http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 03: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Dạng 1: Tính khoảng cách
Loại 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp:Cho điểm
0 0 0
; ;
M x y z
và mặt phẳng (P)
: 0
ax by cz d
. Khi đó khoảng cách
từ M đến (P) được cho bởi công thức:
0 0 0
2 2 2
;
ax by cz d
d M
a b c
2
2 2
1.0 1. 1.0 5 5
;
3
1 1 1
b b
d M Q
Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:
; ;
d M P d M Q
1 5
1 5
3 3
b b
: x + 2y + 2z – 10 = 0 và khoảng cách từ
M( 1; 0; 1) đến
bằng 2.
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài giải:
Vì
song song với
nên
có dạng: x + 2y + 2z + D = 0
Khoảng cách từ M đến
3 6 3
3 6
3 6 9
D D
D
D D
Vậy
có dạng
x 2y 2z 3 0
x 2y 2z 9 0
Ví dụ 3: Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
1 4 3 3 12 0
3 4 4
x y z
x y z
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BCD
là:
2 2 2
12
12
34
4 3 3
d
Ví dụ 4:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cách điểm M(1; 2; 1) một khoảng bằng 2
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
B C
2 2
2 2
B C B C
2 2 2 2
2
4 4 4 4
3 4 0
3 4 0
B C BC B C
C BC
C C B
0
3 4 0
C
C B
; ;
n a b c
là VTPT của mặt phẳng (Q)
Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 0; 0) nhận
; ;
n a b c
là VTPT là:
1 0
a x by cz
0
ax by cz a
Vì (Q) qua B(0; 2; 0) nên có: 2b – a = 0 2
b a
Chọn a = 2, b = 1
phương trình (Q) là: 2x + y + cz – 2 = 0
Khoảng cách từ N đến (Q) là:
2 1 2 2
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
2x y 2z – 2 0
8x 4y - z – 8 0
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Chọn một điểm M có tọa độ cụ thể nằm trên mặt phẳng
.
Bước 2: Khi đó
Lấy
1; 3; 3M
. Khi đó:
2 2 2
1 6 6 2
9
; ; 3
3
1 2 2
d d M
Vậy d = 3
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng:
2
P
nên
1 2
; ;
d P P d P P
(1)
Chọn
1 2
3 1
3 3
D D
D D
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
3 1 0 2
2
3 1 2 4
D D D
D
D D D
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
2 2 2 0
x y z
d M
Khoảng cách từ M đến
là:
3 5 1 3 5 1
;
9 25 1 35
x y z x y z
d M
Vì M cách đều
và
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0.
x y z
Vậy tập hợp các điểm M cách đều
và
là hai mặt phẳng:
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0.
x y z
Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng
n n
a b c a b c
Ví dụ 1:
Tính góc giữa các mặt phẳng
: 1 0, : 5 0.
x y z x y z
Đs:
Bài giải:
VTPT của
là
. Khi đó
2
2 2 2 2 2
.
1.1 1.1 1.1
1
cos
3
.
1 1 1 . 1 1 1
n n
n n
Ví dụ 2:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng
:
n
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng
một góc
0
60
nên:
2 2
.
2
1
cos
2
.
. 4 1 5
P
P
n n
Với
1
3
A B
. Chọn B = 3, A = 1
3 0
x y
Với
3
A B
. Chọn B = -1, A = 3
3 0
x y
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
3 0
3 0
x y
là:
3 0
a x by cz
ax 3 0
by cz a
Vì (Q) qua C (0; 0; 1) nên
3 0 3
c a c a
Chọn a = 1, c = 3
( ):x 3 3 0
Q by z
Vì mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc
0
60
nên ta có:
2 2 2 2
.
3
3
cos
2
26 26
b b
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
x 26 3 3 0
x- 26 3 3 0
y z
y z
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b) Tìm tỉ số
Vậy
; ;0 , 0; ;
2
b
BD a a BM a
2
; ; ;
2 2
ab ab
BD BM a
Có
2
2
3
' ;0; ; . ' ; ; ;0;
2 2
ab ab
n BD BM a
Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:
2
2
; ' ; ;
n BD BA ab ab a
2 2 2 2
4
1 2
' . 0 0 1
2 2
a b a b a
8 4 8 0
x y z
Q
x y z
Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q):
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và (Q): 6x – 3y + 2z – 2 = 0
b. (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): x + 2y + z + 5 = 0
ĐS: a) 4x – 16y + 20z + 1 = 0 hoặc 32x – 2y – 8x – 13 = 0
b) x + 2y + z + 2 = 0
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a vuông
góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ĐS:
3
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng(SEF) và (SBC) ĐS:
3
os
mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
ABC
bẳng
1
3
ĐS:
1
2
b c
Bài 5: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD
có các đỉnh
1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C và
0;3;1
D . Viết phương trình mặt phẳng
Bài 6:Cho hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, tam giác
'
A AC
vuông cân,
'
A C a
. Tính thể tich của khôi tứ diện
' '
ABB C
và khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
'
BCD
theo a. ĐS:
6
6
a
Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài 8:Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại B,
,AA' 2 , ' 3
AB a a A C a
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
' '
A C
,
I
là giao điểm của
AM
và
'
A C
. Tính theo
Copyright: Tài liệu đại học ©