Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số


y f x
 xác định trên
.
D


o
x x

gọi là điểm cực đại của hàm số nếu




, , ,
o
a b x a b D
  
và


và




,
o
f x f x







\, ,
o o o
x a b x f x
  gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm


'
f x
. Tìm
x
mà tại đó


+ Tính


''
f x
và


"
i
f x
.
+ Dựa vào dấu của


"
f x
suy ra cực trị.
Nếu


" 0
i i
f x x x
  
là điểm cực tiểu.
Nếu



f x x x
f x x x
 
  

 
' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( )
8 2
 
       
k
f x x x x k Z
Vậy hàm số đạt cực đại tại
2 , 2
8
C D
x k y

    , hàm số đạt cực tiểu tại
2 , 2.
8
CT
x k y

    
 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm
0

2
3 6 3
3
' 0 3 3 1 0
3 6 3
3
m m
x
y x mx m
m m
x

 



      

 




Bảng biến thiên:

0
0




f x
CD CT


để hàm số




3 2
3 4 1
y x m x m x m
     
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2 .
x x
  
Lời giải
Tập xác định
.
D





 
2
2







1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0
x x x x x x
        

Áp dụng định lý Viet ta có:


4 3
4 1 1
4 0 8 1 0
3 3 8
m
m
m m


       

Vậy
1
8
m


2
0
' 0
x
y
x m


 

 


Hàm số có ba cực trị
'
y

đổi dấu ba lần trên
' 0
D y
 
có ba nghiệm phân biệt
0
m
 
0.
m


Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Gọi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác
ABC
, ta có:
A

2
.
2 2 2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD
    

4 2 3
2 2 1 0
m m m m m
       

 


  
Ví dụ 5: Cho hàm số


2
1 2
.
x m x m
y
x m
   


Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị cùng
dấu.
Lời giải
Tập xác định
\{ }
D m



 
2
2
2
'

0
1
2 2 0
g
m
m
g m
m
m

 


 

  
 



  

 

Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ
 
 


 

 
 





Do đó
2 1; 2 1
CĐ CĐ CT CT
y x m y x m
     

C
Đ
y
và
CT
y
trái dấu
2
. 0 6 9 0 3
CĐ CT
y y m m m
       

Vậy
m
thỏa mãn yêu cầu của đề bài
1


Ta có
2 2
' 3 6
y x x m
  

Để hàm số có hai điểm cực trị thì
'
y
phải đổi dấu hai lần
' 0
y
 
có hai nghiệm phân biệt
2 2
' 0 9 3 0 3 3 3
m m m            .
Thực hiện phép chia


f x
cho


'
f x
ta có
     
 

Do


 
1
2
0
0
f x
f x







nên
 
 
 
 
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3

Gọi




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm
I
của
AB
có tọa độ là
2
1 2 1 2
( ; ) (1; 2)
2 2
x x y y
I m m
 
  
.
Các điểm cực trị




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y

2 1
3 . 1;
0
3 2
0.
1 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
m
m
m
m m
m
m m

  



 
   
 
 



    



2;32 , 2; 32
CT CD  
c.
4 2
12 3
xy x

Đáp số:




 
6; 33 ; 6; 33 , 0;3
CT CD  

d.
2
sin 3 cos , [0; ]
y x x x

   Đáp số:
5 7
;
6 4
CD

 
 
 

   
   
   
   

b.
2 3
3sinx cos
2
x
y x

   Đáp số:
3
2 ; 3 2
2 2 2
CT k k
 
 
 
     
 
 

3
2 ; 3 2
6 2 6
CD k k
 
 

3 2
y x ax bx c
   
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
2
x
 
và đồ thị
hàm số đi qua điểm


1;0
A . Đáp số:
3; 0; 4
a b c
   

Bài 5: Tìm m để hàm
m
x
mxx
y



4
2

đạt cực tiểu tại
0

1
mx
5mxx
y
2




có cực trị. Đáp số:
2
1
2
1
 m
Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.


4 2
2 1 5
y x m x m
    
có 3 cực trị. Đáp số: 1

m
b.
3
1
3


3 2 2
3 2 3 4
y x mx m m x
     
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy

Đáp số: 13



m
Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2
y x m x m m x m
       
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thoả mãn điều
kiện
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x

x , x
sao cho
1 2
x 1 x
  
. Đáp số:
3
m
 

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
    

có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho khoảng
cách giữa chúng nhỏ nhất. Đáp số: 0
3
132
min  md
Bài 14: Cho hàm số


3 2 2 3
3 3( 1) 1

Bài 16: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
  
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao cho góc
120
o
AOB  . Đáp số:
4
3
2
m

Bài 17: Tìm
m
để hàm số






3 2 2
3 1 2 3 2 1
       
y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị tạo với đường thẳng


. Chứng minh rằng với mọi
m
hàm số luôn có cực trị và khoảng
cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc
m
. Tính độ dài khoảng cách đó. Đáp số:
4 5

Bài 19: Tìm
m
để hàm số


3 2
2 1 1
y mx m x x
    
đạt cực đại tại
1
x
, đạt cực tiểu tại
2
x
và
2 1
16
.
9
x x 

    
Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích lớn nhất. Đáp số: m = 0.