Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Bắc Cường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm
cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường”
được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Bắc Cường
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường. 4
1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường . . . . . . 4
1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . 5
1.1.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 5

(x) =
dy
dx
.
Trong phương trình trên, nếu y(x) biểu diễn cho vận tốc của một chuyển
động thì y

(x) là gia tốc của chuyển động của nó (là đại là đại lượng đặc
trưng cho độ biến thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân
cũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiên
liên tục, được biểu diễn bằng hàm y(x) và bên còn lại là độ biến thiên
của đại lượng đó được biểu diễn qua các mối liên quan với các đạo hàm
bậc nhất hoặc các đạo hàm cấp cao hơn. Điều này được thể hiện rõ từ
việc nghiên cứu trong cơ học cổ điển qua Định luật Newton về xác định
vị trí của một chuyển động dựa vào vận tốc, gia tốc và một số tác động
được biểu diễn dưới dạng đạo hàm theo biến thời gian.
Đối với các phương trình đại số nghiệm cần tìm thường nhận được là giá
trị số cụ thể. Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm
là hàm chưa biết của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Do
1
tính quan trọng của các vấn đề thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này, các
nhà Toán học đã xây dựng được một phần lý thuyết khá hoàn chỉnh về
phương trình vi phân thường và một lĩnh vực mới còn đang được quan
tâm mạnh mẽ về phường trình vi phân đạo hàm riêng. Ngoài những vấn
đề mang tính căn bản trên đây, nhiều bài toán thực tiễn liên quan đến
lĩnh vực này không được giải quyết đơn thuần như vậy. Theo xu hướng
được đặt ra từ thực tế, người ta rất quan tâm đến việc xử lý đối với
nghiệm của bài toán thuộc lĩnh vực này trong điều kiện chịu nhiều tác
động ảnh hưởng khác. Xử lý các bài toán thuộc dạng này, thường người
ta gọi chung một phương pháp “Xử lý nghiệm của phương trình vi phân

Tổng quan phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường.
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi
phân thường
1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F

x, y, y

, y

, y
(n)

= 0, (1.1)
trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian R
n+2
gồm biến độc lập x và y, là hàm của biến độc lập, cùng các đạo hàm
cấp một đến cấp n của nó.
Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao
nhất y
(n)
qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối
với y
(n)
hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương
trình (1.1) có dạng

(x)

= 0
với mọi x thuộc (a, b).
1.1.3. Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b)
nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện
y
o
= y (x
o
) , y

o
= y

(x
o
) , , y
(n−1)
o
= y
(n−1)
(x
o
) (1.3)
được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu
của bài toán Cauchy.
Định lý 1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi
phân cấp n dạng chính tắc


≤ b
5
(a, b là những số dương), hàm f thỏa mãn hai điều kiện
1) f

x, y, y

, , y
(n−1)

≤ M với mọi

x, y, y

, , y
(n−1)

∈ D;
2) hàm số f

x, y, y

, , y
(n−1)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với
y, y

, , y

≤ L

|y
2
− y
1
| + |y

2
− y

1
| + +



y
(n−1)
2
− y
(n−1)
1




,
trong đó

x, y


max

M, |y

| , ,



y
(n−1)




−1

.
Ta chứng minh định lý đối với trường hợp phương trình vi phân cấp
một.
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp một, phương trình (1.2) trở
thành
y

= f(x, y) (1.4)
và hàm số f(x, y) thỏa mãn trong hình chữ nhật D



x

− h ≤ x ≤ x
0
+ h,
với h = min

a,
b
M

, phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất y = y(x)
thỏa mãn điều kiện đầu y
0
(x) = y
0
.
Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình với các
điều kiện đã nêu. Ta dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi
phân (1.4) thỏa mãn điều kiện đầu y
0
(x) = y
0
tương đương với phương
trình tích phân sau
y = y
0
+
x

x
0

f(x, y
1
)dx,

y
n
= y
0
+
x

x
0
f(x, y
n
)dx,
7

Trong việc xây dựng dãy lặp các hàm trên, ta giới hạn sự biến thiên của
x trong đoạn |x − x
0
| ≤ h với h = min

a,
b
M

. Khi đó, dễ dàng thấy
rằng vì h ≤ a nên
|y

n
=
lim
n→∞
y
n
(x) = Y (x) (trong đó S
n
là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.6).
Ta đánh giá các số hạng của chuỗi (1.6)
|y
1
− y
0
| =






x

x
0
f(x, y
0
)dx






≤






x

x
0
|f(x, y
1
) − f (x, y
0
)| dx






.
Bởi vì
|f(x, y
1
) − f (x, y





=
MN
1 · 2
|x − x
0
|
2
. (1.8)
Tương tự, ta có
|y
3
− y
2
| =






x

x
0
{f(x, y
2


≤
MN
2
1 · 2






x

x
0
(x − x
0
)
2
dx






.
Từ đó suy ra
|y
3

n+1
− y
n
| =






x

x
0
|f(x, y
n
) − f (x, y
n−1
)| dx






≤ N









x

x
0
|x − x
0
|
n
dx






=
MN
n
(n + 1)!
|x − x
0
|
n+1
.
Điều đó chứng tỏ rằng ta có bất đẳng thức (1.10) với mọi n ∈ N.
Nếu trong bất đẳng thức (1.10) ta thay |x − x

Điều đó, chứng tỏ rằng, chuỗi (1.11) hội tụ vì
lim
n→∞
u
n+1
u
n
= lim
n→∞
Nh
n + 1
= 0 < 1.
Vì vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi (1.6) hội tụ đều trên đoạn
|x − x
0
| ≤ h. Mỗi số hạng của chuỗi (1.6) đều là hàm theo cận trên, nên
liên tục theo x. Từ đó suy ra rằng giới hạn
Y (x) = lim
n→∞
y
n
(x),
tồn tại và là hàm liên tục đối với x.
Bước 3. Ta còn phải chứng minh rằng hàm số Y (x) là nghiệm của phương
trình tích phân y = y
0
+
x

x

n−1
)dx.
Bởi vì hàm f(x, y) liên tục đều đối với y trong D, nên với ε > 0 cho
trước, tồn tại số δ > 0 sao cho ta có bất đẳng thức
|f(x, y

) − f (x, y

)| < ε, (1.12)
với mọi cặp điểm (x, y

), (x, y

) ∈ D mà |y

− y

| < δ. Mặt khác, vì
y
n
(x) → Y (x) cho nên tồn tại số n
0
sao cho với mọi n − 1 > n
0
và với
mọi x ∈ [x
0
− h, x
0
+ h] thì





≤






x

x
0
f(x, y
n−1
)dx − f (x, Y )






≤ εh.
Vì ε là số dương nhỏ tùy ý, nên
lim
n→∞
x


dx
= f(x, Y ),
nghĩa là Y (x) là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (1.4). Như
vậy, ta đã chứng minh xong phần thứ nhất của định lý.
Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của nghiệm phương trình đã
cho. Giả sử rằng ngoài nghiệm Y (x) của phương trình đã cho còn có
nghiệm Z(x) cũng thỏa mãn điều kiện đầu Z(x
0
) = y
0
. Không mất tính
tổng quát, ta có thể giả thiết rằng Y (x) = Z(x) trong một khoảng nhỏ
tùy ý phía bên phải x
0
. Ta sẽ chứng minh rằng điều đó dẫn đến mâu
thuẫn. Lấy số dương ε <
1
N
. Theo giả thiết phản chứng, trong đoạn
x
0
≤ x ≤ x
0
+ ε không phải khắp nơi ta đều có Y (x) = Z(x). Vì vậy
hàm số liên tục |Y (x) − Z(x)| đạt cực đại θ > 0 tại một điểm nào đó
ξ ∈ [x
0
, x
0
+ ε] (đương nhiên ξ = x

ξ

x
0
|Y (x) − Z(x)| dx
≤ N
x
0
−ε

x
0
θdx = N εθ. (1.15)
Do θ = 0 nên từ (1.15) ta suy ra ε >
1
N
trái với cách chọn ban đầu. Điều
đó, chứng tỏ rằng Y (x) ≡ Z(x) trên toàn đoạn [x
0
− h, x
0
+ h]. Định lý
đã được chứng minh xong.
Chú ý. Nếu các đạo hàm
∂f
∂y
,
∂f
∂y


sao cho
|f(z)| ≤ M |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D.
Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì
f(z) = O(g(z)); khi z → z
0
nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho




f(z)
g(z)




≤ M; với mọi z ∈ U ∩ D.
Trường hợp đặc biệt, hàm
f(z) = O(1); khi z → z
0
.
Điều đó, nghĩa là hàm f(z) bị chặn khi z tiến tới z
0
.
Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thương được gọi là hàm cỡ bởi vì
hàm đó xác định dáng điệu của hàm f(z) khi z → z
0
.

= 0.
14
(iii) Bậc tương đương. Ta nói f(z) có bậc tương đương với hàm
g(z) khi z → z
0
và kí hiệu là f(z) ∼ g(z) khi z → z
0
nếu
lim
z→z
0




f(z)
g(z)




= 1
hay
f(z) = g(z) + o (g(z)) khi z → z
0
.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số f(t) = 5t
2
+ t + 3. Ta có các so sánh về bậc như
sau

) và x
n
∼ 5n
2
; khi n → ∞.
(ii) Người ta cũng thường sử dụng kí hiệu f (z)  g(z); khi z → z
0
đồng nghĩa với f(z) = o(g(z)); khi z → z
0
.
1.2.2. Dãy tiệm cận
Định nghĩa 1.2. Một dãy hàm {φ
n
(z)} được gọi là một dãy tiệm cận
khi z → z
0
nếu có một lân cận của z
0
sao cho trong lân cận này không
15
một hàm nào triệt tiêu (có thể trừ tại z
0
) và với mọi n ta có
φ
n+1
= o(φ
n
); khi z → z
0
.

n
φ
n
(z) +
được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f (z) tương ứng với dãy
tiệm cận {φ
m
(z)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, . . .
f(z) −
m

n=0
a
n
φ
n
(z) = o(φ
m
(z)); khi z → z
0
.
Từ biểu thức trên ta nhận được
f(z) −
m−1

n=0
a
n
φ
n

m−1

n=0
a
n
φ
n
(z)

.
1
φ
m
(z)

.
16
Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết
f(z) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(z).
Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ
tiệm cận của hàm f(z). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và
chúng ta thường viết f(z) ∼ a

n=1
z + 1
z
2n
.
Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ.
Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ nếu
−
1
2
π + δ ≤ ph(z) ≤
1
2
π − δ; với 0 < δ <
1
2
π,
thì hai hàm
1
z + 1
,
1
z + 1
+ e
−z
có cùng khai triển tiệm cận
∞

n=1
(−1)

0
f(x) − a
1
φ
1
(x)
φ
2
(x)

a
N
= lim
x→x
0
f(x) −
N−1

n=1
a
n
φ
n
(x)
φ
N
(x)
.
Tính không duy nhất. Với một hàm f(x) có thể có nhiều khai triển tiệm
cận khác nhau. Chẳng hạn, khi x → 0,

(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
,
thì
f(x) + e
−
1
(x−x
0
)
2
∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
(do e
−
1

g(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
.
Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng
khác nhau bởi các hàm trôi nhỏ. Chẳng hạn, hàm e
−x
là trội nhỏ so với
18
một chuỗi tiệm cận có dạng
∞

n=0
a
n
x
−n
; khi x → +∞
và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f(x) + e
−x
cũng vậy,
nghĩa là f(x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm
mũ nhỏ.

n
và
∞

n=0
b
n
· (x − x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
, chúng là như nhau. Hơn nữa, tính duy nhất của
khai triển tiệm cận nghĩa là a
n
= b
n
với mọi n, nghĩa là các hệ số của
các luỹ thừa của x − x
0
trong (1.16) là bằng nhau.
Các phép toán đại số. Giả sử
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
φ

0
)
n
, các phép toán đó được thực
19
hiện như sau
f(x) · g(x) ∼
∞

n=0
c
n
(x − x
0
)
n
;
với c
n
=
n

m=0
a
n
b
n−m
và nếu b
0
= 0, d

d
m
b
n−m
b
0
.
Tích phân của khai triển tiệm cận. Một chuỗi lũy thừa tiệm cận có thể
lấy tích phân từng số hạng (nếu f(x) khả tích gần x = x
0
). Vì vậy, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
thì
x

x
0
f(t)dt ∼
∞


khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy
thừa tiệm cận khi x → x
0
. Tuy nhiên f

(x) và
g

(x) = f

(x) − 2(x − x
0
)
−3
cos e
1
(x−x
0
)
2
+ 2(x − x
0
)
−3
e
−
1
(x−x
0

(x) ∼
∞

n=0
na
n
(x − x
0
)
n−1
; khi x → x
0
.
Đặc biệt, nếu f(x) là giải tích trên một miền nào đó thì nó có thể đạo
hàm từng số hạng của khai triển tiệm cận của f(x). Nhắc lại rằng một
hàm số thực f(x) được gọi là giải tích tại x = x
0
nếu nó có thể biểu
diễn bởi một chuỗi luỹ thừa của x − x
0
với bán kính hội tụ khác không.
Chẳng hạn
1
x − 1
∼
1
x
+
1
x