Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*\]^*)
V1US)#4%)()_^]*.].*_^)
L4`%)1%E&)$U6)aU%()_\*)@4b#c)24W&1)2d)#4`%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&))
Bi=)_)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số!

y =
x +1
2x −1
(1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Cho!điểm!

I
1
2
;
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜

−4x + 3 − x −3 dx
0
5
∫
.!!
Bi=)l)j_c*)>%d6kF)
a) Tìm!tập!hợp!điểm!biểu!diễn!số!phức!z!thoả!mãn!

z + 2i
z −2i
+
z −2i
z + 2i
= 0
.!)
b) Có!hai!hộp!đựng!bút,!hộp!thứ!nhất!đựng!4!bút!đen!và!6!bút!xanh;!hộp!thứ!hai!đựng!5!bút!
đen!và!8!bút!xanh.!Từ!mỗi!hộp!lấy!ngẫu!nhiên!ra!hai!chiếc!bút,!tính!xác!suất!để!lấy!được!
hai!cặp!bút!khác!màu.)
Bi=)^)j_c*)>%d6kF!Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật,!

AB = a,AD = AA' = 2a
.!Hình!chiếu!vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABCD)!là!trung!điểm!
đoạn!thẳng!BC.!Tính!thể!tích!khối!hộp!ABCD.A’B’C’D’!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!
AB’!và!BD’.!
Bi=)-)j_c*)>%d6kF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;1;{2),!B(1;{1;11)!và!
đường!thẳng!

d :
x + 3
2

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,C.!
Bi=)\)j_c*)>%d6kF!Giải!phương!trình!

x + 8x − 2x
2
− 2 = 3
x (x +1)
2
6x − x
2
−1
.!
Bi=)+)j_c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
x
y
2
+ yz + z
2


I
1
2
;
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!cắt!(1)!tại!theo!một!đoạn!
thẳng!có!độ!dài!nhỏ!nhất.!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Đường!thẳng!d!có!phương!trình!dạng:!

y = k x −
1
2
⎛
⎝
⎜

⎟
⎟
⎟
+
1
2
⇔ 2(x +1) = (2x −1) k(2x − 1)+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⇔ k(2x −1)
2
= 3 ⇔ 4kx
2
−4kx + k −3 = 0 (2)
.!
Để!d!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt!

x
1
,x
2
⇔ k > 0
.!
Khi!đó!

A(x

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+
1
2
)
.!!!!
Ta!có:!

AB
2
= (k
2
+1)(x
2
− x
1
)
2
= (k
2
+1) (x

Vì!vậy

AB
2
= (k
2
+1) 1−
k −3
k
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3(k
2
+1)
k
=
3(k −1)
2
k
+ 6 ≥ 6
.!
Dấu!bằng!đạt!tại!


2 x
−3
2 x
−6
x
≥ 0
⇔ 2
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2 x
−
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎤
⎦
⎥
.!!!
b) Ta!có:!

y ' =
1
x +1
−1− x = −
x
2
+ 2x
x +1
≤ 0,∀x ∈ 0;1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Vì!vậy!hàm!số!nghịch!biến!trên!đoạn![0;1].!Suy!ra!

y
max
= y(0) = 0; y
min
= y(1) = ln2−
3

0
5
∫
= (x + 3)dx
0
5
∫
− (x
2
−4x + 3)dx
0
1
∫
+ (x
2
−4x + 3)dx
1
3
∫
− (x
2
−4x + 3)dx
3
5
∫
=
x
2
2
+ 3x

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
0
+
x
3
3
−2x
2
+ 3x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
1
−

+
z −2i
z + 2i
= 0
.!!
b) Có!hai!hộp!đựng!bút,!hộp!thứ!nhất!đựng!4!bút!đen!và!6!bút!xanh;!hộp!thứ!hai!đựng!5!bút!
đen!và!8!bút!xanh.!Từ!mỗi!hộp!lấy!ngẫu!nhiên!ra!hai!chiếc!bút,!tính!xác!suất!để!lấy!được!
hai!cặp!bút!khác!màu.!
a) Giả!sử!

z = x + yi(x, y ∈ !)
.!
Ta!có:!

z + 2i
z −2i
+
z −2i
z + 2i
=
x + (y + 2)i
x + (y −2)i
+
x −(y + 2)i
x −(y − 2)i
=
(x + ( y + 2)i)(x −( y − 2)i)
x
2
+ ( y −2)

2
= 0 ⇔
x
2
+ ( y −2)
2
> 0
x
2
+ y
2
= 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!tập!hợp!điểm!biểu!diễn!số!phức!z!là!đường!tròn!(C)!tâm!O(0;0)!bán!kính!bằng!2,!trừ!đi!
điểm!(0;2).!
B4b)3F!Ta!có!thể!làm!nhanh!như!sau:!

z + 2i
z −2i
+
z −2i
z + 2i
= 0 ⇔

Ta!tìm!số!cách!lấy!được!hai!cặp!bút!khác!màu:!
+)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!cặp!bút!màu!đen,!hộp!thứ!hai!cặp!bút!màu!xanh!có!

C
4
2
.C
8
2
= 168
cách.!
+)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!cặp!bút!màu!xanh,!hộp!thứ!hai!cặp!bút!màu!đen!có!

C
6
2
.C
5
2
= 150
.!
+)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!gồm!1!bút!xanh!và!1!bút!đen;!lấy!ra!từ!hộp!thứ!hai!một!bút!xanh!và!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
4!
một!bút!đen!có!

C
4


A' H ⊥ (ABCD)
.!
Tam!giác!ABH!có!

AH = AB
2
+ BH
2
= a
2
+ a
2
= a 2
.!
Tam!giác!vuông!A’AH!có!
!

A' H = AA'
2
− AH
2
= 4a
2
− 2a
2
= a 2
.!!!!
Vì!vậy!


! "!!!
= AA'
! "!!
= (a;−a;a 2) ⇒ D '(2a;0;a 2)
⇒ AB '
! "!!
= (a;−2a;a 2),BD '
! "!!
= (3a;0;a 2)
.!
Ta!có:

AB '
! "!!
,BD '
! "!!
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= (−2 2a
2
;2 2a
2
;6a
2
) ⇒ AB '
! "!!

,BD '
! "!!
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
2 2a
3
8a
4
+ 8a
4
+ 36a
4
=
a 26
13
.!!
Bi=)-)j_c*)>%d6kF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;1;{2),!B(1;{1;11)!và!
đường!thẳng!

d :
x + 3
2
=
y +1
2

" !""
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= (28;−26;−4) ⇒ u
!
,AB
" !""
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.AC
" !""
= 28.4− 26.2+ 4.3 = 72 ≠ 0
.!
Vì!vậy!d!và!AB!chéo!nhau.!
+)!Đường!thẳng!

d :
x = −3+ 2t
y = −1+ 2t
z = 1+ t
⎧
⎨

− 36t +116
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
5!
Vì!vậy!

MA = MB ⇔ 9t
2
+14t + 29 = 9t
2
− 36t +116 ⇔ t =
87
50
.!
Suy!ra!

M
12
25
;
62
25
;
137
50
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,C.!
!
Đường!tròn!(C)!có!tâm!I(0;5).!
Gọi!M!là!giao!điểm!thứ!hai!của!AI!với!(C)!ta!có!I!là!
trung!điểm!đoạn!AM!nên!M(5;0).!Do!tam!giác!ABC!cân!
nên!M!là!điểm!chính!giữa!cung!BC!(không!chứa!A).!
Ta!có:!

MAB
!
= NCB
!
(cùng!phụ!với!góc!

ABC
!
).!
Nên!B!là!điểm!chính!giữa!của!cung!MN.!Vì!vậy!IB!
vuông!góc!với!MN.!!!
Đường!thẳng!IB!có!phương!trình!là!


⎢
.!
+)!Nếu!B({1;12)!đường!thẳng!AB!là!

x − 2 y + 25 = 0
.!!!
Chú!ý!M,N!khác!phía!với!AB!nên!trường!hợp!này!loại.!
+)!Nếu!B(1;{2)!đường!thẳng!AB!là!

2x + y = 0
.!
Gọi!E!là!trung!điểm!BC!ta!có!BC!vuông!góc!với!AI!nên!

BC : x − y− 3 = 0
.!!
Toạ!độ!điểm!E!là!nghiệm!của!hệ!

x + y − 5 = 0
x − y −3 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 4
y =1
⎧

⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ 2− 3 ≤ x ≤ 2 + 3
.!
Ta!có:!!

x + 8x −2x
2
−2 = x + 4x − 2(x −1)
2
≤ x + 4x = 3 x
3
x (x +1)
2
6x − x
2
−1
= 3 x
x
2
+ 2x +1

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
≥ 3 x
.!
Vì!vậy!dấu!bằng!xảy!ra!

⇔ x = 1
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

x = 1
.!!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
6!
BI94).()Phương!trình!tương!đương!với:!

6−
x
2
+1
x
1+ 8−
x
2
+1

⎟
.!!
Đặt!

t = x +
1
x
≥ 2 ⇒ t
2
=
x
2
+1
x
+ 2 ⇒
x
2
+1
x
= t
2
− 2
.!
Phương!trình!trở!thành:!
!

6−(t
2
−2) 1+ 8−2(t
2

2
⇔ (t
2
−4)
6
t + 8−t
2
+
2 8−t
2
12−2t
2
+ 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= 0 ⇔ t = 2(do t ≥ 2)
.!
Vì!vậy!

t = 2 ⇔ x +
1
x

+14 2)
6−t
2
. 8−t
2
−3 < 0,∀t ∈ 2; 6
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Vì!vậy!f(t)!đồng!biến,!do!đó!

(*) ⇔ f (t) = f (2) ⇔ t = 2 ⇔ x = 1
.!Ta!có!kết!quả!tương!tự.!!!!
mU%)#;@)#<n&1)#o)
1. Giải!phương!trình!

3x − x
2
−1 x + 19x −5x
2
− 5
( )
= 2(x +1)
.!Đ/s:!

x = 1

Bi=)+)j_c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
x
y
2
+ yz + z
2
+
y
z
2
+ zx + x
2
+
z
x
2
+ xy + y
2
−
x + y + z
x + y + z + xy + yz + zx
.!!!!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!

x
y
2

2
≥
2y xy + yz + zx
(z + x)(x + y + z)
;
z
x
2
+ xy + y
2
≥
2z xy + yz + zx
(x + y)(x + y + z)
.!
Cộng!theo!vế!ba!bất!đẳng!thức!trên!và!gọi!A!là!tổng!3!phân!thức!đầu!của!P!ta!có!
!

A xy + yz + zx ≥
2(xy + yz + zx )
x + y + z
x
y + z
+
y
x + z
+
z
x + y
⎛
⎝

≥ x + y + z
.!
Vì!vậy!

A ≥
x + y + z
xy + yz + zx
.!!
Suy!ra!

P ≥
x + y + z
xy + yz + zx
−
x + y + z
x + y + z + xy + yz + zx
.!
Đặt!

t =
x + y + z
xy + yz + zx
≥ 3 ⇒ P ≥ f (t) = t −
t
t +1
.!
Ta!có!

f '(t) = 1−
1

!
!!
!
!
!!