Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
!Cho!hàm!số!

y x − m x m x −
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!!
2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm!
B(1;2)!một!khoảng!bằng!

2
.!
a) Giải!hệ!phương!trình!

x
y =
y
xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có!
chứa!x.!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!

,
!
120
0
.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh!
AB,!hình! chiếu!vuông!góc! của!S!trên! mặt!phẳng!(ABC)! là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA!
và! mặt! đáy! bằng!

60
0
!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt!
phẳng!(SBC).!
Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng!

P x + y + z − =
.!Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm!
toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho!

MA MB 4 14
.!!!!
!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!

B
21
5

− 3.max cos x , cos y , cos z
{ }
.!
!
!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN
!Cho!hàm!số!

y x − m x m x −
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!!
2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm!
B(1;2)!một!khoảng!bằng!

2
.!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Ta!có!

A(0;−1)
.!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!có!dạng:!

d : y = (2m +1)x − 1
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!


x
y =
y
xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!!
b) Tìm!

m >
!để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số!

=
+
+
!trên!đoạn![0;2]!bằng!4.!
a)!Điều!kiện:!

0 < x, y ≠1
.!
Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:!

⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = y
x =
1
y
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.
+)!Nếu!

x = y
thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!

(x
2
−1)
2
= 0 ⇔ x = ±1(l )
.!
+)!Nếu!

= 3( y−1)
2
⇔ y
3
+ 3y
2
−6y + 2 = 0 ⇔
y = 1(l )
y = −2+ 6(t / m)
y = −2− 6(l)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
→ (x; y) =
5−2 6
2
;−2+ 6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠


y ' =
2 x
2
+1 −
x(2x + m)
x
2
+1
x
2
+1
=
2− mx
(x
2
+1)
3
; y' = 0 ⇔ x =
2
m
∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
Ta!có!

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= m
2
+ 4
.!
Vậy!yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:!

m
2
+ 4 = 4 ⇔ m
2
+ 4 = 16 ⇒ m = 2 3
.!
Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!tham!số!là!

m = 2 3
.!!!!!
!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!

y =
1
e
x

dt ⇒ dx =
3dt
t
.!
Vì!vậy!!

V = π
3dt
t(t + 2)
2
1
2
∫
=
3π
4
1
t
−
1
t + 2
−
2
(t + 2)
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎟
⎟
⎟
2
1
=
3π
4
ln
3
2
−
2
12
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
!!
a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn!


+ 3 (x −1)
2
+ y
2
= (x +1)
2
+1− x
2
+ 3 (x −1)
2
+1− x
2
= 2( 1+ x + 3 1− x )
.!
Xét!hàm!số!

f (x) = 2( 1+ x + 3 1− x )
trên!đoạn![w1;1]!ta!có!f '(x) = 2
1
2 1+ x
−
3
2 1− x
⎛
⎝
⎜
⎜

= 2 10
.
Vì vậy

f
max
= f −
4
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 2 10
. Từ đó suy ra

x = −
4
5
y
2
= 1− x

⎢
⎢
⎢
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
Vậy số cần cần tìm là

z = −
4
5
−
3
5
i;z = −
4
5
+
3
5
i
.
b) Số!tập!con!của!A!có!chứa!k!phần!tử!là!

C
n
k
(k = 0,n)
.!
Vì!vậy!tổng!số!phần!tử!của!S!là!!

.!
Vậy!xác!suất!cần!tính!là!

P =
2
n−1
2
n
=
1
2
.!!!!!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!

AB = AC = a, BAC
!
= 120
0
.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh!
AB,!hình! chiếu!vuông!góc! của!S!trên! mặt!phẳng!(ABC)! là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA!
và! mặt! đáy! bằng!

60
0
!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt!
phẳng!(SBC).!
!
Gọi!D!là!giao!điểm!của!AH!với!BC;!M!là!trung!điểm!cạnh!
BC.!Do!tam!giác!ABC!cân!tại!A!nên!AM!vuông!góc!với!BC.!
Ta!có:!

a
2
.a. −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
a 7
2
.!!
!
!
Sử!dụng!công!thức!đường!trung!tuyến!ta!có:!

AH =
2(AI
2
+ AC
2

3
.
3a
4
.
a
2
3
4
=
a
3
3
16
(đvtt).!
+)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!BC!tại!K,!kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!ta!có!

HI ⊥ (SBC )
.!
Ta!có!

HK =
1
2
d (I ;BC ) =
1
4
AM =
a
8

2
+
1
HK
2
=
16
9a
2
+
64
a
2
⇒ HI =
3a 37
148
.
Vì vậy

d (A;(SBC )) = 4.
3a 37
148
=
3a 37
37
.
BH=)-)IJK*)>%L6MF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng!

(P ) : 2x + y + 2z −1 = 0

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
.!!
Toạ!độ!điểm!M!là!nghiệm!của!hệ!

x = 3+ 2t
y = −2−3t
z = 3+ t
2x + y + 2z −1 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔

;
3
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Phương!
trình!tiếp!tuyến!của!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là!

x + 2y −7 = 0
.!Đường!
phân!giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có!
tung!độ!dương.!!!!
Đường!thẳng!BC!đi!qua!điểm!B,E!có!phương!trình!là!

x − 2y − 3 = 0
.!!
Gọi!F!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!và!đường!thẳng!BC.!
Toạ!độ!của!F!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình!

x − 2y −3 = 0

= FAC
!
+CAD
!
; FDA
!
= ABC
!
+ BAD
!
;
FAC
!
= BAD
!
;CAD
!
= BAD
!
.!
Tức!tam!giác!FAD!cân!tại!F.!
AD,AE!là!hai!phân!giác!góc!A!nên!vuông!góc.!Vì!vậy!
tam!giác!ADE!là!tam!giác!vuông!có!

FA = FD
nên!F!là!
trung!điểm!đoạn!ED.!!!
!Vì!F!là!trung!điểm!của!ED!nên!D(1;w1).!
Gọi!


Gọi!I!là!tâm!ngoại!tiếp!của!tam!giác!ABC.!Do!IA=IB!và!IA!vuông!góc!với!tiếp!tuyến!tại!A!nên!
toạ!độ!I!là!nghiệm!của!hệ!

2(x −1)−(y −3) = 0
(x −1)
2
+ ( y −3)
2
= x −
21
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ y −
3
5
⎛
⎝
⎜

⎪
⇔
x = −4
y = −7
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!I(w4;w7).!Gọi!

C (2c + 3;c) ∈ BC ,c ≠
3
5
.!
Ta!có!

IC
2
= IA
2
= 125 ⇔ (2c + 7)
2
+ (c +7)
2
= 125 ⇔
c = −9(t / m)


(x −3+ 2− x )
3
+ (x −3+ 2− x ) ≥ (1− 2x )+ 1− 2x
3
(1)
.!!
Xét!hàm!số!

f (a) = a
3
+ a
trên!R!ta!có!

f '(a) = 3a
2
+1> 0,∀a ∈ !
.!
Vì!vậy!f(a)!đồng!biến,!do!đó!

(1) ⇔ f (x −3+ 2− x ) ≥ f ( 1− 2x
3
) ⇔ x −3+ 2− x ≥ 1− 2x
3
.!
!

⇔ x + 2− x + 2x −1
3
≥ 3

+ 4t
3
−3t
2
+ 5t + 2) ≤ 0
⇔ t ≤1 ⇔ 2− x ≤1 ⇔ x ≥1
.!
Bởi!vì!

t
5
− 2t
4
+ 4t
3
−3t
2
+ 5t + 2 = t
3
(t −1)
2
+ t (3t
2
−3t + 5) + 2 > 0,∀t ≥ 0
.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!bài!toán!ta!có!

1 ≤ x ≤ 2
.!!
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!

3
≥ 0 ⇔ (a + b)(a
2
−ab + b
2
+1) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 0
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!

⇔ x + 2− x −3+ 2x −1
3
≥ 0 ⇔ (x −2+ 2− x )+( 2x −1
3
−1) ≥0
⇔ 2− x 1− 2− x
( )
+ ( 2x −1
3
−1) ≥0
⇔
(x −1) 2− x
1+ 2− x
+
2(x −1)
(2x −1)
2
3
+ 2x −1

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!!!!!
BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn!

x + y + z = 0
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!

P = 3
cos x
+ 3
cos y
+ 3
cos z
− 3.max cos x , cos y , cos z
{ }
.!
Do!vai!trò!của!x,y,z!như!nhau!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

cos z = max cos x , cos y , cos z
{ }
.!!
Ta!có!!

cos x + cos y = cos
2

t
− 4t
, ta có

f '(t) = 3
t
ln3− 4 < 0,∀t ∈ 0;1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
Vì!vậy!

P ≥ f (t) ≥ f (1) = 2
.!!
Dấu!bằng!đạt!tại!

cos x = cos y = 0; cos z = 1;x + y + z = 0
.!Chẳng!hạn!

x = y =
π
2
;z = −π
.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!2.!!!
!