SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
3 2 0.− + =x x
b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1
3.
5
− − =


− − =


− − =

x y z
y z x
z x y
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Phép toán T được định nghĩa như sau:
1 1

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương.
b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo
thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho
,=AM AE
trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
.=BM BF

a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc
·
,MOE
đường thẳng
OB là phân giác trong của góc
·
.MOF
Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm
A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )

− − =


− − =


− − =

x y z
y z x
z x y
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
3 2 0− + =x x
0,25đ
( ) ( )
1 2 0⇔ − − =x x
0,25đ
1
2
 =
⇔

=


x
x

tùy ý. Thí dụ:
1 1 1
2 3
2 3 6
= − =T
. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( )
5 6 7 8 .=P T T T
d) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6 20 15 0;+ + =a a
2
15 20 6 0; 1.+ + = ≠b b ab
Chứng minh rằng:
( )
3
3
2
6
.
2015
9 1
=
− +
b
ab ab

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Theo định nghĩa phép toán T, ta có:

0,25đ
b) (1,00 điểm)
Ta ký hiệu các điều kiện như sau
2
6 20 15 0 (1);+ + =a a
2
15 20 6 0 (2); 1 (3).+ + = ≠b b ab
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.
Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b
2
ta được
2
1 1
6 20 15 0 (4)
   
+ + =
 ÷  ÷
   
b b
0,25đ
Từ (1), (3) và (4) suy ra
a
và
1
b
là hai nghiệm khác nhau của phương trình
2
6 20 15 0 (5)+ + =x x
Theo định lí Vi-ét:
1 10 5

3
2
6
,
2015
9 1
=
− +
b
ab ab
điều phải chứng minh. 0,25đ
Câu 3 (2,0 điểm)
c) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương.
d) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp
theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho
2 2
2015 ; 2199 .+ = + =n a n b
Suy ra
( ) ( )
184.− + =b a b a
0,25đ
Hay
( ) ( )

⇔ ⇒ =

=

a
I n
b
Thỏa mãn.
0,25đ
Trường hợp thứ hai
( )
21
1574 0.
25
=

⇔ ⇒ = − <

=

a
II n
b
Không thỏa mãn.
Vậy
10.=n
0,25đ
b) (1,00 điểm)
Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3, ,9 là các số có 01 chữ số.
90 số tiếp theo: 10,11,12, ,99 là các số có 02 chữ số.

đường thẳng OB
là phân giác trong của góc
·
.MOF
Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
e) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A,
B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
f) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định.
H
M
F
B
C
A
D
O
E
I
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00đ)
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với
các cạnh của hình vuông góc 45
o
.
Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra
·
·
; 45 .= = =
O

·
·
45 .= =
o
MHA MEA
0,25đ
Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên
·
·
45 .= =
o
MHB MFB
0,25đ
Suy ra
·
·
·
90 .= + =
o
AHB AHM MHB
0,25đ
Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng
nằm trên đường tròn đường kính AB.
0,25đ
c) (1,00đ)
Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).
Ta có
·
·
45= =

( )
0,> ∀ ∈¡f x x
nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của
( )
f x
trên
¡
và
giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng.
0,50đ
Nói cách khác:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
min min 1 , 2 , 3 , 4 3 8.= = =f x f f f f f
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
=y f x
bằng 8, đạt được khi
3.=x
0,25đ
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.
HẾT