LỜI CẢM ƠN
Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học,
các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều
kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên
cứu khoa học.
Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT
tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh Vĩnh
Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận
văn.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận
văn được hoàn thành như hiện nay.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
luận văn tốt nghiệp “Biến đổi Laplace và một số ứng dụng” được
hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng
với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
Mục lục

2.1.3 Lớp L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Các tính chất cơ bản của biến đổi laplace . . . . . 37
2.1.5 Hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc . . . . . . . . . 42
2.3 Các định lý biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51
3.1 Tính giá trị hàm Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Phương phương trình vi phân với hệ số là hằng số. . . . 53
3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu . . . . . . 54
3.2.2 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên . . . . . 59
3.3 Bài toán tìm cường độ dòng điện . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức . . . . . . . . . . 62
3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . 66
3.6 Tích chập của biến đổi Laplace và ứng dụng . . . . . . . 68
3.6.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . 68
3.6.2 Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace . . . . . 70
iii
MỤC LỤC MỤC LỤC
KẾT LUẬN 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO 74
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier
là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong viêc giải các
bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải
tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các

1910, áp dụng trước tiên của biến đổi Laplace được xuất hiện trong các
công trình của Bateman, ông biến đổi các phương trình về sự phân dã
phóng xạ của Rutherford
dp
dt
= −λ
i
P
bằng cách đặt
p(x) =
∞

0
e
−xt
P (t)dt
và thu được một số phương trình biến đổi hạt nhân. Năm 1920, trong
trong các công trình nghiên cứu về hàm theta, Bernstain sử dụng biểu
diễn
f(s) =
∞

0
e
−su
φ(u)du
và gọi nó là biến đổi Laplace. Phương pháp hiện đại được đưa ra từ sự
thúc đẩy của Doetch và những năm 1920-1930, ông đã áp dụng biến đổi
Laplace tới các phương trình vi phân, tích phân.
Không có sự giải thích hoàn hảo về biến đổi Laplace nếu không kể

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
4. Dự kiến đóng góp của đề tài.
Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Laplace. Cùng một số
áp dụng của phép biến đổi này.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1 Số phức
Định nghĩa 1.1.1. Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i
là đơn vị ảo mà i
2
= −1 . Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu
x = Rez, y = Imz
Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu bởi C. Tập hợp các số phức
được đồng nhất với mặt phẳng R
2
bởi phép tương ứng
C → R
2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông
thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i
2
= −1.
Ta có
z
1
+ z

1
y
2
+ iy
1
x
2
+ i
2
y
1
y
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ y
1
x
2
).

được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ) và
e
iθ
= cosθ + i sin θ. Bởi vì


e
iθ


= 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi
chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ
đi qua điểm z . Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.e
iθ
và w = s.e
iϕ
thì
z.w = r.s.e
i(θ+ϕ)
.
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức
Giả sử trên mặt phẳng R
2
cho hệ tọa độ Descartes vuông góc xOy.
Như đã biết, hai điểm được xác định bởi các tọa độ Descartes vuông
góc trùng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ trùng nhau và tung
độ trùng nhau. Do đó ta có thể xác lập một phép tương ứng đơn trị
6
một-một giữa các điểm của mặt phẳng R
2

7
1.3 Hàm chỉnh hình
1.3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm f(z) xác định trên miền D. Cho z một số
gia ∆z sao cho z + ∆z ∈ D. Nếu tồn tại giới hạn
lim
∆z→0
f(z + ∆z) −f(z)
∆z
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f(z) tại điểm z và
ký hiệu là f

(z) hoặc
df(z)
dz
. Như vậy
f

(z) = lim
∆z→0
f(z + ∆z) −f(z)
∆z
.
Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z.
Ví dụ 1.3.1. Hiển nhiên z

= 1 và theo quy nạp (z
n
)

.
Ví dụ 1.3.2. Hàm f(z) =
1
z
là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C
không chứa điểm gốc và f

(z) = −
1
z
2
. Thật vậy, ta có
f

(z) = lim
h→∞
f(z + h) −f(z)
h
= lim
h→∞
1
z+h
−
1
z
h
= lim
h→∞

−

∈ D nếu tồn
tại số r > 0 sao cho f(z) là C - khả vi tại mọi z ∈ S(z
0
, r). Hàm f(z)
chỉnh hình tại mọi z ∈ D được gọi là chỉnh hình trên D.
1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình
Định lí 1.3.1. Giả sử chuỗi
∞

n=0
c
n
z
n
có bán kính hội tụ là R > 0. Khi
đó tổng f(z) của chuỗi là một hàm chỉnh hình trên D và
f

(z) =
∞

n=1
nc
n
z
n
.
Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ chuỗi
∞


z
n
hội tụ. Do đó bán kính hội tụ của chuỗi là
1
lim
n→∞
n

|nc
n
|
=
1
lim
n→∞
n
√
n lim
n→∞
n

|c
n
|
=
1
lim
n→∞
n


+ ∆z| < r. Ta
9
thấy
δ(z
0
, ∆z) =
∞

n=0

c
n
(z
0
, ∆z)
n
− c
n
z
n
0
∆z
− nc
n
z
n−1
0

=
∞

, ∆z).
Chú ý rằng
|δ
n
(z
0
, ∆z)| ≤ |c
n
|

|z
0
+ ∆z|
n−1
+ |z
0
+ ∆z|
n−2
|z
0
| + + |z
0
|
n−1
+


nz
n−1
0

lim
∆z→0
N−1

n=1
δ
n
(z
0
, ∆z) =
N−1

n=1
lim
∆z→0

c
n
(z
0
+ ∆z) −c
n
z
n
0
∆z
− nc
n
z
n−1

0
, ∆z)





+





∞

n=N
δ
n
(z
0
, ∆z)





<
ε
2
+

n
(z −z
0
)
n
là hàm chỉnh hình trong hình tròn hội tụ |z − z
0
| < R của chuỗi đó và
đạo hàm f

(z) được tìm theo công thức
f

(z) =

n≥1
na
n
(z −z
0
)
n−1
.
1.4 Tích phân phức
Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm f(z) xác định trên đường cong trơn từng
khúc γ. Chia γ thành n– phần nhỏ bởi các điểm chia η
0
, η
1
, , η

v
|η
v+1
− η
v
| → 0 tồn tại giới hạn của tổng (1.1)
không phụ thuộc vào cách chia cung cung γ thành các cung nhỏ và cách
chọn các điểm η
∗
v
, thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm f(z)
trên cung γ và ký hiệu là

γ
f(z)dz = lim
max
v
|η
v+1
−η
v
|→0
n−1

v=0
f (η
∗
v
) (η
v+1

)
=
n−1

v=0
[u (η
∗
v
) ∆x
v
− v (η
∗
v
) ∆y
v
]
+ i
n−1

v=0
[u (η
∗
v
) ∆y
v
+ v (η
∗
v
) ∆x
v

1.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức
1. Nếu γ
+
và γ
−
là đường cong γ lấy theo hai chiều ngược nhau thì

γ
−
f(z)dz = −

γ
+
f(z)dz.
2. Giả sử f(z) và g(z) là các hàm khả tích trên γ. Khi đó, hàm
c
1
f(z) + c
2
g(z); c
1
, c
2
∈ C.
cũng khả tích trên γ, và

γ
(c
1
f(z) + c






γ
f(z)dz






≤

γ
|f(z)|dz ≤ l. max f(z).
5. Nếu z = ϕ(η) là hàm giải tích ánh xạ 1-1 đường cong Γ lên đường
cong γ = ϕ(Γ), thì

γ
f(z)dz =

Γ
f (ϕ(η)) · ϕ

(η)dη.
Đặc biệt, nếu z = z(t); t ∈ [a, b] là phương trình của đường cong γ thì

γ


a
d [g (z(t))] = g (z(b)) −g (z(a)) .
Vậy
b

a
f(z)dz = g(B) −g(A); B = z(b); A = z(a). (1.5)
13
Từ công thức (1.5) ta thấy g là hàm đơn trị và γ là đường cong đóng thì
b

a
f(z)dz = g(B) −g(A) = 0.
1.5 Các công thức tích phân Cauchy
1.5.1 Công thức tích phân Cauchy
Định lí 1.5.1. Giả sử z
0
là một điểm tùy ý thuộc miền đơn liên D và
f ∈ H(D). Khi đó, với mọi chu tuyến đóng γ ⊂ D sao cho z
0
∈ D
γ
⊂ D
ta có công thức Cauchy
f(z
0
) =
1
2πi

0
, ρ) và D
γ,ρ
= D
γ
\S (z
0
, ρ) là một miền 2-liên. Vì
f(z)
η − z
0
chỉnh
hình với mọi z ∈ D
γ,ρ
nên ta có

γ
+
+C
−
ρ
f(η)
η − z
0
dη = 0.
Từ đó ta được

γ
+
f(η)

0
f(z
0
+ ρe
iϕ
)
ρe
iϕ
iρe
iϕ
dϕ
= i
2π

0
f(z
0
+ ρe
iϕ
)dϕ
= i
2π

0

f(z
0
− ρe
iϕ
) −f(z

0
dη.
Trường hợp f liên tục trên D thì có thể thay ∂D cho γ trong chứng
minh trên. 
1.5.2 Tích phân loại Cauchy
Giả sử Γ là một đường cong Jordan trơn từng khúc, f(η) là một hàm
liên tục trên Γ. Với mọi z ∈ C\Γ thì
ϕ(η) =
f(η)
η − z
là một hàm liên tục trên C\Γ. Do đó, nếu đặt
F (z) =
1
2πi

r
f(η)
η − z
dη (1.9)
15
thì F là một hàm hoàn toàn xác định trên C\Γ. Tích phân F(z) gọi là
tích phân loại Cauchy.
Định lí 1.5.2. Giả sử f(η) là một hàm liên tục trên đường cong Jodan
trơn từng khúc. Khi đó, tích phân (1.9) là một hàm chỉnh hình trong
miền D không chứa các điểm của Γ. Hơn nữa hàm F (z) có đạo hàm mọi
cấp và
F
(n)
(z) =
n!

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη; n = 0, 1, 2 (1.11)
Ta sẽ chứng minh công thức (1.11) bằng quy nạp theo n. Khi k = 0 kết
quả là hiển nhiên vì theo công thức (1.9)
F

(z) = f(z), F
(0)
(z) = F (z) =

Γ
ϕ
1
(η, z)dη.
Giả sử (1.11) đúng với k = n −1, tức là
F
(n−1)
(z)
=

Γ
ϕ
(η)
(η, z)dη. (1.12)
Ta sẽ chứng minh rằng
F
(n)
(z)

∂x
dµ −
∂υ
∂x
dυ;
∂v
∂y
=

Γ
∂u
∂y
dµ −
∂υ
∂y
dυ
và
∂v
∂x
=

Γ
∂υ
∂x
dµ +
∂u
∂x
dυ;
∂v
∂y

=

Γ
∂u
∂x
dµ −
∂υ
∂x
dυ =
∂u
∂x
.
Điều đó có nghĩa là u(x, y) và v(x, y) thoả mãn điều kiện Cauchy-
Riemamn trong miền D, tức là hàm F
(n−1)
khả vi. Ta còn phải chứng
tỏ
F
(n)
(z) =

F
(n−1)
(z)


=

Γ
ϕ

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)dµ + (−
∂υ
∂x
+ i
∂u
∂x
)dυ
=

Γ
(
∂u
∂x
+ i
∂υ
∂x
)dµ −i
2
(−
∂υ
∂x
+ i
∂u


Γ
∂ϕ
n
(η, z)
∂z
dη =

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dz.

Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp của định lý 1.5.2.
Định lí 1.5.3. Giả sử hàm f chỉnh hình trong miền D. Khi đó hàm f
có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm của nó là những hàm chỉnh hình
trên miền D. Các đạo hàm của hàm f được biểu diễn bằng công thứ
f
(n)
(x) =
n!
2πi

γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη; n = 1, 2, , (1.14)
trong đó γ là một chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z sao cho D
γ


n!
r
n
≤ M(a, r) (1.15)
Chứng minh. Theo công thức (1.14) với γ = ∂S(a, r) ta có



f
(n)
(a)



=






n!
2πi

γ
f (η)
(η − a)
n+1
dη

(z) = 0 ↔ f (z) = const.

19
1.6 Chuỗi Taylor
1.6.1 Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa
Xét chuỗi lũy thừa
c
0
+ c
1
(z −z
0
) + c
2
(z −z
0
)
2
+ =
∞

n=0
c
n
(z −z
0
)
n
(1.16)
hội tụ trong hình tròn |z − z

n
, (1.18)
Như vậy các hệ số của chuỗi (1.16) được tính theo công thức
c
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
; n = 0, 1, 2, (1.19)
Bây giờ, ta giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z
0
, ta gọi chuỗi
S(z) =
∞

n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z −z
0
)
n