1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài khóa luận
Trong chương trình Toán ở bậc ñại học, chúng ta ñã ñược nghiên cứu về
các cấu trúc ñại số như nửa nhóm, nhóm, vành, trường trong ñó, ba cấu trúc
nhóm, vành, trường thường gặp trên những tập hợp số có mặt trong chương trình
phổ thông từ cấp Tiểu học, Trung học cơ sở ñến Trung học phổ thông. Các cấu
trúc ñại số này có mối quan hệ mật thiết với nhau. ðể so sánh các cấu trúc ñại số
cùng loại, ta có một công cụ là ñồng cấu, chẳng hạn ñể so sánh cấu trúc giữa hai
nửa nhóm ta có ñồng cấu nửa nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai nhóm ta có ñồng
cấu nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai vành ta có ñồng cấu vành ðồng cấu nối một
cấu trúc này với một cấu trúc khác, là một công cụ quan trọng ñể nghiên cứu một
cấu trúc qua quan hệ với một cấu trúc khác. Các ñồng cấu có mối quan hệ mật
thiết với nhau và có nhiều ứng dụng trong việc giải một số bài toán ñại số.
ðể tìm hiểu cấu trúc của cấu trúc X, người ta thường tìm cách thiết lập
một ñồng cấu giữa cấu trúc X và một cấu trúc Y quen biết. Nếu ñồng cấu tìm
ñược là một ñẳng cấu thì có thể coi X là một “nhân bản” của Y về mặt cấu trúc.
Nếu ñồng cấu chỉ là một ñồng cấu tầm thường thì quan hệ giữa X và Y cũng chỉ
là một quan hệ tầm thường, không mang lại một thông tin mới nào về X.
Nếu ta thiết lập ñược một ñẳng cấu giữa hai cấu trúc hữu hạn, ta sẽ suy ra
ñược số phần tử của cấu trúc này bằng số phần tử của cấu trúc kia. Như vậy, ta
ñã tính ñược số phần tử của một cấu trúc ñại số rất khó khảo sát thông qua việc
tính số phần tử của một cấu trúc rõ ràng hơn.
Hơn nữa, việc thay một phép toán phức tạp bằng một phép toán ñơn giản
hơn là một lợi ích lớn mà khái niệm ñẳng cấu mang lại. Chẳng hạn, xét ñẳng cấu:
*
log :
log
x x
+

ấ
t ph
ứ
c t
ạ
p) b
ằ
ng phép c
ộ
ng.
C
ụ
th
ể

ñể
nhân hai s
ố
th
ự
c d
ươ
ng x và y v
ớ
i nhau, ta l
ấ
y logarit c
ơ
s
ố

ñồ
ng c
ấ
u còn nhi
ề
u
ứ
ng d
ụ
ng khác nh
ư
ch
ứ
ng minh tính
ch
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t c
ấ
u trúc
ñạ
i s
ố
nào
ñ
ó, tính s
ố

ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c…
Là m
ộ
t sinh viên s
ư
ph
ạ
m Toán, trên c
ơ
s
ở

ñ
ã
ñượ
c trang b
ị
nh
ữ
ng ki
ế
n
th
ứ
c n

ng m
ố
i liên h
ệ
,
ñồ
ng th
ờ
i tìm nh
ữ
ng
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a
ñồ
ng c
ấ
u
trong m
ộ
t s
ố
v
ấ
n
ñề
c

ệ
p
ñạ
i h
ọ
c c
ủ
a mình.
2. Mục tiêu khóa luận
•
Phân tích và trình bày m
ộ
t cách h
ệ
th
ố
ng m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ủ
a
ñồ
ng
c
ấ
u nhóm,

ñồ
ng c
ấ
u mô
ñ
un.
• ðư
a ra m
ộ
t s
ố

ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a
ñồ
ng c
ấ
u nhóm,
ñồ
ng c
ấ
u vành và
ñồ
ng
c
ấ

ñồ
ng c
ấ
u
vành

và
ñồ
ng c
ấ
u mô
ñ
un.
•
Xây d
ự
ng m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u gi
ữ
a hai c
ấ
u trúc
ñạ
i s
ố


4. Phương pháp nghiên cứu

ðể
th
ự
c hi
ệ
n khóa lu
ậ
n này, chúng tôi ch
ủ
y
ế
u s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
nghiên c
ứ
u lí lu
ậ
n. D
ự
a theo ph
ươ
ng

ấ
u nhóm,
ñồ
ng c
ấ
u vành và
ñồ
ng c
ấ
u mô
ñ
un mà tr
ọ
ng tâm là các
ñị
nh lí v
ề

thi
ế
t l
ậ
p
ñẳ
ng c
ấ
u. T
ừ

ñ

un. Ti
ế
p theo, d
ự
a vào nh
ữ
ng ki
ế
n th
ứ
c c
ơ
b
ả
n
ñ
ã nêu
ở
ch
ươ
ng 1, chúng tôi nghiên c
ứ
u v
ề
cách xây d
ự
ng m
ộ
t
ñồ

ng vào gi
ả
i và khai thác m
ộ
t s
ố
bài toán
ñạ
i s
ố
.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
●

ðối tượng: ðồ
ng c
ấ
u nhóm,
ñồ
ng c
ấ
u vành và
ñồ
ng c
ấ
u mô
ñ
un.
●


u mô
ñ
un nh
ư
c
ấ
u trúc
c
ủ
a các t
ậ
p
ả
nh, t
ạ
o
ả
nh qua m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u; tính
ñơ
n c
ấ
u, toàn c
ấ
u,

ng trình toán b
ậ
c
ñạ
i h
ọ
c.
6. Ý nghĩa khoa học
Khóa lu
ậ
n là tài li
ệ
u tham kh
ả
o cho các sinh viên chuyên ngành Toán có
mong mu
ố
n tìm hi
ể
u sâu v
ề
các
ñồ
ng c
ấ
u c
ủ
a m
ộ
t s

u
c
ủ
a m
ộ
t s
ố
c
ấ
u trúc
ñạ
i s
ố
giúp tôi hi
ể
u rõ h
ơ
n v
ề
các
ñồ
ng c
ấ
u c
ủ
a các c
ấ
u trúc
ñạ
i s

ệ
u tham kh
ả
o, n
ộ
i dung
c
ủ
a khóa lu
ậ
n
ñượ
c chia thành ba ch
ươ
ng:
Chương 1. Các phép ñồng cấu
Chương 2. Xây dựng ñồng cấu từ một ánh xạ cho trước
Chương 3.

Ứng dụng của các ñồng cấu
4

Chương 1.
CÁC ðỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ðẠI SỐ
Ch
ươ
ng này trình bày m
ộ
t cách có h
ệ


ñị
nh ngh
ĩ
a, các
ñị
nh lí
và m
ệ
nh
ñề
v
ề

ñồ
ng c
ấ
u, trong
ñ
ó có
ñư
a ra m
ộ
t s
ố
ví d
ụ
và nh
ậ
n xét.

f X Y
→
thì ta nói
X
ñẳng cấu với
Y
và
viết
X Y
≅
. Quan hệ ñẳng cấu là một quan hệ tương ñương.
Ví dụ 1.1 [5]. Giả sử
,
X Y
là hai nhóm tùy ý, ánh xạ

X Y
x e
→
֏

với e là phần tử trung lập của
Y
, là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường.
Ví dụ 1.2 [5]. Ánh xạ ñồng nhất
1
X
của một nhóm
X
là một ñồng cấu gọi là tự

Ví dụ 1.4 [5].
Xét ánh x
ạ
t
ừ
nhóm nhân các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
*
+
ℝ
ñế
n nhóm c
ộ
ng
các s
ố
th
ự
c
ℝ

*
log :
log
x x

ðồ
ng c
ấ
u này còn là m
ộ
t song ánh nên là m
ộ
t
ñẳ
ng c
ấ
u.
Ví dụ 1.5.
Xét ánh x
ạ
t
ừ
nhóm c
ộ
ng các s
ố
th
ự
c
ℝ

ñế
n nhóm nhân các s
ố
th

u.
Ví dụ 1.6 [5].
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a m
ộ
t nhóm X. Ánh x
ạ

: /
( )
h X X A
x h x xA
→
=
֏

là m
ột ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm thương
/

e
và
Y
e
. Ta kí
hiệu:

Im ( )
f f X
={
}
1
Ker ( ) ( )
Y Y
f x X f x e f e
−
= ∈ = =
và gọi
Im
f
là ảnh của ñồng cấu
f
,
Ker
f
là hạt nhân của ñồng cấu
f

X
ñến nhóm
Y

thì ánh xạ ngược
1
:
f Y X
−
→
c
ũ
ng là m
ộ
t
ñẳ
ng c
ấ
u.

ðịnh lí 1.3 [5].
Gi
ả
s
ử

:
f X Y
→
là m

1
1
( ) ( )
f x f x
−
−
=
v
ớ
i m
ọ
i
x X
∈
.
ðịnh lí 1.4 [5].
Gi
ả
s
ử

:
f X Y
→
là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ

ủ
a
Y
.
Th
ế
thì
(i)
( )
f A
là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a
Y
;
(ii)
1
( )
f B
−
là m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ

thì
(
)
f A
cũng là một nhóm con chuẩn tắc của
Y
.
Thật vậy, giả sử
f
là một toàn cấu và
A
là một nhóm con chuẩn tắc của
X
.
Ta ñã biết nếu
A
là một nhóm con của
X
thì
(
)
f A
là một nhóm con của
Y
.
Giả sử
y Y
∈
và
( )

c c
ủ
a
Y
.
N
ế
u
f
không toàn c
ấ
u và
A
là m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a
X
thì
(
)
f A

không là nhóm con chu
ẩ

c c
ủ
a
Y
.
:
f X Y
→
là m
ộ
t
ñơ
n c
ấ
u chính t
ắ
c và
A X
=
; v
ậ
y
A
là nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c
c
ủ

0 (1)
1 (1 2)
f S
→
ℤ
֏
֏

f
là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u. Ta có
2
ℤ
là nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a
2
ℤ
nh
ư
ng

ấ
u t
ừ
m
ộ
t nhóm
X

ñế
n m
ộ
t nhóm
Y
, n
ế
u
A
là
m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a
X
thì
( )

X
và
c
ủ
a
Y
.
Hệ quả 1.1 [5].

Giả sử f: X
→
Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm
Y. Thế thì
Im
f
là một nhóm con của Y và
Ker
f
là một nhóm con chuẩn tắc của
X.
Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng
A

là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm
X
ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu
:
f X Y
→
với

→
là một ñồng cấu nhóm.
(i) Nếu có một ñồng cấu
':
f Y X
→
sao cho
'
X
f f id
=
(khi ñó
'
f
ñược
gọi là một nghịch ñảo trái của
f
) thì
f
là một ñơn cấu.
(ii) Nếu có một ñồng cấu
':
f Y X
→
sao cho
'
Y
ff id
=
(khi ñó

=
cũng là một ñẳng cấu.
Nhận xét 1.2. Các mệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng. Ta xét các ví dụ
sau ñây:
a) ðồng cấu
:
f
→
ℤ ℤ
ñược cho bởi
( ) 2
f x x
=
. ðây rõ ràng là một ñơn
cấu, nhưng không có nghịch ñảo trái. Thật vậy, nếu có ñồng cấu
':
f
→
ℤ ℤ
ñể cho
'
f f id
=
ℤ
thì
1 ' (1) '(2) (1) (1) 2 (1)
f f f f f f
= = = + =
.
Trong

[1] [1] [2] [0] 0
+ = = =
trong
/ 2
ℤ ℤ
. Do ñó
2 ([1]) ([1]) ([1]) (0) 0
ψ ψ ψ ψ
= + = =
trong
ℤ
. Suy ra
([1]) 0
ψ
= ∈
ℤ
. Từ ñó ta có
/2
[1] ([1]) ([1]) (0) 0
id
ϕψ ϕ
= = = =
ℤ ℤ
.
9

Nghịch lí này chứng tỏ
ϕ
không có nghịch ñảo phải.
ðịnh lí 1.6 [5]. (ñịnh lí ñồng cấu nhóm)

(ii) ðồng cấu
f
là một ñơn cấu và
Im ( )
f f X
=
.
Hệ quả 1.2 [5]. Với mọi ñồng cấu
:
f X Y
→
từ một nhóm
X
ñến một nhóm
Y
,
ta có:
(
)
/ Ker
f X X f
≅
.
ðịnh lí trên có thể làm mạnh thêm bằng hai ñịnh lí sau ñây:
ðịnh lí 1.7 [2]. Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm, K là một nhóm con
chuẩn tắc của X và

là một nhóm con
chuẩn tắc của
'
X
, và
1
( ')
K f K
−
=
. Khi ñó, K cũng là một nhóm con chuẩn tắc
và có duy nhất một ñơn cấu nhóm
: / '/ '
f X K X K
→
làm giao hoán biểu ñồ
sau:
10

'
'

/ '/ '
f
K K
f
X X
p p
X K X K
→

=
là một nhóm con của G. Hơn nữa
/ / ( ).
HK K H H K
≅ ∩

1.2. ðồng cấu vành
1.2.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.3 [5]. Một ñồng cấu (vành) là một ánh xạ
f
từ một vành
X
ñến
một vành
Y
sao cho
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
f a b f a f b
f ab f a f b
+ = +
=

với mọi a, b
∈

Y
là một miền nguyên thì từ hệ thức
(1 ) (1 ) (1 )
x X X
f f f
=
và suy ra rằng
(1 ) 1
X Y
f
=
.
Một ñồng cấu vành ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu
vành (hay một phép nhúng vành).
11

Một ñồng cấu vành ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu
vành.
Một ñồng cấu vành ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một ñẳng cấu
vành. Nếu có một ñẳng cấu vành
: '
f R R
→
thì ta nói vành
R
ñẳng cấu với
vành
'
R
, và viết

: /

h A X A
x x a
→
+
֏

là một ñồng cấu từ vành
X
ñến vành thương
/
X A
. ðồng cấu này còn là toàn
cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Ví dụ 1.11. Giả sử
X
và
Y
là hai vành, ánh xạ
0
X Y
x
→
֏

vớ
i 0 là ph
ầ
n t

ℤ ℤ ℤ
, là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u
vành,
ñố
i v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
1.2.2. Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu vành
ðịnh lí 1.9 [5]. Giả sử X, Y, Z là những vành và
:
f X Y
→
và
:
g Y Z
→
là
những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích

→
là một ñồng cấu từ một vành
X
ñến một
vành
Y
,
A
là một vành con của
X
và
B
là một iñêan của
Y
. Thế thì
(i)
(
)
f A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
Y
;
(ii)
1
( )
f B

là một iñêan của
Y
.
Thật vậy, giả sử
f
là toàn cấu.
Ta có
0 (0) ( ).
f f I
= ∈

Giả sử
', ' ( )
a b f I
∈
khi ñó tồn tại
,
a b I
∈
sao cho
( ) '
f a a
=
,
( ) '
f b b
=
.
Như vậy
' ' ( ) ( ) ( ) ( )

A
là iñêan của
X
thì
( )
f A
không là iñêan của
Y
.
Thật vậy, ta xét ví dụ sau ñây:
Cho
Y
là một vành,
X
là một vành con của
Y
,
X
không là iñêan của
Y
.
Xét ñơn cấu chính tắc
:
f X Y
→
.
Lấy
A X
=
, khi ñó

nhiên
ℤ
là iñêan của
ℤ
nhưng
( )
f
ℤ
không là iñêan của
ℚ
.
Nhận xét 1.5. Nếu
P
là một iñêan nguyên tố của
Y
thì
1
( )
f P
−
là m
ộ
t i
ñ
êan
nguyên t
ố
c
ủ
a

ậ
y,
P
là i
ñ
êan c
ủ
a
Y
suy ra
1
( )
f P
−
là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a
X
.
Gi
ả
s
ử
hai ph
ầ
n t

.
Vì
P
là m
ộ
t i
ñ
êan nguyên t
ố
nên ho
ặ
c
1
( ) ( )
f x P
∈
ho
ặ
c
2
( ) ( )
f x P
∈
.
N
ế
u
1
( ) ( )
f x P

êan nguyên t
ố
c
ủ
a
X
.
N
ế
u
P
là i
ñ
êan t
ố
i
ñạ
i c
ủ
a
Y
thì không th
ể
k
ế
t lu
ậ
n
1
( )

nhiên t
ừ
vành s
ố
nguyên
ℤ
vào tr
ườ
ng s
ố
h
ữ
u t
ỉ

ℚ
. Tuy
nhiên
{
}
0
là i
ñ
êan t
ố
i
ñạ
i c
ủ
a

Im
f
là một vành con của Y và
Kerf
là một iñêan của X.
Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng
A

là một iñêan của vành
X
ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu
:
f X Y
→
với
Y
là
một vành nào ñó mà
ker
f A
=
.
14

ðịnh lí 1.12 [5]. Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành
X

ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u vành.
(ii)

N
ế
u
f
có ngh
ị
ch
ñả
o trái (t
ứ
c là có m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u vành
':
f Y X
→

sao cho

ấ
u vành
':
f Y X
→

sao cho
'
Y
ff id
=
) thì
f
là m
ộ
t toàn c
ấ
u.
(iii)
f
là m
ộ
t
ñẳ
ng c
ấ
u n
ế
u và ch
ỉ

ệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng.
ðịnh lí 1.13 [5]. (ñịnh lí ñồng cấu vành)
Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành
X
ñến một vành
Y
,
: /
p X X Kerf
→
là toàn cấu chính tắc từ vành
X
ñến vành thương của
X

trên
Kerf
. Thế thì
(i) Có một ñồng cấu duy nhất
: /
f X Kerf Y
→
sao cho tam giác sau

/
f

15

Mệnh ñề 1.3 [2]. Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu vành và
A
là một iñêan
của
X
. ðiều kiện cần và ñủ ñể có một ñồng cấu vành
: /
f X A Y
→
sao cho

f f p
=
, trong ñó
: /
p X X A
→
là phép chiếu chính tắc, là
A Kerf
⊂
. Khi ñó,
f
ñược xác ñịnh duy nhất.
ðịnh lí ñồng cấu vành có thể ñược làm mạnh hơn như sau:

→
làm giao hoán bi
ể
u
ñồ
sau
ñ
ây:
'
'

/ '/ '
f
A A
f
X X
p P
X A X A
→
↓ ↓
→

trong
ñ
ó
A
p
và
'
A

th
ươ
ng
/
X A

ñề
u có d
ạ
ng
/
B A
, trong
ñ
ó B là m
ộ
t i
ñ
êan c
ủ
a X ch
ứ
a A. H
ơ
n
n
ữ
a, ta có
ñẳ
ng c

i i n
A
≤ ≤
là n iñêan của X sao cho
i j
A A X
+ =
với i
≠
j. Lúc ñó ta có
một ñẳng cấu chính tắc
1
1
/ /
n
n i
i
X A A X A
=
≅
∏
.
ðịnh lí Trung Hoa về dư thường ñược áp dụng cho vành các số nguyên
ℤ
. Giả
s
ử m là một số nguyên lớn hơn 1, và giả sử
16

1


Nếu
1 2

n
m m m m
=
với các
i
m
ñôi một nguyên tố cùng nhau, thế thì ta có một
ñẳng cấu vành
1 2
/ / / /
n
m m m m
≅ × × ×
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
.
Các ñẳng cấu này có một số ứng dụng vào một số bài toán trong số học.
1.3. ðồng cấu môñun
1.3.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.4 [6]. Một ánh xạ
f
từ A-môñun M vào A-môñun M’ ñược gọi là
một ñồng cấu A-môñun hay ánh xạ tuyến tính nếu
f
thỏa mãn hai tính chất sau:
(i)
(

a A
∈
và v
ớ
i m
ọ
i
x M
∈
.
Nếu ñồng cấu
f
là một ñơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng
ñược gọi là một ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu. Hai A-môñun
M
và
'
M
ñược gọi
là ñẳng cấu, và viết là
'
M M
≅
, nếu tồn tại một ñẳng cấu A-môñun từ
M
ñến
'
M
.
Nếu

M
ñến
môñun
N
. Ta kí hiệu:

Im ( )
f f M
={
}
1
Ker ( ) 0 (0)
f x M f x N f
−
= ∈ = ∈ =
17

và gọi
Im
f
là ảnh của ñồng cấu
f
,
Ker
f
là hạt nhân hay hạch của ñồng cấu
f

=
, và
f
là một ñơn cấu khi và chỉ khi
{
}
Ker 0
M
f
=
. Do
f
cũng là
một ñồng cấu giữa hai nhóm abel
M
và
'
M
, nên
( ) ( )
f x f x
− = −
với
x M
∈
, và
'
(0 ) 0
M M
f

của một A-môñun
M
, ánh xạ nhúng
:

i N M
x x
→
֏

là một ñơn cấu, gọi là ñơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc từ
N
vào
M
.
Ví dụ 1.16 [6]. Cho
N
là một môñun con của A-môñun
M
, thì ta có môñun
thương
/
M N
. Khi ñó, quy tắc
: /
p M M N
→
cho bởi
( )
p x x

x y M
∈
.
Cho
M
và
N
là các A-môñun, kí hiệu
( , )
A
Hom M N
là tập tất cả các A-
ñồng cấu từ
M
vào
N
. Trong trường hợp A là một vành giao hoán, thì với mọi
, ( , )
A
f g Hom M N
∈
và với mọi
,
a b A
∈
, ta xác ñịnh ñối tượng
af bg
+
như
sau :

, với các phép toán xác ñịnh như vậy, trở thành một A-môñun,
ñược gọi là môñun các ñồng cấu từ
M
ñến
N
.
Nếu vành
A
không giao hoán thì
( , )
A
Hom M N
chỉ là một nhóm abel với
phép cộng ñồng cấu.
1.3.2. Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu môñun
Mệnh ñề 1.6 [6]. Nếu các ánh xạ
: '
f M M
→
và là hai ñồng cấu các A-môñun,
thì ánh xạ tích
gf
cũng là một ñồng cấu A-môñun từ
M
và
''
M
.
ðịnh lí 1.15 [6].
Cho

un con c
ủ
a
'
M
, thì
1
( ')
f N
−
là m
ộ
t mô
ñ
un con c
ủ
a
M
, tr
ườ
ng h
ợ
p riêng
Ker
f
là m
ộ
t mô
ñ
un con c

, tr
ườ
ng h
ợ
p riêng
Im
f
là m
ộ
t mô
ñ
un con c
ủ
a
'
M
.
(iii)

f
là
ñơ
n c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi
Ker 0
f
=

:
f M N
→
là một ñồng cấu các A-môñun.
Khi ñó ta có
/ Ker Im
M f f
≅
, và nếu
f
là toàn cấu thì
/ Ker
M f N
≅
.
Hệ quả 1.10 [6]. (ðịnh lí ñẳng cấu Nother thứ nhất)
Cho P là một môñun con của N và N là một môñun con của môñun M.
Khi ñó ta có ñẳng cấu
(
)
(
)
/ / / / .
M N M P N P
≅

Hệ quả 1.11 [6]. (ðịnh lí ñẳng cấu Noether thứ hai)
Nếu M và N là hai môñun con của cùng một môñun thì ta có
(
)

Ta trang bị phép toán hai ngôi trên
Y
như sau:
1 1
1 2 1 2
* ( ( ). ( ))
y y f f y f y
− −
= v
ớ
i
1 2
,
y y Y
∈
.
trong
ñ
ó,
1
1
( )
f y
−
là t
ạ
o
ả
nh c
ủ

ậ
p thành m
ộ
t nhóm.
Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:
+)
1 2 3
, ,
y y y Y
∀ ∈
, ta có:
1 1
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
*( * ) ( ). ( * )
( ). ( ( ). ( ))
( ).( ( ). ( ))
( ( ). ( )). ( )

y y y f f y f y y
f f y f f f y f y

− −
 
=
 
 
=
 
=

Do
ñ
ó phép toán hai ngôi
ñ
ã cho trong
Y
có tính ch
ấ
t k
ế
t h
ợ
p.

21

+)
ðặ
t
( )
Y X

=
=

T
ươ
ng t
ự
ta có *
Y
y e y
=
,
y Y
∀ ∈
.
V
ậ
y Y có ph
ầ
n t
ử
trung l
ậ
p
Y
e
.
+)
y Y
∀ ∈

f f y f y
f e
e
−
− −
−
− −
 
=
 
 
=
 
=
=

T
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
1
*
Y
y y e
−
=
.

Y
là m
ộ
t nhóm và
f
là m
ộ
t
ñẳ
ng c
ấ
u nhóm.
Mệnh ñề 2.2. Giả sử
,
X Y
là các nhóm. X là nhóm tự do sinh bởi cơ sở là tập S.
{
}
1 2
, , ,
n
S s s s
=
.
:
f X Y
→
là m
ộ
t ánh x

ε
εε ε
֏

v
ớ
i
1, 1, ; 1, , 1,
j j
i i i
i k s S j k
ε ε
= ± = = ± ∈ =
.
22

Chứng minh.
X
là nhóm tự do sinh bởi cơ sở là tập
S
. Khi ñó
x X
∀ ∈
,
x
ñược biểu diễn duy
nhất dưới dạng

i i i i i
s s s f s f s
ε
ε
εε ε
֏
.
Dễ chứng minh ñược
f
là một ñồng cấu.
Mệnh ñề 2.3. Cho
G
và
'
G
là hai nhóm, ánh xạ
: '
f S G
→
, trong ñó S là tập
sinh của G. Khi ñó nếu tồn tại ñồng cấu
: ’
F G G
→
sao cho
S
F f
=
thì F là
duy nhất.

i
x S
∈
,
i
n
∈
ℤ
,
i I
∈
.
Suy ra
1 2
1
1
1 2
1 2
1
1
1 2
( ) ( )
( ) ( )
'( ) '( )
'( )
'( ).
k
k
k
k

=

Ví dụ 2.1. Nhóm cộng
ℤ
là nhóm cyclic sinh bởi
{
}
1
S
=
; (
*
ℝ
,.) là một nhóm.
Với mỗi ánh xạ
*
:f S →
ℝ
.
Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t


x
∀ ∈
ℤ
thì
(
)
(
)
1. 1 1 1 1 .
x x
= = +…+ + − +…+ −

Xây d
ự
ng t
ươ
ng
ứ
ng
*
:
F
→
ℤ ℝ

ñượ
c xác
ñị
nh nh

F
=
. V
ậ
y
S
F f
=
.
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i
ñồ
ng c
ấ
u
*
:g →
ℤ ℝ
th
ỏ
a mãn
(1) 1
g

(
)
(
)
(1 1 1 1
F a g
= +…+ + − +…+ −
(vì
g
là
ñồ
ng c
ấ
u).
Nên
( ) ( )
F a g a
=
, v
ớ
i m
ọ
i
a
thu
ộ
c
ℤ
.
V

là các ñồng cấu nhóm. Khi ñó
f g
=
khi và chỉ khi
(
)
(
)
i i
f x g x
=
, vớ
i m
ọ
i
i I
∈
.
Chứng minh.
ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n.
Nếu
f g
=

)
(
)
i i
f x g x
=
,
∀
i I
∈
ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
f g
=
. Th
ậ
t
v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i
x
thu
ộ

1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
( )
[ ( )] [ ( )] [ ( ) ]
[ ( )] [ ( )] [ ( ) ]
( ).
k
k
k
k
n
n n
k
n
n n
k
n
n n
k
nn n
k
f x f x x x
f x f x f x
g x g x g x
g x x x
=
=

f G
→
ℕ
là một ñồng cấu nửa nhóm. Khi ñó f mở rộng
ñược duy nhất thành ñồng cấu nhóm

-1
:
( )
( )
f G
n f n
n f n
→
−
ℤ
֏
֏

n
∀ ∈
ℕ
.
Th
ật vậy,
,
m n
∀ ∈
ℕ
ta có:


ñ
ó suy ra
-1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f m n f m f n f m f n
− = − = .
V
ậ
y
f
là
ñồ
ng c
ấ
u nhóm.
Ch
ứ
ng minh
f
là duy nh
ấ
t.
Gi
ả
s
ử

f
có m

= =
.
,
m n
∀ ∈
ℕ
, gi
ả
s
ử

m n
>
ta có:
( ) ( ) '( ).
f m n f m n f m n
− = − = −

M
ặ
t khác:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
f m n f m f n f m f n
−
− = − = −'( ) '( ) '( ) ( ) '( ).
f m n f m f n f m f n

A
. Coi
A B
⊂
.
G
là một nhóm.
:
f A G
→
là một ñồng
nửa nhóm. Khi ñó
f
có thể mở rộng duy nhất thành ñồng cấu
:
f B G
→
.
Chứng minh.
Giả sử
A
là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị.
B
là nhóm ñối
xứng của
A
. Coi
A B
⊂
.

;
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ((yx) ) (yx) ( ) ( ) ( ) ( )
f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − −
= = = =
;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) (( ) ) ((yx ) ) (yx ) ( ) ( ) ( ) ( )
f xy f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − − − −
= = = = =
;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ( ) ) ((y x) ) (y x) ( ) ( ) ( ) ( )
f x y f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − − − −
= = = = =
.
Vậy
:
f B G
→
là một ñồng cấu nhóm.
Ví dụ 2.2.
( , )
+
ℕ
là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị.
ℤ

V
ậ
y
f
là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u nhóm.