Bộ giáo dục và đào tạo
TRờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI 2


Trần thị hải hậu

Phát huy tính tích cực của học sinh
thông qua việc dạy giải một số
dạng toán số học ở tiểu học
LUậN VĂN THạC Sĩ giáo dục HọCHà Nội, 2009 Bộ giáo dục và đào tạo
TRờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI 2


Hà Nội, ngày 8 tháng 9 năm 2009
Trần Thị Hải Hậu Lời cảm ơn

Đợc học tập và tiếp cận với các thầy cô, đồng nghiệp cùng với kiến
thức khoa học rộng mở là điều mà bản thân tôi cảm thấy hạnh phúc nhất.
Tất cả đã tạo cho tôi một cách nhìn khoa học về các sự vật, hiện tợng và thêm
niềm tin vào cuộc sống.
Xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô Trờng Đại học S Phạm Hà Nội 2,
cảm ơn Quý thầy cô Phòng Sau đại học đã cho bản thân tôi những kiến thức
quý báu làm hành trang để tôi tự tin, vững bớc vào đời.
Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, nguyên cán bộ giảng
dạy khoa Toán - Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tận tình hớng dẫn.
Trong suốt quá trình làm việc nghiên cứu, thầy đã chỉ cho tôi từng đờng đi,
nớc bớc trong nghiên cứu khoa học. Qua đó, tôi có thêm sự hiểu biết và
tự tin hơn trong quá trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn tấm lòng và sự nhiệt tình hớng dẫn của Thầy.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cảm ơn nhiều nhà khoa học nh:
TS Khuất Văn Ninh, TS Nguyễn Văn Hùng, TS Nguyễn Năng Tâm,
TS Kiều Văn Hng, khoa Toán Trờng Đại học S Phạm Hà Nội 2 đã góp cho
tôi có thêm kiến thức để hoàn thành luận văn của mình.
Và tôi cũng xin cảm ơn sâu sắc sự động viên, chia sẻ, giúp đỡ về cả
tinh thần, vật chất của gia đình, ngời thân và bạn bè trong những lúc tôi gặp
khó khăn, trở ngại trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

7. Dự kiến cấu trúc luận văn4
PHầN II. NộI DUNG6
CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN6
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học6
1.2 Một số yếu tố toán học hiện đại10
1.3 Đặc điểm cấu trúc nội dung môn Toán Tiểu học21
1.4 Thực tế việc dạy học giải một số dạng toán số học ở Tiểu học

24
1.5 Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực của học sinh
2.6 Dạng toán về cấu tạo thập phân của số62
2.7 Dạng toán về chữ số tận cùng71
2.8 Dạng toán định tính76
2.9 Những sai lầm thờng gặp khi giải một số dạng toán số học và
cách khắc phục
80

Chơng 3: Thực nghiệm93
Phần III. Kết luận

101
Tài liệu tham khảo
103
1
PHầN I. Mở ĐầU

những cơ sở ban đầu, rất quan trọng của nhân cách con ngời Việt Nam.
Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn toán có vị trí
quan trọng, vì:
- Các kiến thức, kĩ năng của môn toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng
trong đời sống; chúng rất cần thiết cho ngời lao động, rất cần thiết
để học các môn học khác ở Tiểu học và học tập tiếp môn toán ở
Trung học.
- Môn toán giúp học sinh nhận biết các mối quan hệ về số lợng và
hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có
phơng pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và
biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống.
- Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phơng pháp
suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề;
nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập,

linh hoạt, sáng tạo; nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất
cần thiết và quan trọng của ngời lao động nh: cần cù, cẩn thận, có
ý thức vợt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong
khoa học.
Trong chơng trình toán Tiểu học, cùng với việc học các kiến thức về
hình học, đại lợng học sinh còn đợc học các kiến thức về số học.
Các kiến thức số học không đợc dạy thành môn riêng mà nó là một bộ phận
gắn bó mật thiết với các kiến thức hình học, đại số, đại lợng, giải toán
tạo thành một môn học thống nhất. Các kiến thức này hỗ trợ, bổ sung

cho nhau, góp phần phát triển toàn diện năng lực Toán học cho học sinh.
3
Các bài toán số học rất đa dạng, phong phú với nhiều dạng khác nhau.
Vấn đề đặt ra là phải phân loại và đa ra phơng pháp giải cho từng dạng
cụ thể, giúp học sinh giải các bài toán đó một cách tích cực, góp phần

tâm lí học trong dạy học đồng thời phân loại đợc một số dạng toán số học và
đa ra phơng pháp giải cho từng dạng, sẽ phát huy đợc tính tích cực của
học sinh Tiểu học thông qua việc giải một số dạng toán số học. Từ đó
nâng cao năng lực t duy Toán học và kĩ năng giải toán cho học sinh, góp
phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán ở Tiểu học.
7. Dự kiến cấu trúc luận văn
Phần I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
4. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học.
7. Dự kiến cấu trúc luận văn.
Phần II. Nội dung
Chơng 1: Cơ sở lí luận
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học.
1.2 Một số yếu tố Toán học hiện đại.
1.3 Đặc điểm cấu trúc nội dung môn toán Tiểu học.
1.4 Thực tế việc dạy học giải một số dạng toán số học ở Tiểu học.
1.5 Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
Chơng 2: Dạy học một số dạng toán số học theo hớng phát huy tính
tích cực của học sinh
2.1 Dạng toán về viết số, tìm chữ số.
5
2.2 Dạng toán thực hiện một dãy các phép tính.
2.3 Dạng toán tìm một số khi biết kết quả sau một dãy phép tính
liên tiếp.
2.4 Dạng toán tìm số trung bình cộng.
2.5 Dạng toán tìm hai số biết tổng, hiệu hoặc tỉ số của chúng.

T duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm u thế ở t duy trực quan
hành động.
Các phẩm chất t duy chuyển dần từ tính cụ thể sang t duy trừu tợng
khái quát.
Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi, lớp 4, 5 bắt đầu
biết khái quát hóa lí luận. Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức
còn sơ đẳng ở phần đông học sinh Tiểu học.
7
1.1.2.2 Tởng tợng
Tởng tợng của học sinh Tiểu học đã phát triển phong phú hơn so với
trẻ mầm non nhờ có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dày dạn.
Tuy nhiên, tởng tợng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật sau:
ở đầu tuổi Tiểu học thì hình ảnh tởng tợng còn đơn giản, cha
bền vững và dễ thay đổi.
ở cuối tuổi Tiểu học, tởng tợng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện,

từ những hình ảnh cũ trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới. Tởng tợng
sáng tạo tơng đối phát triển ở giai đoạn cuối tuổi Tiểu học, trẻ bắt đầu
phát triển khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh, Đặc biệt, tởng tợng của
các em trong giai đoạn này bị chi phối mạnh bởi các xúc cảm, tình cảm,
những hình ảnh, sự việc, hiện tợng đều gắn liền với các rung động tình cảm
của các em.
Qua đây, các nhà giáo dục phải phát triển t duy và trí tởng tợng của
các em bằng cách biến các kiến thức "khô khan" thành những hình ảnh có
cảm xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở, thu hút các em
vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em có cơ hội phát triển
quá trình nhận thức lí tính của mình một cách toàn diện.
1.1.3 Ngôn ngữ và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
Hầu hết học sinh Tiểu học có ngôn ngữ nói thành thạo. Khi trẻ vào
lớp 1 bắt đầu xuất hiện ngôn ngữ viết. Đến lớp 5 thì ngôn ngữ viết đã

thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc
trong khoảng thời gian quy định.
Biết đợc điều này các nhà giáo dục nên giao cho trẻ những công việc
hay bài tập đòi hỏi sự chú ý của trẻ và nên giới hạn về mặt thời gian. Chú ý
áp dụng linh động theo từng độ tuổi đầu hay cuối tuổi Tiểu học và chú ý đến
9
tính cá thể của trẻ, điều này là vô cùng quan trọng và ảnh hởng trực tiếp đến
kết quả giáo dục trẻ.
1.1.5 Trí nhớ và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
Loại trí nhớ trực quan hình tợng chiếm u thế hơn trí nhớ từ ngữ lôgic
Giai đoạn lớp 1, 2 ghi nhớ máy móc phát triển tơng đối tốt và chiếm
u thế hơn so với ghi nhớ có ý nghĩa. Nhiều học sinh cha biết tổ chức việc
ghi nhớ có ý nghĩa, cha biết dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, cha biết cách
khái quát hóa hay xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu.
Giai đoạn lớp 4, 5 ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ đợc

tăng cờng. Ghi nhớ có chủ định đã phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc
ghi nhớ có chủ định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố nh mức độ tích cực
tập trung trí tuệ của các em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lí
tình cảm hay hứng thú của các em
Nắm đợc điều này, các nhà giáo dục phải giúp các em biết cách
khái quát hóa và đơn giản mọi vấn đề, giúp các em xác định đâu là nội dung
quan trọng cần ghi nhớ, các từ ngữ dùng để diễn đạt nội dung cần ghi nhớ phải
đơn giản dễ hiểu, dễ nắm bắt, dễ thuộc và đặc biệt phải hình thành ở các em
tâm lí hứng thú và vui vẻ khi ghi nhớ kiến thức.
1.1.6 ý chí và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
ở đầu tuổi Tiểu học hành vi mà trẻ thực hiện còn phụ thuộc nhiều vào
yêu cầu của ngời lớn (học để đợc bố cho đi ăn kem, học để đợc cô giáo
khen, quét nhà để đợc ông cho tiền, ). Khi đó, sự điều chỉnh ý chí đối với
việc thực thi hành vi ở các em còn yếu. Đặc biệt các em cha đủ ý chí để

Lớp tập hợp đợc kí hiệu bằng chữ in hoa (A, B, C).
1.2.1.2 Đại số tập hợp
* Định nghĩa: Một lớp tập hợp C



đợc gọi là một đại số tập hợp
hay đơn giản là một đại số, nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
11
i, Nếu A

C thì X\ A

C;
ii, Mọi họ hữu hạn bất kỳ (A
j
)
1
n
j


C (n

N
*
) thì
1
n
j

j

X


1
n
j

A
j
= X\(X\
1
n
j

A
j
) = X\(
1
n
j

(X\A
j
))
A
j

C (theo giả thiết)

j

A
j

C.
2) Nếu A, B

C

A\B

C, B\A

C.
Thật vậy: A\B = A

(X\B) mà A

C, X\B

C (theo định nghĩa)


A

(X\B)

C




C

X

C
Định lý: Giả sử lớp M



gồm những tập con nào đấy của tậ
p X
(nói chung không phải là một đại số). Khi đó tồn tại duy nhất một đại số
C (M): C (M)

M và

C

M

C (M)

C
,
.
Đại số C (M) đợc gọi là đại số sinh bởi M
12
1.2.1.3

n



A
n


F .
Nhận xét: Ta nhận thấy một

- đại số cũng là một đại số.
Do đó

- đại số F có các tính chất của một đại số. Ngoài ra một

- đại số có tính chất sau:
Tính chất 5:

(A
n
)
1n




F

1

Tập thơng X/

gọi là tập hợp các giá trị của đại lợng (X,

):
Với x

X, giá trị của x theo đại lợng (X,

) kí hiệu là
x
và
x

X/

.
Với x, y

X, ta nói x có cùng giá trị theo đại lợng (X,

) với y khi và
chỉ khi x

y.
Ví dụ: Gọi A là tập hợp các đoạn thẳng. Với x, y

A , x

y nếu x có

, x

y nếu
x không dài hơn y. Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phần tử
đại diện của hai lớp
x
,
y
. Quan hệ

là quan hệ thứ tự toàn phần trong A /

.
Vậy (A ,

,

) là một đại lợng vô hớng.
b. Đại lợng cộng đợc
Ta gọi là một đại lợng cộng đợc (X,

) sao cho X/

là một vị nhóm
cộng giao hoán. Kí hiệu (X,

,+).
Ví dụ: Quan hệ bằng nhau (toàn đẳng)

b
. Việc xác định a + b
không phụ thuộc vào lấy đờng thẳng

.
(E,

,+) là một nhóm cộng giao hoán. Do đó (E,

,+) là một đại lợng
cộng đợc.
c. Đại lợng vô hớng cộng đợc
Ta gọi là đại lợng vô hớng cộng đợc một đại lợng (X,

) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i/ Có quan hệ

trong X/

sao cho (X,

,

) là một đại lợng

vô hớng;
ii/ Có phép cộng trọng X/

sao cho (X,

, trên tia 0

lấy OA

a
, OB

b
, nếu và chỉ nếu điểm B
trùng với điểm A hoặc điểm B không thuộc đoạn OA.
Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn tia 0

.
Ta có: (E,

,

) là một đại lợng vô hớng.
(E,

,+) là một đại lợng cộng đợc.
(E,

,+,

) là một nhóm cộng sắp thứ tự Acsimet mà mọi phần tử
khác không đều dơng.
(E,

e

G m(e)=1
ii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)
iii,

a,b

G
M
(a+b) = m(a) + m(b)
iiii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)


) = 0;
iii, (

A
n
)
1n



C thỏa mãn A
n

A
k
=

, (n

k),
1
n



A
n

C đều có

X
n
, X
n

C, m(X
n
)<+

, thì
m gọi là độ đo

- hữu hạn.
Ví dụ: C =2
x
gồm tất cả các tập con của tập X, x
0

X là phần tử cố định
(

A

C) đặt m(A) = 1, nếu x
0

A, m(A) = 0, nếu x
0

A.

)
1n



C, A

C sao cho A

1
n



A
n
thì
m(A)

1
n



m( A
n
).
Tính chất 4: (

A




m( A
n
)

m(A) .
Tính chất 5: Nếu dãy (

A
n
)
1n



C , mà m( A
n
) = 0,
1
n



A
n

C ,
1



A
n

,
1
n



A
n

C , thì m(
1
n



A
n
=
lim
n

m( A
n
)).
Tính chất 8: Nếu (

A
n
) =
lim
n

m( A
n
)).
Tính chất 7 và 8 đợc gọi là tính chất liên tục của độ đo.
1.2.3.3 Thác triển độ đo
* Độ đo ngoài: Cho X là một tập nào đó khác tập rỗng, kí hiệu 2
x
là lớp
tất cả các tập hợp con của X, M
*
là hàm tập hợp ánh xạ 2
x
vào tập số thực R,
M
*
đợc gọi là độ đo ngoài trên X, M
*
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i, (

A

X) M
*

A
n
thì M
*
(A)

1
n



M
*
( A
n
).
17
Từ định nghĩa trên ta suy ra tính chất đơn điệu sau:

A,B

C , A

B ta đều có M
*
(A)

M
*
(B).

Còn tập hợp A thỏa mãn điều kiện (b) gọi là tập M
*
- đo đợc.
Định lý thác triển độ đo: Cho m là độ đo trên đại số C trong đó C là
một lớp khác rỗng các tập con của tập X. Với mỗi tập con A của tập X ta đặt:
M
*
(A) = inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i
m C A





= inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i


C và (A

C ), M (A)=m(A), nên độ đo M =M
*
L mở rộng thực sự
độ đo m từ đại số C

- đại số L và gọi là độ đo thác triển của độ đo m.
Hơn nữa có thể chứng minh đợc L chứa

- đại số sinh bởi C :
L

F (C)

C .
* Định nghĩa độ đo đủ: Độ đo M trên tập X đợc gọi là độ đo đủ, nếu
đối với tập bất kỳ A

L có M (A)=0 đều có (

B

A), B

L , M (A)=0. Độ đo
thác triển có các tính chất sau:
Tính chất 9: Độ đo M cảm sinh bởi độ đo ngoài M
*

*
, m

2) rời nhau và hữu hạn là tổng các lực lợng của m
tập hợp cụ thể là có: A
1
, A
2
, , A
m
, mà các tập này đôi một không
giao nhau (rời nhau) thì lực lợng của hợp các tập hợp bằng tổng lực lợng
của các tập hợp đó: Card A (
1
m
k

A
k
) = Card A
1
+ Card A
2
++ Card A
m
.
Ngời tacó thể phát biểu quy tắc cộng dới dạng khác nh sau: Giả sử
có một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra thành m việc (m

N


Card B.
Tổng quát: Số lợng cách chọn 1 bộ m phần tử có thứ tự từ m tập hợp
A
1
, A
2
, , A
m
, m

N
*
, m

2 thì:
Card (A
1

A
2



A
m
) = Card A
1



2
,, A
1k
, k

2
đã đợc thực hiện thì có n
1


n
2



n
m
cách thực hiện nhiệm vụ đã cho.
1.2.4.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
a. Hoán vị
- Hoán vị của 1 tập hợp các đối tợng khác nhau là 1 cách sắp xếp có
thứ tự các đối tợng đó, nói cách khác ta gọi là 1 hoán vị của n phần tử n

N
*

là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử đợc
kí hiệu:
P
n

n) của tập hợp n phần tử đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Kí hiệu:
20
A
k
n
= n

(n - 1)(n k + 1) = n! : (n - k)!
- Ví dụ: Tìm tất cả các số có 5 chữ số từ các số tự nhiên từ 1 đến 9.
áp dụng công thức ta có:
A
5
9
=
9! 9! 9 8 7 6 5 4!
(9 5)! 4! 4!



9

8

7

6

5 = 15120 (cách).
c. Tổ hợp

18! 18!
11! (18 11)! 11! 7!


31824 (cách).
1.2.4.3 Các phơng pháp đếm khác
a. Nguyên lí bù trừ
Giả sử một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra thành hai việc, hai việc đó có
thể làm đồng thời. Số cách thực hiện nhiệm vụ đã cho bằng tổng số cách làm
mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc hay nói
cách khác nếu không giả thiết gì về sự rời nhau giữa hai tập hợp A và B thì:
|A

B| = |A| + |B| - |A

B|
Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dơng có bốn chữ số khác nhau thành
lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9 sao cho mỗi số đó hoặc chia hết cho 2 hoặc
chia hết cho 5.