/>
!"
#$%&'
()*+
,+-*.
/> />/#$
!"#$%&'()
*+,-,./0 12
3.456$5)
74 !"#$$1.8&9
./:;2<= 1,7$
>).452"1-?-@$)A
5B$1='70 C.45D1
.45B,2E.4547F
G)B,'(,H)
F7. !I$>)+F
JK+%G9+./>L7
4?8M/0N$$(.:(@K
G=2</ C$5&&6O !4)=
:8+7+/G0*?4 K
F+..::=@/ C?7$+M
-P?9:=@-P2<! !4
:=@+Q45$.. K.
F8B84)HC1 C)+2
R@8N:8:S@- KFT
/> />.45+$, !U:(@+)+2
R)+G-)+)U
ABCD
,\\X !\E !
2Z
+2345675849:;<=7>?<=7@A=B3475:F<=
/>\
] R
X E
( )
2 2 2
BC AB AC Pitago= +
. .AH BC AB AC=
2 2
. , .AB BH BC AC CH CB= =
2
2 2 2
1 1 1
, .AH HB HC
AH AB AC
= + =
2
BC
AM =
2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
/>4^R,8M4 !-$.
2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM
+
AMN
ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S
AM
k
S AB
D
D
* Þ = = =
æ ö
÷
ç
÷
* = =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
`c4MGIcGF K
\
] R
#E
/>K2B6<7I454L@M@=B34
@2B6<7I457@A=B34CDE<=
dM$.,
\
]
R
a
h
2
3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
D
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
Þ
í
ï
ï
=
ï
ï
GI7
2
2
dMFJ
GI472
/> />T2B6<7I455P<575@<=
dMFZ
g
XF
1
2
=
2`.1h.
GT^?
J2B6<7I4578=B344U5@B
M:F<=45V?CDE<==U4
dM8.
!T,
GIeM !
T2
XF !
T,
/$-$i !2
:DWZM.4M/.
JFK=4jM4M+
/>\
] X R
d
( )
.
( )
kk( )b a
Gk58<=AB<5
( )
kk( )mp mpa b
R8$
( )mp a
8 !lL+
+1
( )
mp b
2
R8$
( )mp a
( )
mp b
H++1V$m
lmH,1V !l2
k58<=AB<55@BM:F<=75Y<=[?<=[?<=Zn45$
.*M+
X
( )
( ),mp a b
/$g9 C8W !
l++
,a b
F
( )
d mp a^
R8$
d
,1 !lL
8
( )mp a
2
/> /> R8$Z
( )
kk '
'
d d
d mp a
ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
^
ï
ï
î
( )
d mp a^
R8$Z
( )
( ) ( )
kk
ì
ï
^
ï
ï
ï
ï
^ Þ ^
í
ï
ï
ï
Ç =
ï
ï
î
N258<=AB<5M:F<=75Y<=
'd d^
R8$
( )
d a^
( )
'da É
2
gQ45*'G !,2
R8OJ
d
'd
V !l,1$:^
R8OJ$mlGI
0
90
2
G2U4!Q&5?\<=345
@2U4=BR@5@BM:F<=75Y<=
pG% !lL9 Cq
H K
/> />1 !lZ
ả
ã
kk
kk
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
f
ỡ
ù
ù
ị = =
ớ
ù
ù
ợ
u
W-9 CI$&
W$mlH,12
( )
ã
( )
ả
( ); ( , )a ba b f= =
T2&5?\<=43457_A`7MBaAMb<A`7M:F<=75Y<=c
/>
d
'd
a
b
u
M
D
H
a
b
'a
'b
/> p4,qr/$ !
l
( )
9 C8
d
'd
2
/>'d
S
A
B
C
H
O
/>K2B<55U^OD
kH<5<=5e@2
EF C)F?M3f9Q
A`7M@=B34MOD4U45g<M:F<=4@?7>h<=CZB7gA
4L@M@=B34M3f2
#TZ
XF?.$mG&J$.7
GI2R.$mG&1..GI2
R.G&-F?1$m..
GI2
Gk@B5P<545U^MOD75:F<==]^
* Hnh chp tam gic đu:RF$.?
.S A BC
2bZ
<.
ABC
$.?2
R.$mG&.$.7
+ 84?.$m.$.?2
+ 84?F$.?G&
GI.2
* Hnh chp t gic đuZRF$.?
.S ABCD
2
<.
AB CD
F,2
R.$mG&.$.7
S
2
R?Z
SO
2
3JG&$m.Z
·
·
·
·
SAO SBO SCO SDO= = =
2
3J$mG&$m.Z
·
SHO
2
/> />.2i34H<5:F<=@?P<55U^
@2P<545U^4UA`74j<5
Nk<CDE<==U4CZBM3fZ
R?-F
?-
SABD
2
42P<545U^4U5@BA]7Nk<
CDE<==U4CZBM3fZ
R?-F
-$mG&
H,1.2
!ITlZXF
.S ABCD
$mG&
( )
SAB
( )
SAD
H,1$m
.
( )
ABCD
F?
SA
2
T2P<545U^MODZ
R?-F
!ITlZXF8.
?
.S ABCD
R
\
]
]s
\s Rs
\
]
R
\s
]s
Rs
/>.V B h=
:B
dM$m.2
:h
R?-:
2
p 'Zp@58
?t
G&2
G25a7I455P<55`^45R
<5S7Z
. .V abc=
Þ
5a7I45o5nB9S^
^5:q<=Z
3
V a=
K2r[n75a7I45Z
3
h
V B B BB= + +
"1
, ',B B h
4M
.?2
""t
5ITl*2Cho hnh chp
.S ABC
c đy là
tam gic vuông tại
·
0
, 30 ,B BAC SA AC a= = =
và
SA
vuông gc với
( )
mp ABC
.Tính th! tích kh#i
chp
.S AB C
và khoảng cch
"QB=B\B75@Ao5\?
M/M:
.S AB C
2
uZ
( )
0
0
0
0
.sin30
sin30
2
3
cos30
.cos30
2
a
BC
B C AC
AC
AB
a
AB AC
AC
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
= =
=
ù
ù
ù
2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24
S ABC
a a
V aị = ì =
`^
( )
4
M:=.r
A
( )
mp SBC
2
uZ
( ) ( ) ( )
.
.
3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
S B C BS AC AB SA AB a a
D
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = = - + = - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
( )
2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= ì ì =
u
v
( )
mp SAD
c'ng
vuụng gc vi m(t ph)ng y, cnh
SC
hp vi y
mt gc
0
60
. Tớnh th! tớch kh#i chp
.S ABCD
theo
a
.
/> />"QB=B\B75@Ao5\?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
ỡ
ù
^
ù
ù
ù
^ ị ^
.
1
. 1
3
S ABCD ACBD
V SA S=
2
F$
?SA
SACD
,
A
Z
ã ã
tan .tan
SA
SCA SA AC SCA
AC
= ị =
( )
2 2 0 2 2
.tan60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a= + = + =
2
Z
( )
2
, đy
ABC
là tam gic
vuông tại
,C SAB
là tam gic vuông cân tại
S
và nằm
trong m(t ph)ng vuông gc với m(t đy. Gọi
I
là
trung đi!m cạnh
AB
.
a/ Chng minh rằng, đường th)ng
( )
SI mp ABC^
.
b/ Biết
( )
mp SAC
hợp với
( )
mp ABC
một gc
0
60
. Tính th!
tích kh#i chp
.S ABC
= Ç Þ ^
í
ï
ï
^ Ì
ï
ï
î
`$^
GkM/M:
.S AB C
3)
K
/$-
AC
2
SKÞ
rr !
SAC SK ACD Þ ^
2
ABCD
,
C
KI
!GF2
/>g
\
]
KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC
ì
ï
^ =
ï
ï
é ù
ï
Þ ^ Ì Þ = =
í
ê ú
ï ê ú
ë û
ï
^ Ì
ï
ï
î
2
EZ
( )
.
1
. 1
3
S ABC ABC
V S SI
D
2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC
D
= = - = -
( )
( ) ( )
2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a= - =
2
( ) ( )
2 , 3
( )
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S ABC
a
V a aÞ = =
( )
. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H
D
= =
d
ABCD
?&Z
( )
2 2
. 3 3
2
4 4
ABC
BC a
S
D
= =
2
F$
'A H
v
d
IH
!GF?
AMBD
^
ù
ợ
EZ
( ) ( )
ã
ã
0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A
ỡ
ù
ầ =
ù
ù
ộ ự
ù
^ è ị = =
ớ
ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ
ù
^ è
ù
ù
a a a
Vị = =
2
5ITl.2Cho hnh lng tr ng
. ' ' 'ABC A B C
c y
ABC
l
tam gic vuụng ti
ã
0
, , 60A AC a ACB= =
. ng chộo
'BC
/>\
s
]
s
R
s
\
]
R
E
y
X