ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1: (6điểm)
a. Giải phương trình
10
19
199
21
186
23
169
25
148
=
−
+
−
+
−
+
− xxxx
b. Tìm các số nguyên a và b sao cho đa thức
A(x) = x
4
+ ax
2
+ b
Chia hết cho đa thức B(x) = x
2
+ x +1
Bài 2 (4 điểm)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1

B, D lên AC. A, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
a. Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh
∆
CHK đồng dạng
∆
BCA
c. Chứng minh AC
2
= AB.AH + AD.AK
ĐÁP ÁN
Bài 1
a(3đ)
b.(3đ)
Giải phương trình:
10
19
199
21
186
23
169
25
148
=
−
+
−
+
−


−
−
+






−
−
+






−
− xxxx

0
19
123
21
123
23
123
25

1
21
1
23
1
25
1
≠






+++
 123-x=0
 x=123
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {123}
Thực hiện được phép chia 2 đa thức đúng kết quả
A(x) : B(x) = (1-a)x + b –a
- Lý luận (1-a)x + b –a = 0




=−
=−
0
01
ab

+
yxyx
11
4
11

Nên ta có






+
+
+
≤
+++
=
+
cbca
ab
cbca
ab
c
ab 11
4)()(1
(vì a+b+c=1 (gt) (1)



≤
+++
=
+
cbba
ac
cbba
ac
b
ac 11
4)()(1
(3)
Kết hợp (1)(2) và (3)






+
+
+
+
+
+
+
+
≤
+
+

++≤
+
+
+
+
+
Hay
4
1
111
≤
+
+
+
+
+
b
ac
a
bc
c
ab
(đpcm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 3

0
≥
với
x
∀
=> (x
2
+ 5x)
2
- 36
36
−≥
với
x
∀
Hay P
36
−≥
với
x
∀
 Min P = -36  (x
2
+ 5x)
2
=0
 x
2
+ 5x = 0
 x(x+5) = 0

≠
-1

01
1
23
≥+
+
−
x
x

0
1
123
≥
+
++−
x
xx

0
1
4
≥
+
−
x
x





=<=>



−<
≥
≤<−<=>



−>
≥
0
1
4
41
1
4
x
x
x
x
x
x
Vậy nghiệm của bất phương trình là
}{
41/

∆
CEB (ch.gn) -> DF = BE
 DFBE là hbh
BC//AK -> BCK = 90
0
ABC = 90
0
+ BCH (góc ngoài
∆
CHB)
HCK = 90
0
+ BCH
 ABC = HCK
Mà CDK = ACD + DAC (góc ngoài
∆
DKC)
HBC = BAC + BCA (góc ngoài
∆
HBC
Mặt
≠
BCA = DAC; BAC = DCA
->
∆
CKD đồng dạng
∆
CHB ->
CH
CK

=>−=
Vì
∆
AFD đồng dạng
∆
AKC ->
AKADACAF
AC
AD
AK
AF

=>−=
Từ (1) và (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK
 AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK
 AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)
 AB.AH + AD.AK = AC
2
vì
∆
AFD =
∆
CEB (cmt)