6

Mở Đầu
1. Lý do chn ti:
Các đối tợng vật lí tác động lẫn nhau thông qua bốn loại tơng tác cơ bản
nhất tạo nên bức tranh vũ trụ của chúng ta đó là: tơng tác mạnh, tơng tác yếu,
tơng tác điện từ và tơng tác hấp dẫn. Xây dựng một lý thuyết thống nhất các
tơng tác sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất các hiện tợng, các mối
quan hệ động lực, từ đó tiên đoán đợc hàng loạt các hệ quả mới.
Một phơng hớng hiện nay đợc xem có nhiều triển vọng nhất để xây
dựng lý thuyết đại thống nhất là Lý Thuyết Dây đợc hình thành vào những năm
1968 đến 1973. Sự ra đời của Lý Thuyết Dây là một phát minh có tầm quan trọng
đặc biệt trong vật lý các hạt cơ bản. Đến đây các hạt cơ bản không đợc xem nh
các hạt điểm nữa mà đợc xem nh các sợi dây chuyển động trong không - thời
gian, khi ấy nó quét lên một mặt gọi là lá thế. Nền tảng của Lý Thuyết Dây
chính là lý thuyết trờng lợng tử mô tả động lực học của dây trên lá thế.
Có thể nghiên cứu lí thuyết dây thông qua công cụ đại số dây. Xây dựng
đợc mô hình cấu trúc đại số dây từ đó phát hiện đợc các tính chất xác lập phân
loại mô hình lý thuyết dây. Đề tài Cấu trúc đại số dây nghiên cứu một cách có
hệ thống đại số dây và đại số dây biến dạng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng đợc đại số dây và các biểu diễn của chúng
- Xây dựng đợc đại số dây biến dạng
- a ra biu din dao ng -q v dao ng Para-Boson ca i s dây
7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu và viết tổng quan về lý thuyết dây.
- Nghiên cứu đại số dây và các biểu diễn của chúng.
- Xây dựng đại số dây biến dạng không dị thờng, có dị thờng và đại số
dây biến dạng -R(q).


() phụ thuộc vào thông số
nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số
Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều, = 0,1,2, D - 1.
Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với metric.


v
= diag (1,-1,,-1)
Đợc mô tả bởi tác dụng:






v
v
1
x.x)(edS
(1.1)

1
2
đờng thế
x

(

)


2
1
'
' ( ) . .
'
v
v
d d
d e x x
d d







1
' ( ) .
'






v
v
x.xdS
(1.2) 10

Phơng trình Euler - Lagrange áp dụng với x

.
0
)x(
L
x
L










= ,
1
=
1
2
Lá thế
X

(,)

11

Đa vào các metric tensor trên lá thế h

và h

với các tính chất.
h

= h

, h

= h

, h

h

=








dới tác dụng của phép biến đổi tổng quát




= f

() (1.4)
Chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng








X.Xhhd
2
1
S
2
(1.5)

Vì lúc này:

h.hh)(.h)((hh
12

Nh vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thông số và
đối xứng Weyl (1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor
h

theo metric Minkowski

hai chiều:
h

=

= diag (1, -1)
Vậy chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng









X.Xd
2
1





vào tác dụng (1.7), ta đợc phơng trình chuyển động

0X)(X
22





(1.8)
Đó là phơng trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dới
dạng:

)(X)(X)(X
LR


(1.9)
13

trong đó

R
X
mô tả các mode chuyển động phải,


1
x
2
1
)(X
(1.11)



n
)(in
nL
e
n
1
2
i
)(p
2
1
x
2
1
)(X




n
in

nn
(1.12)
Với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn:

),(X),(X

(1.13)
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.13) có dạng
khai triển nh sau:





2,1n
)(in2
nR
e
n
1
2
i
)(p
2
1
x
2
1
)(X
(1.14)

e
~
ee
n
1
2
i
px)(X

Chú ý rằng trong trờng hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo


n

ứng với chuyển động phải, và


n
~
ứng với chuyển động trái.
Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của X



X


và
X


Trong ú ta ký hiu


p
0

15

Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có:
 






in2
n
in2
n
n
int2
e
~
eeX


 




v
X
v

+ a

(1.17)
§èi víi l¸ thÕ th× phÐp biÕn ®æi nµy cã tÝnh toµn côc (c¸c th«ng sè A

v
vµ
a

kh«ng phô thuéc 

), vµ tÝnh bÊt biÕn PoincarÐ g¾n liÒn víi c¸c dßng Noether
trªn l¸ thÕ. Ph¬ng thøc x©y dùng c¸c dßng Noether trªn l¸ thÕ tæng cã thÓ tãm
t¾t nh sau:
XÐt phÐp biÕn ®æi trêng  () d¹ng:
()  ’()

= () + .()

(1.18)
trong ®ã  lµ mét th«ng sè cùc vi.
16

Tác dụng S đợc giả thiết là bất biến (S = 0) đối với phép biến đổi toàn
cục ( không phụ thuộc ). Đối với phép biến đổi định xứ ( = ()), một cách



0)(.Jd
)(2

Mặt khác, ta có:








)(.Jd))(.J(d)(.Jd
)(2)(2)(2

= -





)(.Jd
)(2

Từ đây suy ra:
)(
J




  
2 2
1 1
. .
2
d X X d X a
   
     
 
 
     
 

VËy:
2
1
.
S d X a
 
 
 

  



(1.20)
tính bảo toàn của
0P,P





suy ra ngay từ phương trình chuyển động (1.8).
Xung lượng của dây P

đợc định nghĩa là:






 Xd
1
PdP
00
0

(1.21)
thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.14) và chú ý rằng:
no
0
ncosd 



xem

v
nh

v
() ta cú:








''2
X.Xd
2
1
'S







2
1
( )
2
v v
v
d X X X X







Từ đây ta có thể đặt:

)XXXX(
1
MJ
vvv
)(
v










(1.23)
Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.15), (1.16), (1.17)
19

chú ý rằng








0
m,nm,n
0
)(
2
.mcos.ncosd

n,m Z, ta có:









n
v
n
v
nnn
v
n
v
nn
vvv
)
~~~~
(
n
1
ipxpxM
(1.25)
cho dây đóng.
1.4. Lợng tử hoá dây boson
Tiến hành lợng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng nh sau:

)'(i)]',(),,(X[
vv


(1.26)
0)]',(X),,(X[
v






),0(',0
'0),'(f
)'()(fd
0
(1.27)
ta có thể sử dụng các biểu thức khai triển khác nhau của ( - ) nh sau:






n
)'(in
e
2
1
)'(
(1.29)







n






(1.30)
và các hệ thức (1.26) sẽ thành:

[ ( , ), ( , ')] ( ')
v v
X X i





[ ( , ), ( , ')] 0
v
X X




(1.31)
21

Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm đợc các hệ thức
giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo






Ngoài ra, các hệ thức giao hoán với x

, p

là:

vv
.i]x,p[


,
0]p,p[]x,x[
vv


(1.34)
0]
~
,p[],p[]
~
,x[],x[
v
m
v
m
v
m





(1.37)

22

Chú ý đến các tính chất sau đây của

T
T
=

T
,
0T


,
0T


(1.38)
Từ tensor

T
23 Chơng Ii: đại số dây
2.1 Xây dựng đại số dây
Từ tensor năng - xung lợng

T
(1.37) ta lập các toán tử
L
n
00 01
0
1
( cos cos ),
in
e d T n iT n n Z







(2.1)

T
10


thay vào đây các biểu thức khai triển (1.15) và (1.16), ta tính đợc:
L
n
,
1
2
n k n k
k
L








(2.2)
với dây mở, và
L
n
nn
L
~
L




Bây giờ hãy xem


n
,


n
~
với n > 0 nh các toán tử huỷ,



n
,



n
~
nh các
toán tử sinh, và định nghĩa lại
nn
L
~







Ta hãy tính giao hoán tử [L
n
, L
m
]
Trớc hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là
một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có:
]F,[]F:,[:
v
nm
v
nm



Và do đó có thể viết:
25

[L
n
, L
m
] =
],[

n m





(2.7)
Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình thờng chỉ với L
0

mà thôi, vì khi n0 ta có:





kkn,kn,k

Nh vậy, trong trờng hợp n + m 0 phơng trình (2.7) cho ta:
[L
n
, L
m
] =


Lúc này, từ định nghĩa của L
n
ta có:
L
n
0 = 0, n > 0 (2.11)
Mặt khác, từ (28.9) ta có
[L
n
, L
m
] =2nL
0
+ A(n) (2.12)
Để xác định ta xem n > 0. Lấy trung bình hai vế của (2.12) theo trạng thái
0, chú ý tới (2.11), ta có:

)n(A0L0n20LL0
0nn


(2.13)
để tính
0LL0
nn
ta tiến hành nh sau: Với n > 0 ta có:









0
c
p
2
2
1
1n
1k
kn,kn


















(2.14)
27

Các số hạng ở vế phải (2.14) tính nh sau:
2v
vn
v
nn
v
nv
np)n(pp0][00pp0





1
, 1 1 ,
, 1
0 0
n
v
v n k n k
k l



n
n k n k
k
k







1
,
1
2 0 , 0
n
n k n k
k
k









2
)1n2)(1n(n
6
1
k

Nh vậy, ta tính đợc:

)1n(n
12
D
p
c
n
0LL0
22
2
nn


(2.15)
Tiếp theo, ta có:
0 0 0
8
1 1
0 0 0 : : 0 0 0
2 2
k k
k
L

mnmn
)1n(n
12
D
L)mn(]L,L[


(2.18)
Với
n
L
~
cũng hoàn toàn nh vậy:

0,mn
2
mnmn
)1n(n
12
D
L
~
)mn(]L
~
,L
~
[


(2.19)

n



và do đó không thể xem là các trạng thái vật lý. Không gian các trạng thái vật lý
chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thoả mãn một số
điều kiện nhất định. Trớc hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0. Một trạng thái
29

vật lý cũng phải thoả mãn các phơng trình suy ra từ phơng trình chuyển
động.
Nh sẽ trình bày ở các chơng sau, các phơng trình này có dạng:
(L
0
- a
0
) = 0 (2.20)
L
n
= 0 , n > 0
đối với dây mở, và
(L
0
- a
0
) = 0, (
0
L
~
- a

kk
2
8k
kk0
p
2
1
::
2
1
L
(2.22)
và phơng trình (2.20) cho:















1k
kk0

1 2
( )
~ 0
p p
p
n n n
n n n






(2.25)
là trạng thái riêng của toán tử M
2
cùng với giá trị riêng
0
1
2
i
k
a n


2
0
1
1
8
k k
k
L p








(2.27)







1k
kk
2
0
~~
p