http://baigiangtoanhoc.com Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp cho học sinh THPT bằng
pháp cân bằng hệ số
ThS. Đỗ Viết Tuân
Bộ môn: Toán - tin
I. Đặt vấn đề:
Quá trình học tập ở phổ thông đã có nhiều phương pháp tổng quát cho một
lớp các bài toán sơ cấp như phương pháp qui nạp, phương pháp toạ độ, phương
pháp véc tơ, phương pháp lượng giác hoá…
Trong bài viết này tôi xin trình bày một lớp các bài toán có thể giải bằng phương
pháp cân bằng hệ số.
II. Mục đích:
-Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một lớp các bài toán sơ cấp
-Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp thông qua phương pháp này.
III. Nội dung
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp cân bằng hệ số trong một số bài toán tích phân,
bất đẳng thức, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình vô tỷ, hệ thức lượng trong
tam giác, nhị thức Newton…
1. Trong các bài toán tích phân, nhị thức Newton
Trước hết chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho hai đa thức
1 1
( ) , ( )
n n
i i
i i
i i
P x a x Q x b x
 
 

x


Giải: Phân tích:

3 2
2
3
1 1 1
3 ( ) ( ) 1
A Bx C
x x x x
A B x B C A x A C x

 
   
          

http://baigiangtoanhoc.com Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Từ đó suy ra:
0 1
0 1
3 2
A B A
B C A B
A C C
  
 
 

2 1 1
0 0
2 2
0 0
1
2 1 5 2 2
2
ln(1 )| arctan( ) |
1 2 2 1
3 3 3 3
2
x
x dx
dx x x
x x x x



     
   
 

Vậy
2
ln2
3 3
I

 
.

Và

2
0 1 0 1 1
0 0 2 1 2 2 0 2
(1 ) (1 ) ( 1)
( )( )
( ) ( ) ( ) (2)
n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n n n
n n n n n n n
x x x
C C x C x C x C x C
C C C C C x C C x

   
      
 
       
 
 
  

Từ (1) và (2), suy ra:
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( ) .
n n

ky z k yz
k x y kxy
 
 
 

cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên lại ta có:

2 2 2
2 2 2
( )( ) 2 2
( )
( )
2
k k x y z k
k k
x y z k
   

   

Cho
( )
2 0
2
k k
a k k a

    
, ta tìm được








  
 

 
  


  




.
Ví dụ 4: Cho


0;1
x . Chứng minh rằng
3 2
6 15
(1 )
125
x x  .

   
 

  


 
   
 

 
  

  


.
(Việc cân bằng hệ số như trên giúp chúng ta khi áp dụng bất đẳng thức Côsi sẽ triệt
tiêu ẩn x).
Từ đó ta suy ra:
2
3 15
2
2 6 3 0
3 15
2

 



.
5
5 15 5
x

  


3. Trong các bài toán hệ thức lượng trong tam giác
Bổ đề 2: Nếu cho biểu thức
ma nb pc
 
thì ta có thể phân tích thành
( ) ( ) ( )
x a b y b c z c a
    
, trong đó:
2
2
2
m n p
x
n p m
y
p m n
z
 




. (2)
Theo bổ đề trên đẳng thức (2) tương với

3004(cot cot ) 1001(cot cot ) 1003(cot cot ) 0
2 2 2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
3004 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
C A B
A B B C C A
     
   4cos cos cos 4cos cos cos 4cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3004 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin sin sin sin
3004. 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
3004 1001 1003
0
300
A B C A B C A B C
A B B C C A
A B C A B C A B C

A B A B A B C
A B A B
  
     
http://baigiangtoanhoc.com Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Tương tự ta có:
sin sin 2cos
2
A
B C  và
Vậy
5cos 3cos cos .
2 2 2
A B C
VT VP
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
cos cos cos 1
2 2 2
A B B C C A
A B C
  
     
. (đpcm).
Chúng ta cũng có thể dựa vào định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết một
số bài toán lượng giác khác.
Bổ đề 3: Cho hai số phức
1 1 1 2 2 2
,
z a bi z a b i

 
, nên chúng ta có thể coi tổng ở vế trái là phần thực của
số phức sau:
4
(2 1)
11
0
i
k
k
T e





. Ta viết số phức T dưới dạng:

10
2
4
11
11 11 11
2
0
11
1
1
i
i ki i

11 11 11 11 11
sin sin sin
2 sin
11 11 11
11
i
i
i
i
ie
T e e i
ie

 

    
  

   
Từ đó suy ra:
5 5 10
sin cos sin
1 1
11 11 11
Re
2 2
sin sin
11 11
T
  

x x x
   

Giải :
Trước hết chúng ta sẽ đặt 4 5
x at b
  
. Khi đó ta có hệ phương trình sau:

2
2 2 2
2 6 1
2 4 5
x x at b
a t abt b x

   


   



Chúng ta sẽ tìm điều kiện của a và b để hệ trên là hệ đối xứng kiểu II bằng cách
viêt lại hệ dưới dạng:
2
2 2 2
2 6 1
2 4 5
x x at b

t t x

   


   



Trừ theo vế hai phương trình ta có :
2 3 4 5 2 3
( )( 1) 0
1
2 1 4 5 1 2
t x x x x
x t x t
t x
x x x
 
     

      
 

 
     

 
 
.