Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)\\]^*)
V1US)#4%)()*\]*7].*\^)
L4_%)1%E&)$U6)`U%()\a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&))
Bi=)\)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số!

y =
x − 2
x −1
(1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Tìm!k!để!đường!thẳng!

y = k(x −3)
!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!lớn!hơn!1.!!
Bi=).)j\c*)>%d6kF)
a) Giải!phương!trình!

3
x
2
.4
x
2 x−1
= 12

1
,x
2
!là!hai!nghiệm!phức!của!phương!trình!

2x
2
− 2x +1 = 0
.!Tính!

A =
1
x
1
2
−
1
x
2
2
.!!!
b) Cho!tập!

X = 0,1,3,4,5
{ }
.!Hỏi!từ!X!có!thể!lập!được!bao!nhiêu!số!tự!nhiên!gồm!5!chữ!số!và!chia!
hết!cho!4?!!
Bi=)^)j\c*)>%d6kF)Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật,

AB = 2a

x
−1
=
y +1
−2
=
z −3
2
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!

d
1
,d
2
.!Viết!phương!trình!
đường!thẳng!d!đi!qua!điểm!M(0;w1;2)!và!cắt

d
1
,d
2
lần!lượt!tại!A,B!khác!I!sao!cho!

AI = AB
.!!!!!
Bi=),)j\c*)>%d6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!B(w1;5).!Gọi!

E
3
5

⎟
⎟
!là!điểm!thuộc!đoạn!CD!thoả!mãn!

ECD
!
= CBG
!
.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!chữ!nhật!ABCD!biết!C!có!hoành!độ!nguyên.!
Bi=)a)j\c*)>%d6kF)Giải!hệ!phương!trình

(x − y−1) 2(3− y
2
) = −xy + 2
y 5− x
2
= x − y − 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!
Bi=)+)j\c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn!



y = k(x −3)
!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!lớn!hơn!1.!!
1. Học!sinh!tự!giải.!
2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:!

x − 2
x −1
= k(x −3) ⇔ kx
2
− (4k +1)x + 3k + 2 = 0 (2)
.!
Để!(1)!cắt!đường!thẳng!d!tại!hai!điểm!có!hoành!độ!lớn!hơn!1!khi!(2)!có!2!nghiệm!

1 < x
1
< x
2
.!
!!

⇔
k ≠ 0
Δ = (4k +1)
2
− 4k(3k + 2) > 0
x
1
+ x
2

x
2
−(x
1
+ x
2
) +1> 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
k ≠ 0
4k +1
k
> 2
3k + 2
k
−
4k +1
k
+1> 0
⎧

< a ⇔
Δ > 0
x
1
−a < 0
x
2
−a < 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
Δ > 0
x
1
+ x
2
− 2a < 0
(x
1
−a)(x
2

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
Δ > 0
x
1
+ x
2
− 2a > 0
(x
1
−a)(x
2
−a) > 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
;

b) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = x +
x
2
− 2
x + 2
.!!
a) Điều!kiện:!

x ≠
1
2
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
!

log
3
3
x
2
.4
x
2x−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 0
⇔ (x − 1) 2x
2
+ x − 1−log
3
4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 0 ⇔
x =1
2x
2
+ x − 1−log
3
4 = 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢

3
x
2
.2
x
2 x−1
= 6
.!Đ/s:!

x =1;x =
−1± 9+ 8log
3
2
4
.!!!!!
b) B4b)3F)Với!hàm!số!có!chứa!dấu!giá!trị!tuyệt!đối!ta!tìm!cách!phá!dấu!trị!tuyệt!đối!trước!tiên.!
+)!Nếu!

x >1 ⇒ y ≥ x >1
.!
+)!Nếu!

−1≤ x ≤ 0 ⇒ y = − x −
x
2
− 2
x + 2
=
−2x
2

Vậy!

y ≥1
!.!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!

x = 0
.!!
HC#)$=;&()Vậy!

y
min
= y(0) =1
.!!!
qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = x + 2
x
2
−1
x − 2
.!Đ/s:!

y
min
= y(0) = y(±1) = 1
.!!!
Bi=)7)j\c*)>%d6kF!Tính!tích!phân!

I =
cos

0
1
∫
=
1−t
2
t
4
+ t
2
+1
dt
0
1
∫
.!
Xét!nguyên!hàm!!

1−t
2
t
4
+ t
2
+1
dt
∫
=
1
t

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−1
∫
=
1
2
ln
−t −
1
t
−1
−t −
1
t
+1
+ c =
1
2

qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Tính!tích!phân!

I =
x
2
−1
x
4
− x
2
+1
dx
0
1
∫
.!Đ/s:!

I =
1
2 3
ln
2− 3
2 + 3
.!!!
Bi=)l)j\c*)>%d6kF)
a) Gọi!

x
1
,x

!

4x
2
− 4x + 2 = 0 ⇔ (2x −1)
2
= i
2
⇔
x =
1+ i
2
x =
1− i
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Suy!ra!

A =
1
1+ i
2

=
4
2i
−
4
−2i
=
4
i
= −4i = 4
.!!!
b) Giả!sử!số!cần!tìm!là!

abcde
.!
+)!Từ!X!lập!được!các!số!chia!hết!cho!4!khi!hai!chữ!số!tận!!cùng!

de
!chia!hết!cho!4!nên!chỉ!có!thể!là!
00;04;40!và!44.!Vậy!

de
!có!4!cách!chọn.!
+)!a!có!4!cách!chọn.!
+)!b,c!mỗi!số!có!5!cách!chọn.!
Vậy!tất!cả!có!

4.4.5.5 = 400
số.!!!
B4b)3(!Một!số!tự!nhiên!chia!hết!cho!4!khi!hai!chữ!số!cuối!chia!hết!cho!4.!

!
= 60
0
.!
Độ!dài!

AO =
AC
2
=
4a
2
+ a
2
2
=
a 5
2
⇒ A 'O = AO tan 60
0
=
a 15
2
.!

S
AOB
=
1
4

12
.!
+)!Vì!AD//BC!nên!AD//(A’BC)!suy!ra:!

d (M ;(A' BC )) = d(AD;(A' BC )) = d (A;(A' BC )) = 2d(O;(A' BC ))
.!
Hạ!OE!vuông!góc!với!BC!tại!E!suy!ra!

BC ⊥ (A'OE ),OE = a
.!
Hạ!OK!vuông!góc!với!A’E!suy!ra!

OK ⊥ (A' BC )
.!
Tam!giác!vuông!A’OE!có!

1
OK
2
=
1
OE
2
+
1
OA'
2
=
1
a

z −1
2
;d
2
:
x
−1
=
y +1
−2
=
z −3
2
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!

d
1
,d
2
.!Viết!phương!trình!
đường!thẳng!d!đi!qua!điểm!M(0;w1;2)!và!cắt

d
1
,d
2
lần!lượt!tại!A,B!khác!I!sao!cho!

AI = AB
.!!!!!

⎪
⇔
x =1
y = 1
z = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ I (1;1;1)
.!
+)!Lấy!điểm!

A
1
(2;3;3) ∈ d
1
,B
1
(−t;−1− 2t;3+ 2t ) ∈ d
2
(B
1

⎢
⎢
⎢
⎢
⇒
B
1
(1;1;1)(l )
B
1
11
9
;
13
9
;
5
9
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
⇒ A
1
B
1
! "!!!
=
−7
9
;
−14
9
;
22
9
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
//(7;14;−22)

=
z −2
−22
.!!!!
BH=),)IJK*)>%L6MF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!B(w1;5).!Gọi!

E
3
5
;
9
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
là!hình!chiếu!vuông!góc!của!A!trên!BD,!

G 1;
19
4
⎛

BEC
!
= BFC
!
.!
Theo!giả!thiết!có:!

ECD
!
= CBG
!
!
Nên!

BHE
!
= BCF
!
= 90
0
⇒ BG ⊥ CE
.!
Đường!thẳng!BG!có!phương!trình:!

x + 8y − 39 = 0
.!!
Đường!thẳng!CE!đi!qua!E!và!vuông!góc!với!BG!có!phương!
trình!là!

8x − y − 3 = 0

! "!!
= 0 ⇔ (−1− c )(1− c ) + (8−8c )(
31
4
−8c ) = 0 ⇔ 65c
2
−126c + 61= 0 ⇔
c = 1(t / m)
c =
61
65
(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vì!vậy!C(1;5).!Đường!thẳng!CD!đi!qua!C,G!nên!có!phương!trình!

x −1 = 0
.!
Đường!thẳng!BD!đi!qua!B,E!nên!có!phương!trình!là!

2x + y − 3 = 0
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!

⇒ A(−1;1)
.!!!
NC#)$=;&()Vậy!toạ!độ!bốn!điểm!cần!tìm!là!!

A(−1;1),B(−1;5),C (1;5),D (1;1)
.!
BH=)O)IJK*)>%L6MF)Giải!hệ!phương!trình

(x − y−1) 2(3− y
2
) = −xy + 2
y 5− x
2
= x − y − 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!
Điều!kiện:!

x ≤ 5; y ≤ 3
.!
B4P)3F)Thử!các!giá!trị!đặc!biệt!có!nghiệm!

;−y 5− x
2
≤
y
2
+ 5− x
2
2
.!
Suy!ra!
!

(x − y−1) 2(3− y
2
) − y 5− x
2
≤
(x − y−1)
2
+ 2(3− y
2
)
2
+
y
2
+ 5− x
2
2
= −xy + x − y + 6 (1)

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = −1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

(x; y) = (2;−1)
.!!!!
Q4;&)RS#(!Cơ!sở!là!tìm!được!trước!nghiệm!để!ghép!cặp!đánh!giá:!Ta!có!thể!thực!hiện!bằng!cách!
tương!tự!sau:!
Phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với:!
!


.!
Vì!vậy!

−x
2
+ y
2
+ 2x − 2 y −3 = 0
.!
Vậy!ta!có!hệ!

x − y −1 = 2(3− y
2
)
y = − 5− x
2
−x
2
+ y
2
+ 2x − 2y −3 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!Đ/s:!

(x; y) = (3;3)
.!!!
TU%):Y)*.(!Giải!hệ!phương!trình!

(x + y +1) 2(3− y
2
) = xy + 6
y 5− x
2
= x + y
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!Đ/s:!

(x; y) = (2;−1)
.!!!

.!!!
BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn!

max x − y ; y− z ; z − x
{ }
≤ 2
!và!

xy + yz + zx = 2
.!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!!

P = ( x − y +1)( y − z +1)( z − x +1)− x
2
+ y
2
+ z
2
.!
Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

x ≥ y ≥ z
!khi!đó!

max x − y ; y− z ; z − x
{ }
= x − z
.!
!

P = (x − y +1)( y − z +1)(x − z +1)− x

(x − z)
2
= (x − z )
2
+
1
2
(x − y) + ( y − z)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
≤ (x − z )
2
+ (x − y)
2
+ (z − x )
2
= 2(x
2
+ y
2
+ z
2
)− 4
⇒ x
2

2
3(x −z )
2
+ 8
.!!
Đặt!

t = x − z (0 < t ≤ 2)
!khi!đó!

P ≤
1
4
(t +1)(t + 2)
2
−
3t
2
+ 8
2
.!
Xét!hàm!số!

f (t) =
1
4
(t +1)(t + 2)
2
−
3t

2
+ 8
>
8 8 − 3.2
4 3t
2
+ 8
> 0
.!
Vì!vậy!f(t)!là!hàm!số!đồng!biến!trên!

0;2
(
⎤
⎦
⎥
.!Suy!ra!

P ≤ f (t) ≤ f (2) = 12− 5
.!!!!!
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!

xy + yz + zx = 2
x − y = y − z
x − z = 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪