Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
CẤU TRÚC ðẠI SỐ
NHÓM – VÀNH – TRƯỜNG

Tóm tắt lý thuyết:
Cho tập G và một phép toán ký hiệu * trên G nghĩa là: x * y ∈ G nếu x, y ∈ G
1. G lập thành một nhóm ñối với phép toán * nếu:
(G1) ∀ a, b, c ∈ G: a * (b * c) = (a * b) * c (tính kết hợp)
(G2) ∀ a ∈ G, ∃ phần tử trung hòa Θ sao cho: a+Θ = Θ+ a = a
(G3) ∀ a ∈ G, thì có một phần tử ñối xứng a’ sao cho a * a’ = a’ * a = Θ
G là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu:
(G4) ∀ a, b ∈ G: a * b = b * a (tính giao hoán)
2. Cho tập A và trên ñó cho hai phép toán: phép cộng ký hiệu là + và phép nhân ký
hiệu
•
••
•
. (A,+,
•
••
•
) lập thành một vành nếu:
(A1) (A,+) lập thành một nhóm Aben
(A2) ∀ a, b, c ∈ A: a • (b • c) = (a • b) • c (tính kết hợp)
(A3) ∀ a, b, c ∈ A: (a + b) • c = a • c + b • c
a • (b + c) = a • b + a • c (tính chất phân phối)
Vành A gọi là vành giao hoán nếu:
(A4) ∀ a, b ∈ A: a • b = b • a
Nếu tồn tại phần tử trung hòa ñối với phép nhân (phần tử ñơn vị) ký hiệu e:

2

i. Tập hợp các ña thức bậc không lớn hơn n (gồm cả bậc 0) của ẩn x ñối với phép cộng. (N)
j. Tập hợp các ña thức bậc n của ẩn x ñối với phép cộng.
Bài 1.2:
a. Tập hợp các ma trận thực cấp n ñối với phép nhân.
b. Tập hợp các ma trận không suy biến cấp n với phần tử thực, ñối với phép nhân. (N)
c. Tập hợp các ma trận cấp n suy biến hoặc không suy biến với phần tử nguyên, ñối với
phép nhân.
d. Tập hợp các ma trận chéo phần tử phức, không suy biến ñối với phép nhân (N)
e. Tập hợp các ma trận vuông thực, cấp 3, có ñịnh thức bằng 1 ñối với phép nhân.
Bài 1.3: Cho F = {(a,b): a, b ∈ R, a ≠ 0 } và xác ñịnh trên F phép toán như sau:
(a,b) * (a’, b’) = (aa’, ab’ + b)
Chứng tỏ (F,*) là một nhóm. Nhóm ñó có giao hoán không?
Bài 1.4 Cho (G,.) lập thành một nhóm sao cho: ∀ x ∈ G : x
2
= e. CmR: (G,.) lập thành
nhóm giao hoán.

B/ VÀNH – TRƯỜNG:
Bài 1.5: Xét các tập hợp sau ñây, xem tập hợp nào là vành (nhưng không phải là trường),
tập hợp nào là trường ñối với những phép toán xác ñịnh trong tập hợp ấy (nếu không nói
ñến phép toán thì ñó là phép cộng và phép nhân thông thường)
a. Các số dạng a + b 2 với a, b nguyên (V) Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
b. Các số dạng a + b 3 với a, b hữu tỉ (T)
c. Tập hợp các số dạng a + b
3

(a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
lập thành một trường.

C/ KHÔNG GIAN VECTƠ:
Bài 1.9. Trong các câu dưới ñây với các phép toán ñược ñịnh nghĩa kèm theo, tập nào là
không gian vectơ (không gian tuyến tính), tập nào không phải là không gian vectơ? Vì sao?
a. Tập tất cả bộ 3 số thực (x,y,z) với 2 phép tính:
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’)
k(x, y, z) = (kx, y, z)
b. Tập tất cả bộ 3 số thực (x,y,z) với 2 phép tính:
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’)
k(x, y, z) = (2kx, 2ky, 2kz) Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
c. Tập các cặp số thực có dạng (x, y) trong ñó x ≥ 0 với các phép toán thông thường
trong R
2

d. Tập hợp các vectơ trên mặt phẳng mà gốc ở gốc toạ ñộ, còn ñầu mút chạy trong góc
phần tư thứ nhất.
e. Tập hợp R
+
các số thực dương với phép toán như sau:
Phép cộng ⊕ : R
+
x R
+
 R
+