẠI SỐ 9
1.1. Khái niệm tập đại số
1.2. Một số tính chất cơ bản của tập đại số
PHẦN II. IĐEAN 13
2.1. Định nghĩa
2.2. Ví dụ
2.3. Tính chất
PHẦN III. ÁNH XẠ ZARISKI 16
3.1. Ánh xạ Zariski
3.2. Một ví dụ về ánh xạ Zariski
PHẦN IV. TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ.19
4.1. Nhận xét
4.3. Định lí
4.4. Ví dụ
PHẦN V. MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ
TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 23
5.8. Ví dụ
5.10. Ví dụ
5.17. Hệ quả
Chương 2 CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ
IĐÊAN CỦA CHÚNG 27
2.1. Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng
2.2. Tập đại số trên mặt phẳng và iđêan của chúng
2.3. Tập đại số trong không gian và iđêan của chúng
2.4. Thêm một số tập đại số khác trong chương trình toán phổ thông

KẾT LUẬN 43
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

chọn đề tài : “Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng”.
7
Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy tập
đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng , trong không gian có ứng
dụng giải toán phổ thông, cùng với sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn
Huỳnh Phán là phương châm để tôi thực hiện đề tài này.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các tập đại số bất khả qui trong chương trình
toán phổ thông hiên nay.
3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
Tác giả nghiên cứu các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt
phẳng, trong không gian và iđêan của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví
dụ. Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái
quát hóa, tổng hợp…đánh giá các tập đại số bất khả qui của các hàm số trong
toán phổ thông.
5. Dự kiến đóng góp
Hệ thống các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng ,trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng.
6. Kết cấu luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
được kết cấu thành hai chương :
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2:Các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng
8
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

λ
∑
+ + + ≤
với d là một số tự nhiên nào đó và
21
, , ,
n
r r r
λ

∈
A gọi là các hệ tử. Khi A là
trường ta gọi chúng là các hệ số. Các biểu thức
21

1 2
n
r r
r
x x x
n
được gọi là các
đơn thức. Bậc của đơn thức
21

1 2
n
r r
r
x x x

Cho K là trường, tập con V
⊆
K
n
được gọi là tập đại số nếu nó là
nghiệm của một họ các đa thức n biến trong
[ ]
XK
.
Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f).
Thế thì
( )
( )
{ }
0
n
Z f a K f a
= ∈ =
Ví dụ (về tập đại số):
1. Tập rỗng
φ
là tập đại số vì phương trình f = 0 với f
∈
K mà f
≠
0 là
vô nghiệm.
9
2. Tập 1 điểm a = (a
1

,…., x
n
)
∈
S, thì với
tọa độ mới (y
1
, y
2
,…., y
n
), ta có
= c + c + c + + c
0 1 1 2 2
= 1, 2, , n
x y y y
n
i in
i i i
i





Thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình
f(c
10
+ c
11

=
≠

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt. Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa
là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng.
Cho S là tập con bất kỳ của K[X]. Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả
các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là
một tập đại số. Ta có Z(S) =
( )
f S
Z f
∈
I
.
Chú ý: Tương ứng S
a
Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con
của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K
n
.
10
( )
( )
Z
I

[ ]
n
K X K
→

= 0 thì
2
a
= 0
nên (
1 2
,a a
) = (0, 0
2
)
∈
V. Khi
1
a
≠
0, ta có

2
1 2 2
1
1 1 1
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2 1 1
:
:

thí Z(f) =
( )
{ }
2 3
, ;a a a K∈

Thật vậy, đặt V :=
( )
{ }
2 3
, ;a a a K∈
Chứng minh tương tự như trên,
ta có V
⊆
Z(f).
Ngược lại, giả sử (
1 2
,a a
)
∈
Z(f). Nếu
1
a
= 0 thí
2
a
= 0
nên (
1 2
,a a

a a a
a a
a a a

 
= = = =

 ÷

 

 

= = = =
 ÷

 

Do đó ta có (
1 2
,a a
) ∈ V. Từ đó suy ra Z(f) ⊆ V. Vậy ta có V = Z(f).
11
1.2. Một số tính chất cơ bản của tập đại số
1.2.1. Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)
1) Nếu S
1

⊇
S

S
2
};
5)
I
Z(S
i
) = Z(
U
S
i
).
Chứng minh:Xem tài liệu [6]
1.2.2. Bổ đề: Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g.
Chứng minh:Xem tài liệu [6]
1.2.3. Bổ đề
Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và
các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh: Xem tài liệu [6]
1.2.4. Bổ đề: Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với
0
n
a K f∀ ∈ ⇔ =
Chứng minh: Xem tài liệu [6].
Hệ quả.
Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a
1
, a
2
,., a

Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.2.5. Hệ quả
Họ tất cả các tập đại số trong K
n
lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski.
Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski.
Chú ý. Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng
12
D(S) = K
n
\ Z(S) = K
n
\
( )
f S
Z f
∈
I
=
( )
\ Z(f)
n
f S
K
∈
U
.
PHẦN II. IĐEAN
2.1. Định nghĩa
Tập con I của vành A được gọi là iđêan nếu nó là vành con của A và có

r
; h
1
, h
2
,…, h
r

∈
S; f
1
, f
2
,…., f
r

∈
A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.
2.3. Tính chất
2.3.1. Bổ đề
Cho I, J là hai iđêan. Ta có
1/ I
I
J là iđêan;
2/ Tập I + J : = { f + g ; f
∈
I và g
∈
J} là iđêan;
3/ Tập IJ : = { h

I J⊂ I
và nói chung hai iđêan IJ và I∩J này khác nhau;
5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M.
Chứng minh. Xem tài liệu [6]
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f
∈
I và g
∈
J.
2.3.2. Ví dụ
13
1/Cho I = (x, y
2
) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y],
ta có :
a/ I + J = (x, y) ;
b/ IJ = (xy, y
3
) ;
c/ I
I
J = (xy, y
2
).
Cho iđêan I, ta định nghĩa iđêan mũ là iđêan I
d
: = I.I… I (d lần) và quy
ước I
0
: = A (cả vành A). Nếu S là tập con bất kỳ của vành A, tập

dụng các tính chất đại số liên quan đến iđêan để nghiên cứu tính chất hình học
của các tập đại số.
2.3.3. Mệnh đề
Cho S
⊆
K[X] và I = (S). Ta có Z(S) = Z(I).
Kết quả sau cho ta thêm tính chất của ánh xạ Z.
2.3.4. Mệnh đề
Cho I, J là các iđêan, ta có
1/ Z(I
I
J) = Z(I)
U
Z(J) = Z(IJ) ;
2/ Z(I + J) = Z(I)
I
Z(J).
Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z. Cụ thể,
cho V là tập bất kỳ tromg K
n
. Ký hiệu
I
V
: = { f
∈
K[X]; f(a) = 0 với mọi a
∈
V}.
Thế thì I
V

n
– a
n
) với a = ( a
1
, a
2
, … , a
n
);
4/ Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên parabol y = x
2
thì I
V
= (x
2
– y) ;
5/ Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên đường cong x
3
– y
2
= 0 thì I

2.3.6. Mệnh đề: (về tính chất của ánh xạ I)
1/ Nếu V
⊆
W thì I
V

⊇
I
W
;
2/ I
V

I
I
W
= I
I
U
W
;
3/ I
V
+ I
W

⊆
I
I
I

- y, y) = (x
2
, y) và I
I
I
W
= (x, y) vì V
I
W = (0, 0).
Cho nên I
W

≠
I
I
I
W
.
*) Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu

{ }
r
I : = f A ; f I voi r nào dó∈ ∈
.
2.3.7. Bổ đề. Cho I là iđêan, thế thì
I
cũng là iđêan và I
⊆

I

(S) a K / f(a) 0 f SΖ = ∈ = ∀ ∈
thế thì Z(S) chính là một tập đại số.
Phần bù K
n
\ Z(S) gọi là tập mở Zariski.
Nhắc lại rằng kí hiệu
( [ ])
1
x x
n
Ρ Κ
là họ tất cả các tập con
[ ]
1
x x
n
Κ
và
( )
K
n
Ρ
là họ tất cả các tập con của
K
n
, thì cách xác định tập đại số Zariski
cho ta ánh xạ:
(
)
( )

x x k
n
 
 
Ζ Ρ → Ρ
1)
( )
1 2
S S
Ζ ∪ =
( ) ( )
1 2
S S
Ζ ∩
2)
( ) ( ) { }
(
)
( )
{ }
. / , , . / ,
1 2 2 1 2
S S f g f S g S S S f g f S g S
i
Ζ ∪ Ζ = Ζ ∈ ∈ = Ζ = ∈ ∈
3)
( ) ( )
1 2 1 2
S S S S
⊂ ⇒ Ζ ⊃ Ζ

2
) =>
a
∈
( ) ( ) 0,
1 1 1 1
( ) ( ) 0,
2 2 2 2
Z S f a f S
Z S f a f S





⇒ = ∀ ∈
⇒ = ∀ ∈
=>
a
∈
Z(S
1
∪
S
2
)
Do đó :
( ) ( )
( )
1 2 1 2

2) Z(S
1
)
∪
Z(S
2
) = Z({f.g /f
∈
S
1
,g
∈
S
2
}) = Z(S),
S = {f.g / f
∈
S
1
,g
∈
S
2
}
a
∈
Z(S
1
)
∪

Z(S
2
) => fg(
a
) = f(
a
).g(
a
) = 0 =>
a
∈
( ) 0 ( )
1
( ) 0 ( )
2
f a a Z S
g a a Z S




= ⇒ ∈
= ⇒ ∈
do đó :
( ) ( )
( )
1 2
S S Z S
Ζ ∪ Ζ ⊇
(2)

với tập nghiệm của chúng. Tập này luôn là một tập hữu hạn trong R hoặc là
tập R hoặc là tập
φ
Thế thì Z là một ánh xạ Zariski.
18
PHẦN IV. TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ
Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết),
các phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng.
4.1. Nhận xét
1) Phép cộng và phép nhân các iđêan thỏa mãn tính chất kết hợp, giao
hoán và phân phối;
2) Phần tử 0 ∈ I vì 0 = 0.x với ∀x ∈ V;
3) Phần tử đơn vị 1 ∈ I khi và chỉ khi I = V;
4) I
≠
V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;
5) Cho S ⊂ V. Kí hiệu:
( )
{ | , , 1,2, , }
1 1 2 2
S a f a f a f a V f S i n
n n
i i
= + + + ∈ ∈ =
.
Lúc đó (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan
sinh bởi S.
Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì
( )
( )

.
3)I
I
J =
(
)
2
,xy y
.
Chứng minh.
Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và
I S=
là iđêan sinh bởi S.
19
Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính
là tập đại số của iđêan I. Thật vậy:
Ta có: S ⊂ I nên Z(S) ⊃ Z(I) (1).
Ta chứng minh Z(S) ⊂ Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a ∈ Z(S) thì f(a) = 0, ∀f ∈ S.
Suy ra g(a) = 0 với ∀g ∈ I vì
; [ ], , 1,2, ,
1 1 2 2
g h f h f h f h K X f S i n
n n
i i
= + + + ∈ ∈ ∀ =
và f(a) = 0 với mọi i = 1, 2, , n.
Do đó a ∈ S(I). (2).
Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).
4.3. Định lí
Cho V là tập con của K. Khi đó tập I

a
) = 0 với ∀
a
∈ V. Do đó (fh)(
a
) = f(
a
)h(
a
) = 0 với ∀
a
∈
V.
Vậy fh ∈ I.
Kết luận: I là iđêan trong K[X].
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập I
V
cảm sinh hai ánh xạ Z và I
được cho trong sơ đồ sau
( )
( )
Z
I

[ ]
n
K X K
→
¬ 
℘ ℘

,… , x
n
– a
n
) với a = ( a
1
, a
2
, … , a
n
);
4) Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên parabol y = x
2
thì I
V
= (x
2
– y) ;
5) Nếu V là d- phẳng trong K
n
mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x
1
, x
2
,…., x

2
+……+ h
n
x
n
+ b với
b
∈
K. Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng
f = h
1
x
1
+ h
2
x
2
+……+ h
n
x
n
, nghĩa là khi và chỉ khi f
∈
(x
1
, x
2
,…., x
n
). Vậy

) ; a
∈
K } nên với f
∈
I
V
thì f(a, a
2
) =
g(a) = 0 với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x
2
–
y), nghĩa là f
∈
(x
2
– y).
5)Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f = h
d+1
x
d+1
+ h
d+2
x
d+2
+……+ h
n
x
n

, a
2
,…., a
d

∈
K. Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = h
d+1
x
d+1
+ h
d+2
x
d+2
+……+ h
n
x
n

∈
(x
d+1
, x
d+2
,… , x
n
).(đpcm).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu
{ }

I

⊆
I. Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố. Dưới đây ta có
một tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố.
5.3. Bổ đề. Iđêan căn I
≠
A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là
giao của 2 iđêan lớn hơn thực sự.
5.4. Định nghĩa. Iđêan thực sự I của A gọi là iđêan cực đại nếu I không
bị chứa trong một iđêan thực sự nào khác của A.
5.5. Ví dụ.
1/ I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f
∉
I;
2/ I
a
= (x
1
– a
1
, x
2
– a
2
,…., x
n
– a
n
) là iđêan cực đại trong K[X].

(I
a
, f) và do đó
(I
a
, f) = K[X].
5.6. Nhận xét.
1/ Nếu I
≠
A thì
I

≠
A và do I
⊆
I
nên nếu I là iđêan cực đại thi
I =
I
, nghĩa là mọi iđêan cực đại là iđêan căn. Mặt khác, mỗi iđêan cực đại
23
chỉ có một một iđêan căn lớn hơn là cả vành A nên nó không thể là giao của 2
iđêan căn lớn hơn. Vậy mọi iđêan cực đại phải là iđêan nguyên tố.
2/ Nếu I
1

⊆
I
2


là iđêan
nguyên tố.
Chứng minh. Nếu V bất khả quy mà I
V
không nguyên tố thì I
V
= I
1
I
I
2
với I
1
và I
2
là 2 iđêan thực sự lớn hơn I.
Khi đó V = Z(I
V
) = Z(I
1
I
I
2
) = Z(I
1
)
U
Z(I
2
). Vì vậy

, V
2
là 2 tập đại
số thực sự bé hơn V. Khi đó, ta có I
V1
và I
V2
là 2 iđêan thực sự lớn hơn I
V
nên tồn
tại f
∈
I
V1
\ I
V
và g
∈
I
V2
\ I
V
. Khi đó fg
∈
I
V1
I
I
V2
= I

vị. Tập tất cả các ước của đơn vị trong A lập nên một nhóm.
Nếu a = bc trong A thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết a; hay a chia
hết cho b; hay a là bội của b.
Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên A gọi là bất khả quy nếu
có phân tích f = gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch.
5.14. Bổ đề. Cho K là trường, thế thì mọi iđêan I
≠
0 của K[x] đều là
iđêan chính và I = (g) với g là đa thức có bậc nhỏ nhất trong I.
5.15. Nhận xét. Mọi đa thức f
∈
K[X] đều phân tích được thành tích
các đa thức bất khả quy: f = g
1
g
2
… g
r
.
Khi đó Z(f) = Z(g
1
)
U
Z(g
2
)
U
…
U
Z(g