Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP:
Ta có công thức tính tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
 
 
. Dưới đây là phương pháp giải một số
dạng cụ thể:
Loại 1.

( )sin ( ) ( cos ) ( )cos x '( ).(cos )
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x xdx f x d x f x f x x dx
   
  


Loại 2.

1
( ) ( ) (tan) ( )tan '( ).tan
cos
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x dx f x d f x f x dx
x
  
  


Loại 5.

2
1
( ) ( ) ( cot) ( )cot '( ).cot
sin
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x dx f x d f x f x dx
x
    

b
e bxdx bx d e e bx e bxdx
   
  
  
  


Loại 8:

1 1
sin sin ( ) sin os
b b b
b
x x x x
a
u
a a a
dv
b
e bxdx bxd e e bx e c bxdx
   
  
  
  


Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a. I =
4

9
5
d. I = dx
x
x

3
4
2
cos


e. I =
4
0
xdx
1 cos2x




Bài giải:
a. I =
4
0
cos2
x xdx




2 4 2 4 8
I x x xd x x x x





 
     
 
 


b. I =
2
2
0
( 1)sin
x xdx




Đặt
2
2
1
cos
sin
du xdx

x xdx


, đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
 
 

 
 
 
2
2
2
0
0
0
sin sin cos 1
2 2
J x x xdx x



 
      

(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 1 + 2(

 



 

 




Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
6
6
6
0
0
0
1 1 1 1 5
(2 )cos3 cos3 (2 )cos3 sin3
3 3 3 9 9
I x x xdx x x x



 
         



 






3 3 3
3 3 3
4 4 4
4 4 4
sinx (cos )
tan tanx tan tan
cos cos
d x
I x x dx x x dx x x
x x
  
  
  
  
      
   
3
4

1
2 cos
xdx
x




Đặt
2
tanx
os
u x
du dx
dx
v
dv
c x






 








,
R x R


 
. Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt:

( )
sin
u P x
dv xdx






( hoặc
( )
cos
u P x
dv xdx







x e dx


d. I =
dxe)1x(
1
0
x22



Bài giải:
a. I =
1
0
x
xe dx


Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 


1
2
x
x
du x dx
u x
v e
dv e dx
 


 
 

 







1
1 1
2 2 2 2 2
0
0 0
1 1
( 1) ( 1) 2 ( 1)
2 2




 






1
1
1
2
2 2 2 2
0
0
0
1 1 1 1 3 1
( 1) ( 1)
2 2 2 4 4
x x x x
e
J e x e dx e x e

 
       
 
 



 

 



 
 



 Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
1 1
1
2
0
0 0
3
( 2 ) 2 ( 1) 2 ( 1)
x x x
I x x e x e dx x e dx
e
  

2
( 1) ( 2 ) 1
x x x
J x e e dx x e
e
  
         


7
2I
e
  

d. I =
1
2 2
0
( 1)
x
x e dx



Đặt
2
2
2
2
1

x x x
I x e xe dx e xe dx
      
 

Xét J =
1
2
0
x
xe dx


Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx







Chú ý: Với tích phân dạng
( )
b
x
a
I P x e dx



, trong đó P là một đa thức


,
R x R


 
. Khi sử dụng tích
phân từng phần ta đặt:
( )
x
u P x
dv e dx








sin3
x
e xdx



Bài giải:
a. I =
2
0
cos
x
e xdx



Đặt
cos sinx
x x
u x du dx
dv e dx v e
  
 

 
 
 

1 1
2

2
0
0
sin cos
x x
J e x e xdx e I


    

(2)
Thay (2) vào (1) được I = -1 +
2
e I


2
1
2
e
I

 
 
b. I =
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
sin (1 cos2 ) cos2
2 2

(2)
Xét
2
2
0
cos2
x
I e xdx




Đặt
2
2
2sin 2
cos2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
 





e xdx



Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Đặt
2
2
2cos2
sin 2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx






 



2
1
1
8
I e

  

c. I =
2
2
0
sin3
x
e xdx



Đặt
2
2
3cos3
sin3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e

Xét J =
2
2
0
cos3
x
e xdx



Đặt
2
2
3sin3
cos3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
 





 

cos
b
a
e bxdx


( hoặc I =
x
sin
b
a
e bxdx


), trong đó
, 0
a b

. Khi sử dụng
tích phân từng phần ta đặt:
cos
x
u bx
dv e dx









)
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a. I =
 
1
2
0
ln 1
x x dx


c. I =
2
1
( .ln )
e
x x dx


b. I =
2
0
cos .ln(1 cos )
x x dx

ln( 1)
1
1
2
x
du dx
u x
x
dv xdx
v x




 



 







1
1 1
2 3
2

x x dx




Đặt
sin
ln(1 cos )
1 cos
cos
sinx
x
u x
du dx
x
dv xdx
v


 





 





2
3
ln
ln
1
3
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x





 

 








Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013


3
du dx
u x
x
dv x dx
v x







 







3 3 3 3
2
1
1
1
1 2 1
ln ln
3 3 3 9 9
e


Đặt
2
ln(sin )
cot
1
t anx
cos
u x
du dx
v
dv dx
x






 






 
3
3 3
6 6

ln(1 )
x
dx
x


b. I =
1
9
3
2
5
0
1
5
sin (2 1)
4 1
x
x
dx
x
x
 
 
 


 



 




2 2
2
1
1 1
1 1 1 1 1
ln(1 ) ln3 ln 2
( 1) 2 1
I x dx dx
x x x x x
 
         
 
 
 
  
2
1
1 3
ln3 ln 2 ln ln 1 ln3 3ln2
2 2
x x        
b. I =

1
1
3
3
9
0
5 5 1
3ln5 3ln5
x

 
Xét
1
9
2
2
0
sin (2 1)
xdx
I
x




Đặt
2
1
1
cot(2 1)

2 2
x
I x x dx

    

=
1
9
0
1
cot(2 1) ln sin(2 1)
2 4
x
x x

 
  
 
 11
sin
1 11 1
9
cot ln
18 9 4 sin1
  


3ln5

11
sin
1 11 1 5
9
cot ln
18 9 4 sin1 36
  

Chú ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2
nguyên tắc:
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
1) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng
2) Tích phân
b
a
vdu

được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a.
dxxx

2
0

4
xdx
sin x



g)
dxex
1
0
x2


h)
dx
x
xln
2
e
1


i)
dxxln
e
1
2

k)
dx)x1ln(x

9 4 3 ln
36 2 2

  g)
e
5e2

h) 4 i) e – 2
k)
2
32ln25ln5



Bài 2: Tính các tích phân sau
a)
xdxxx


2
0
2
sin)32(

b)
dxxln)1x2(
2
1



f)
2
x
0
e sinxdx



ĐS: a) 1


b)
2
1
4ln  c)
13
2e3 

d)
2
3 4
4e 7

e)
3
e 3
4

f)


0
2


d)
dx)xcos(ln
2
1


ĐS: a)




1
2 ln 2 1
2
 
b) 2 c) 15)25ln(2  d)
2
1
)2cos(ln)2sin(ln 