Mục lục
Trang

Mở ñầu 1
Chương I. DẠNG
ðẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
2
I.1. Kiến thức cần nhớ 2
I.2. Các dạng bài tập 3
I.2.1 Thực hiện phép tính 3
I.2.2 Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực,
phần ảo của số phức

5
I.2.3 Xác ñịnh số phức 6
I.2.4 Xác ñịnh tập hợp ñiểm trên mặt phẳng phức 8
I.2.5 Biểu diễn hình học của số phức z 10
Chương II.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI12
II.1. Kiến thức cần nhớ 12
II.1.1 Căn bậc hai của số phức 12
II.1.2 Phương trình bậc hai 12
II.2. Các dạng bài tập 12
II.2.1 Tìm căn bậc hai của số phức 12
II.2.2 Giải phương trình bậc hai trên tập số phức 13
II.2.3 Giải hệ phương trình bậc hai trên tập số phức 16
Chương III.


Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, gần như trường số phức thỏa mãn
các yêu cầu của toán học. Chính vì thế mà mặc dù gọi là số ảo nhưng trường số phức
ñóng vai trò quan trọng trong ñời sống thực của chúng ta. ðặc biệt ở cấp trung học phổ
thông nó có rất nhiều ứng dụng ñể dễ dàng tiếp cận các bài toán sơ cấp khó, vì vậy trong
những năm gần ñây Bộ Giáo dục ñã ñưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông.
Nhằm mục ñích giới thiệu ñến quí thầy cô giáo và các em học sinh một cách chi
tiết hơn về số phức, cách tiếp cận cũng như ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán
ôn thi ñại học nên tôi viết chuyên ñề này. Hy vọng rằng qua chuyên ñề này quí thầy cô
giáo và các em học sinh phát hiện ñược các vấn ñề mới mẻ và hấp dẫn cũng như ứng dụng
ña dạng của số phức trong giải toán phổ thông. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
chủ ñề số phức trong trường phổ thông.
Bài viết ñược chia thành ba chương:
Chương I. Dạng ñại số của số phức.
Nội dung chương I bao gồm các vấn ñề cơ bản về dạng ñại số của số phức, các dạng toán
thường gặp như thực hiện phép tính, xác ñịnh phần thực, phần ảo, xác ñịnh tập hợp ñiểm
biểu diễn số phức…
Chương II. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
Nội dung chương II trình bày vắn tắt cách xác ñịnh căn bậc hai của số phức và cách giải
phương trình bậc hai trên trường số phức. Từ ñó mở rộng thêm cách tìm nghiệm của
phương trình bậc cao bằng cách qui về giải phương trình bậc hai và giải hệ phương trình
trên tập số phức.
Chương III. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
Nội dung chương III trình bày các kiến thức cơ bản học sinh cần nhớ khi thực hiện phép
toán dưới dạng lượng giác. Nêu các ứng dụng của số phức trong giải toán tổ hợp và lượng
giác.
Trong mỗi chương ñều tóm tắt kiến thức cơ bản và phân dạng bài tập thường gặp.
Cuối mỗi dạng ñều có bài tập tương tự. Phần bài tập tổng hợp có tập hợp các ñề thi tuyển
sinh ñại học – cao ñẳng về số phức.
Mặc dù ñã rất cố gắng, bằng những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và việc

a) Phép cộng hai số phức
Tổng của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức
z + z’ = ( a + a’) + (b + b’)i.
b) Phép trừ hai số phức
Hiệu của số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i ( a, b, a’, b’∈ R ) là tổng của z với –z’ kí
hiệu z – z’ = a – a’ + ( b – b’)i.
c) Phép nhân số phức
Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức
z.z’ = (aa’ – bb’) + ( ab’ + a’b)i.
I.1.4 Số phức liên hợp và mô ñun của số phức.
a) Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ∈ R) là số phức a – bi,
kí hiệu
z
=
)( bia +
= a – bi.
b) Mô ñun của số phức
Mô ñun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) là |z| =
22
ba +
. Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC3
I.1.5 Phép chia cho số phức khác 0.

Tính z + z’, z – z’; z.z’,
z
z'
trong các trường hợp sau:
a) z = 5 + 2i, z’ = 4 + 3i b) z = -4 – 7i, z’ = 2 – 5i.
Lời giải
a) z + z’ = ( 5 + 4) + ( 2 + 3)i = 9 + 5i.
z – z’ = ( 5 - 4) + ( 2 - 3)i = 1 – i.
z.z’ = ( 20 - 6) + ( 15 + 8)i = 14 + 23i.

z
z'
=
i
ii
i
i
25
7
25
26
9
16
)34)(25(
3
4
25
−=
+
−

=
−
−
−
.
Ví dụ 2
Rút gọn các biểu thức sau: a) ( 1 + i)
3
b) i
2011
(1 – i)
2
c) ( 2 – 3i)
2
.
Lời giải
a) ( 1 + i)
3
= 1 + 3i + 3i
2
+ i
3
= -2 + 2i.
b) i
2011
(1 – i)
2
= (i
2
)

a)
i
3
2
1
−
=
13
3
13
2
9
4
32
+=
+
+
i
b)
i
ii
i
i
32
1
))(23(23
−−=
−
−
=

+
−
=
−
−

Ví dụ 4
Tính giá trị của biểu thức
A =






−
7
7
1
2
1
i
i
i
; B =
i
iii
i
i 1
)32)(32()1(

)(
4
2
32
32
−=
−
=






+−−=






−
−
i
i
i
ii
ii
ii
i

3
10
3
94)1(
11
)1)(1(1
)32)(32()1(
1
1

=
.341313)2(
2
2
5
3
iii
i
−=−+−+







C=
[
]
i

ii
i
−+
+
b)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
.
Lời giải
a)
.
2
3
5
4
10
)3(
3
3
)21)(1(
3
2
i
i

22
i
ii
i
i
iiii
iiii
ii
ii
+=
+
−+−
=
+
+−
=
−−−++
−+−++
=
+−+
−−+

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho
iz
4
26
4
26 −
+

2
; (
z
)
3
; 1 + z + z
2
.
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)
i
i
i
i
+
−
+
−
+
1
1
1
1
b)
32
332
i
i
i
−



+ ii
d)
i
ii
4
2
13)1(
3
+
++
.
Bài 5. Cho z = 2 – 3i, z’ = -1 + 5i
Tính a) z.z’ b)
'.zz
c)
z
z'
d) z
2
+ z’ e) |z
2
+ z’|.
I.2.2. Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực, phần ảo của
số phức.
Ví dụ 1
Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a) i + ( 2 – 4i) – ( 3 – 2i) b) i(2 - i)( 3 + i).
Lời giải

1
1
++
−
++
−−
=
+
−

ðiều kiện cần:
Nếu v là số thuần ảo thì
22
22
)1(
1
yx
yx
++
−−
= 0 ⇔ 1 – x
2
– y
2
= 0 ⇔ 1= x
2
+ y
2
⇔ |z| = 1.
ðiều kiện ñủ:

2
+ b
2
= ( 1 - a)
2
+ b
2
⇔ a = 0 ⇒ v là số ảo.
Ví dụ 3
Viết các số phức sau về dạng ñại số: a)
)3)(21(
1
ii −+
b)
)32)(1(
5
ii
i
−+
+
.
Lời giải
a)
)3)(21(
1
ii −+
=
i
i
i

12
26
)5(
5
5
2
+=
+
=
−
+ i
i
i
.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Viết các số phức sau về dạng ñại số.
a)
23
32
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
b) ( 2 + i)( -1 + i)( 1 + 2i)
2
. c)
(

+ i
2011
h)
i
i
i
i +
−
+
− 2
1
3
.
Bài 2. Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a) ( 2 - i)
6
b)
2
31
31








−
+

1)1(
5
5
++
−−
i
i
.
I.2.3. Xác ñịnh số phức.
Ví dụ 1
Tìm số phức z thỏa mãn iz + z – i = 0.
Lời giải
Từ giả thiết ta ñược z =
i
ii
i
i
21
1
)2(2
+=
+
−
−
=
+
−
.
Ví dụ 2
Tìm số phức z thỏa mãn z

+ 3(z –
z
) = 4 – 3i ⇔ (x + yi)(x - yi) + 3( x + yi – x + yi) = 4 – 3i
⇔ x
2
+ y
2
+ 6yi = 4 – 3i ⇔












−=
=
⇔
−=
=+
2
1
4
15
36

−
.
Ví dụ 4. Trong các sô phức z thỏa mãn ñiều kiện |z – 2 – 4i| =
5
tìm số phức có mô ñun
lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải
Xét số phức z = x + iy (x, y ∈ R), từ giả thiết ta có ( x- 2)
2
+ (y - 4)
2
= 5. Suy ra tập hợp
các ñiểm M(x; y) biểu diễn số phức z là ñường tròn (C) tâm I(2;4) bán kính R =
5
.
Ta có |z|
2
= OM
2
= x
2
+ y
2
. Gọi d là ñường thẳng ñi qua O(0; 0) và tâm I(2; 4), phương
trình ñường thẳng d có dạng y = 2x.
Gọi A, B là các giao ñiểm của d và ñường tròn (C) , tọa ñộ của A(1;2) và B(3;6).
Khi ñó OA =
5
; OB = 3
5

2
α) = 5
Suy ra -
5
≤ sinα + 2cosα ≤
5
hay
5
≤ |z| ≤ 3
5
.
|z| =
5
khi và chỉ khi sinα + 2cosα = -
5
⇔ sinα = -
5
1
; cosα = -
5
2
⇔ x = 1; y = 2 .
|z| = 3
5
khi và chỉ khi sinα + 2cosα =
5
⇔ sinα =
5
1
; cosα =


=−+
−+−=−++
⇔
5)1(
)1()2()2()1(
22
2222
yx
yxyx






=
=
⇔
=−−
=
⇔
3
1
04610
3
2
y
x
xx

Xét số phức z thỏa mãn hệ thức z =
)2(1 imm
mi
−−
−
( m là số thực), tìm m ñể:
a) z.
2
1
=z
; b) |z-i| ≤
4
1
; c) z có mô ñun lớn nhất.
Lời giải
Ta có
i
mm
m
mm
immmmm
mimmim
mimmi
imm
mi
z
1
1
1
4)1(

1
1
1
22
+
−
+
=
. Khi ñó z.
2
1
=z

⇔

2
1
)1(
1
22
2
=
+
+
=
m
m
z

⇔

m
m
m
m
i
m
m
m
m

⇔
16m
2
≤ 1 + m
2

15
1
15
1
≤≤−⇔ m
.
c) |z| =
1
1
)1(
1
2
22
2

3
là số ảo.
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn
a) z
2
+ |z| = 0 ; b)
i
i
z
i
i
+
+
−
=
−
+
2
31
1
2
;
c)
z
+ z
2
= 0 ; d) z + 2
z
= 2 – 4i.
Bài5. Tìm số phức z thỏa mãn






=
−
−
=
−
−
1
8
4
3
5
8
12
z
z
iz
z
; c)
1
4
=





Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z + 2 – 3i thuộc hình
tròn tâm I( 3; -3), bán kính R = 2.
Ví dụ 3
Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết rằng
|z| = |
z
– 3 + 4i| = 1.
Lời giải
Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R), khi ñó M(z) thì M có tọa ñộ (x; y).
Theo giả thiết ta có | x + iy| = | ( x - 3) + ( 4 - y)i| ⇔ x
2
+ y
2
= ( x - 3)
2
+ ( 4 - y)
2

⇔ 6x + 8y – 25 = 0.
Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thuộc ñường thẳng
6x + 8y – 25 = 0.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
ñiều kiện:
a) z
2
là số ảo b) z
2
=

)(z
| = 4 k) | z - 4i| + | z + 4i| = 10.
Bài 2. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
k
iz
z
=
−
( trong ñó k là số thực dương cho trước).
Bài 3. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
(
)
31 i+
z +2
trong ñó | z - 1| ≤ 2.
Bài 4. Cho w
1
=
3
+i , w
2
= -
3
+ i. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng
phức biểu diễn số phức z sao cho |z| =
2
1
w
w
.

zzzz
+
.
b) Nếu
u


0

≠
thì
u

vuông góc với
u

’ khi và chỉ khi
z
z
'
là số ảo.
Lời giải
Giả sử z = a + bi, z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’ ∈ R), khi ñó
u

= ( a; b),
u

’ = ( a’; b’)
Xét

, z
2
, z
3
, z
4
theo thứ tự biểu diễn bởi các vectơ
BDBCADAC ,,,
.
b) Tính
4
3
2
1
,
z
z
z
z
và từ ñó suy ra bốn ñiểm A, B, C, D cùng thuộc một ñường tròn. Tâm của
ñường tròn ñó biểu diễn số phức nào.
Lời giải
a) Theo giả thiết ta có tọa ñộ của các ñiểm A(-1; 1), B( -1; -1), C( 0; 2), D( 2; -2)
Khi ñó
AC
= ( 1; 1),
AD
= (3; -3),
BC
= ( 1; 3),

−
+
=
, theo kết quả ví dụ 2b) ta có
AC
vuông góc với
AD
.

i
ii
i
i
z
z
=
+
++
=
−
+
=
19
)3)(31(
3
31
4
3
, tương tự ta có
BC

2
z
z
.
Bài 2. Cho A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức 2 – i, 3 + 2i, -1 + 4i, -2 + i.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Bài 3. Cho A, B, C theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 – i, 2 + 3i, -5 + i. Xác ñịnh tọa ñộ
ñiểm D biểu diễn số phức z sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 4. Cho M, M’ theo thứ tự là các ñiểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác 0
và z’ =
2
1
i
+
z. Chứng minh rằng tam giác OMM’ là tam giác vuông cân ( O là gốc tọa ñộ).
Bài 5. Cho hai ñiểm A, B là hai ñiểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
phức z
0
, z
1
khác 0 thỏa mãn z
0
2
+ z
1
2
= z
0
.z
1




=
=−
)2(2
)1(
22
bxy
ayx
. Giải hệ (1), (2) ta tìm ñược x, y.
Chú ý. ðể tìm nghiệm của hệ phương trình (1), (2) ta có thể bổ sung vào mô ñun của z là
x
2
+ y
2
=
22
ba +
(3).
II.1.2 Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 ( trong ñó A, B, C là các số phức, A ≠ 0) (1).
• Cách giải
Tính biệt thức ∆ = B
2
– 4AC. Gọi δ là một căn bậc hai của ∆ thì phương trình (1) có hai
nghiệm z
1

và z
2
là các nghiệm của phương trình (1) thì z
1
+ z
2
=
A
B
−
; z
1
.z
2
=
A
C

II.2 Các dạng bài tập
II.2.1. Tìm căn bậc hai của số phức
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC13
Ví dụ 1.
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) w = -9 b) w = 2i c) w = -8 + 6i.
Lời giải
Gọi z là căn bậc hai của số phức w.




−=
−=
1
1
y
x
. Vậy 2i có hai căn bậc hai là 1 + i và -1 – i.
• Chú ý: ta có w = 2i = ( 1 + i)
2
, nên 2i có hai căn bậc hai là 1 + i và -1 – i.
c) Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R), ta có z
2
= -8 + 6i ⇔



=
−=−
)2(62
)1(8
22
xy
yx

Mặt khác ta có x
2
+ y

b) Ta có w = (1 +i)
20
= ( 1 + 2i + i
2
)
10
=(2i)
10
= -2
10
.
Gọi z là căn bậc hai của w, ta có z
2
= -2
10
= (2
5
i)
2
. Vậy các căn bậc hai của w bằng 32i
và -32i.

Bài tập tự luyện
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
1) z = 1 + 4
3
i 2) z = 17 + 20
2
i 3) z = -3 – 4i
4) z = 5 – 12i 5) z = 46 - 14

Lời giải
a) Phương trình ñã cho có dạng z
2
- z – 1 = 0.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC14
Ta có ∆ = 1 + 4 = 5 , phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1
=
2
51+
; z
2
=
2
51−
.
b) z
2
-2(2+i)z + ( 7 + 4i) = 0.
Ta có ∆’ = (2 +i)
2
– (7+4i) = - 4 = (2i)
2
. Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm phân
biệt z
1

2
; | z
1
|
4
+ | z
2
|
4
.

Lời giải
Xét phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0 có ∆’ = 1 – 10 = 9 = (3i)
2
. Vậy phương trình có hai
nghiệm phân biệt z
1
= -1 – 3i; z
2

= -1 + 3i.
Suy ra | z
1
|
2
+ | z
2
|

0842
042
23
2
bbb
bb
⇔ b = 2.
Phương trình ñã cho tương ñương ( z – 2i)(z
2
– 2z + 4) = 0 ⇔ z = 2i hoặc z
2
– 2z + 4 = 0.
• Giải phương trình z
2
– 2z + 4 = 0 (2). Ta có ∆’ = 1 – 4 = -3.
• Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt z
1
= 1 - i
3
, z
2
= 1 + i
3
.
ðáp số: phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt: z = 2i, z = 1 - i
3
, z = 1 + i
3
.
Ví dụ 4

2
2
1
z
z
z
z
+
.
Lời giải
Phương trình z
2
+ (2 - i)z + 3 + 5i = 0 có nghiệm z
1
, z
2
thì z
1
+ z
2
= -2 +i và z
1.
z
2
= 3 + 5i
a)
2
2
2
1

1
zz
+
- z
1.
z
2
) = ( -2 + i)( -6 – 19 i) = 31 + 32i.
c)
4
2
4
1
zz
+
= (
2
2
2
1
zz
+
)
2
– 2(z
1.
z
2
)
2

21
2
2
2
1
1
2
2
1
−−=
−−
=
+−
−+−
=
+
=+
.
Ví dụ 5
Tìm m ñể phương trình z
2
+ mz + 3i = 0 có hai nghiệm sao cho tổng bình phương hai
nghiệm bằng 8.
Lời giải
Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2

2
= 8 + 6i = 9 + 6i + i
2
= ( 3 + i)
2
.
Vậy m = 3 + i hoặc m = -3 – i.
Ví dụ 6
Giải các phương trình sau:
a) ( z + 3 - i)
2
– 6( z + 3 - i) + 13 = 0. b) (z
2
+ 1)
2
+ ( z + 3)
2
= 0.
Lời giải
a) ðặt t = z + 3 – i, phương trình ñã cho có dạng t
2
– 6t + 13 = 0 (1)
Xét ∆’ = 9 – 13 = -4 = ( 2i)
2
. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm t
1
= 3 + 2i, t
2
= 3 – 2i.
• Với t = 3 + 2i ⇔ z + 3 – i = 3 + 2i ⇔ z = 3i.

– iz + 1 – 3i = 0; xét ∆ = i
2
-4( 1 – 3i) = 12i – 5 = ( 3i + 2)
2
.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt z
1
= 1 + 2i; z
2
= - 1 – i.
• Giải (2): z
2
+ iz + 1 + 3i = 0; xét ∆ = i
2
-4( 1 + 3i) = - 12i – 5 = ( 3i - 2)
2
.
Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt z
3
= - 1 + i; z
4
= 1 – 2i.
Ví dụ 7
Giải phương trình 2z
3
– 5z
2
+ 3z + 3 + (2z + 1)i = 0 biết rằng phương trình có một nghiệm
thực.
Hướng dẫn

1) 2z
2
+ z + 3 = 0. 2) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
3) 2z
2
– 2( 5 – 2i)z + 28 – 4i = 0. 4) z
2
– (3 + 4i)z – 1 + 5i = 0.
5) 2iz
2
– 3z + 4 + i = 0. 6) z
2
– ( 5 - i)z + 8 –i = 0.
7) z
2
– 2z + ( 1 – 2i) = 0. 8) 2iz
2
– 2(
3
- i)z -
3
- i = 0.
9) iz
2
– 2(1 - i)z – 4 = 0. 10) z
2
– ( 5 – 14i)z – 2(12 + 5i) = 0.
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức


−
+
iz
iz
iz
iz
. 4) (z
2
+ 2i) + (2z – 3 + i)
2
= 0.
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) z
3
+ 3z
2
+ 3z – 63 = 0. 2) 2z
3
– 9z
2
+ 14z – 5 = 0.
3) z
3
– 2( 1 + i)z
2
+ 3iz + 1 – i = 0. 4) z
3
+ ( 1 – 2i)z
2

– 8z - 16 = 0.
7) z
4
+ 2z
3
+ 3z
2
+ 2z + 2 = 0. 8) z
4
– z
3
+
2
1
z
2
+ z + 1 = 0.
Bài 5.
Tìm B ñể phương trình z
2
+Bz +( 7 + 4i) = 0 có tổng bình phương các nghiệm bằng
8i – 2.
Bài 6. Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm của phương trình z
2
+ ( 2 – 3i)z – 6i = 0.
Tính a)

.
Bài 7. cho phương trình z
3
+ az
2
+ bz + c = 0.
Tìm a, b, c biết rằng z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình.II.2.3. Giải hệ phương trình trên tập số phức.
Ví dụ 1
Tìm hai số z
1
, z
2
thỏa mãn



−=+
+=+
izz
izz
4
25
21
2
2
2
1

1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
– ( 4 – i)z + 5 – 5i = 0.
Xét ∆ = ( 4 - i)
2
– 4( 5 – 5i) = - 5 + 12i = ( 2 + 3i)
2
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC17
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm (z
1
; z
2
) = ( 3 + i;1– 2i) hoặc (z
1
; z
2
) = (1 – 2i; 3+i).
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình




24
21
21
321
⇔





+=
=
+=++
iz
iz
izzz
23
24
2
1
321
⇔





−=
+=
=

2
2
2
1
. 2)



+=+
+−=+
izz
izz
43
145
21
2
2
2
1
.
3)



+−=+
+=+
)1(9
)1(3
33
iwz




=++
=
=++
1
1
1
321
321
321
zzz
zzz
zzz
. 6)





=+−+
=+−
=−+
30)1(3
202
102
321
321
321

1
3
1
1
iz
iz
iz
z
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC18


=
r
b
r
a
ϕ
ϕ
sin
cos
.
III.1.2. Nhân chia dưới dạng lượng giác.
Cho các số phức z = r( cosϕ + isinϕ) ( r > 0) và z’ = = r’( cosϕ’ + isinϕ’) ( r > 0). Khi ñó:
z.z’ = r.r’[cos(ϕ +ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)].
[ ]
)'sin()'cos(
'
'
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
.
III.1.3. Công thức Moa – vrơ
[
]
)sin(cos)sin(cos
ϕϕϕϕ
ninrir

biểu diễn số phức – z ta có M
1
(-x; -y); M
1
ñối xứng với M qua gốc
tọa ñộ O nên – z có một acgumen là ϕ + π.
b) Xét ñiểm M
2
biểu diễn số phức
z
ta có M
2
(x; -y); M
2
ñối xứng với M qua trục
tung nên
z
có một acgumen là - ϕ.
c) Xét ñiểm M
3
biểu diễn số phức –
z
ta có M
3
(-x; y); M ñối xứng với M qua trục
hoành nên –
z
có một acgumen là π - ϕ.
d) Ta có
z

π
π
i−
.
Lời giải:
a) Ta có r =
22
)32()2( +−
. = 4.
Gọi một acgumen của z là ϕ, khi ñó:







=
−
=
4
32
sin
4
2
cos
ϕ
ϕ
⇒ ϕ =
6

=






−
+






−
4
sin
4
cos
ππ
i

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC20
Khi ñó z có một acgumen là
4

z
. d)
z
1
. e) kz.
Lời giải:
a) Ta có – z = - r(cosϕ + isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕπϕπ
+++ i
.
b)
z
= r(cosϕ - isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕϕ
−+− i
.
c) -
z
= - r(cosϕ - isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕπϕπ
−+− i

. b) z = -
3
sin
3
cos
π
π
i+
.
c) z =
3
- i. d) z = ( 2 +
3
) + i.
Bài 2. cho số phức z thỏa mãn |z| = 1, một acgumen của z là ϕ hãy tìm một acgumen của
các số phức sau:
a) 2z
2
. b) z +
z
. c) -
z
2
1
d) z
2
+
z
.
Bài 3. Cho z = 1 -

.
c) z = tan
8
5
π
+ i. d) z = 1 - cos cosϕ - isinϕ (ϕ ∈ R )
III.2.2. Thực hiện phép tính dưới dạng lượng giác – Viết số phức dưới dạng ñại
số.
Ví dụ 1:
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC21
Thực hiện phép tính sau: a)
2010
1






+ i
i
b)
21
321
335


+ 4
sin
4
cos
2
2
4
sin
4
cos2
2
sin
2
cos
1
ππ
ππ
π
π
i
i
i
i
i
.
Vậy
2010
1



ii
10051005
2
1
4
2010
sin
4
2010
cos
2
1
=






+
ππ
.
b)
(
)
21
21
2121
2
3

+−
++
=








−
+
ii
ii
ii
i
i

=
.2)14sin14(cos2
3
2
sin
3
2
cos2
2121
21
21

z
z
.
Lời giải:
a) ta có ( 1 - i)
4
= ( 1 – 2i + i
2
)
2
= ( -2i)
2
= 4i
2
= - 4






+=









+i)
6
= 2
8
, nên phần thực bằng 2
8
, phần ảo bằng 0.
b) do
1
1
=+
z
z
⇔ z
2
– z + 1 = 0 ⇔ z =
2
31 i−
hoặc z =
2
31 i+
.
Với z =
2
31 i−
thì
=
z
1




− ii
=
+






−+






−=






++





2000
2000
ππππππ
iii

+
3
2000
sin
3
2000
cos
π
π
i+
= 1.
Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.
Ví dụ 3:
Viết các số phức sau dưới dạng ñại số
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC22
a)
365
2
1



2
1
2
1
π
π
ii
i
+=+=
+
.
Vậy
.
2
2
2
2
4
365
sin
4
365
cos
4
sin
4
cos
2
1
365




+=








+−=+−
6
5
sin
6
5
cos2
2
1
2
3
23
ππ
iii

và 1 – i =
=







−
4
sin
4
cos2
ππ
i

Vậy z =






−+






−
+
=





−+






−






+
4
sin
4
cos
4
3
sin
4
3
cos
2


Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng ñại số
a) z =
(
)
6
3 i−
. b) z = 3






+






+
6
5
sin
6
5
cos
9

ππ
i
i
. d)
8
2222






−++
i
.
e)
(
)
7
5
31
3
sin
3
cos
iii
+




)1(
2
2
i
+ , ε = )31(
2
1
i
+− .
Chứng minh rằng các số phức z
0
=
12
sin
12
cos
π
π
i
+ , z
1
= z
0
.ε, z
2
= z
0
.ε
2
là các nghiệm của

4
cos
ππ
ππ
i
i
. b)












+











7
sin
12
7
cos3
ππ
i
, z
2
=






+
12
5
sin
12
5
cos2
ππ
i
. Tính z
1
.z
2
và

( )
12
6
12
1
)31(31
i
ii
+−
+−−
.
c) ( 1 + i)
18
. d)
6
2
3
2
1








+
i
.

ππ
i
. Xác ñịnh phần thực, phần ảo
của các số phức sau.
a) z
1
.z
2
. b)
2
1
z
z
. c)
2
1
z
. d)
1
1
z
.
Bài 7. Cho z =
n
i
i





5
19
3
19
1
19

CCCCC
−+−+−
Lời giải.
Xét khai triển ( 1 + i)
19
=
19
19
1918
19
184
19
43
19
32
19
21
19
0
19

CiCiCiCiCiiCC
+++++++

=
iii
512512
4
19
sin
4
19
cos2512
4
sin
4
cos2
19
+−=






+=









2010
= (1 + 2i + i
2
)
1005
= (2i)
1005
= 2
1005
i.
Mặt khác (1 + i)
2010
=
2010
2010
20102009
2010
20094
2010
43
2010
32
2010
21
2010
0
2010

CiCiCiCiCiiCC
+++++++ (1)

2009
2010
2007
2010
5
2010
3
2010
1
2010

CCCCC
−+−+− = 2
1005
.
Xét khai triển (1 + x)
2010
=
k
k
k
xC
∑
=
2010
0
2010
(*).
Lần lượt thay x = 1 và x = -1 vào (*) ta ñược:
2010

2010
=+−+−+−
CCCCCC
(4)
Từ (3) và (4) suy ra: C =
2010
2010
2008
2010
4
2010
2
2010
0
2010

CCCCC
+++++ = 2
2009
.
Và D =
2009
2010
2008
2010
5
2010
3
2010
1

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng






+=++++
3
cos22
3
1
1
963
π
n
CCC
n
nnn
.
Lời giải:
Ta có
n
nnnnn
nn
CCCCC
+++++=+= )11(2
3210
(1).

(1 + v
2
)
n
=
n
n
n
nnnn
CvCvCvCvC
23624120
+++++ =
32120
++++
nnnn
CvCCvC
(3).
Ta có: 1 + v + v
2
= 0; 1 + v
2
=
3
sin
3
cos
π
π
i
− ; 1 + v =

π
π
i
− ; 1 + v =
3
sin
3
cos
π
π
i
+ vào vế trái của (*) và rút gọn ta ñược
ñiều phải chứng minh.
Ví dụ 4:
Bằng cách xét hai số phức a = cosx + isinx và b = cosα + isinα (α≠ k2π, k∈ Z). Hãy tính
hai tổng sau: