Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 01. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tập các số phức


2
| , , 1
C z a bi a b R i
     

Mỗi số phức có dạng:
 
z a bi
. Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức.
Số đối của số phức
 
z a bi
là số phức
   
z a bi

Môđun của số phức
 
z a bi
là
2 2

a a'
a bi a' b' i
b b'

Phép cộng:
    
z z' (a a') (b b')i

Phép trừ:
    
z z' (a a') (b b')i

Phép nhân:
   
z.z' (aa' bb') (ab' ba')i

Phép chia:




2 2
a' b' i a bi
z' a' b' i

z a bi
a b
 

  

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
a)
2
( 2 ) (1 2 )
z i i
  

b)


3
2
1 2
i
z
i




c)
3 2





1 2 2 . 1 2
i i
  

2
1 2 2 2 4
i i i
   


1 2 2 2 4
i
   


5 2 2 2
i
  



5 2 2 2
z i
   

Vậy số phức


3 2
2 1 2 2 . 1 2 . 2
3
1 2 . 1 2
i i i i i
i i
    
 
 




2 3 2 . 2 2 2 1
3
i i
   

 


3 . 1 2 2
3
i i
 

2
3 6 2 3 6 2
2 2

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà



 
   


2
2 2
3 . 1 2 .
3 3 1 2
1 . 1 1 1
i i i i
i i i i
i i i i
  
   
   
  







3 1 3 1 3 1 3 1 2. 2 1
2 1

k i
z
i



là số thực.
Giải
Ta có:
9
1
k i
z
i





2
2
2
2
2
18 81 .
9 18 81
1 2 2
k ki i
k i k ki
z

2
81
0 81 0 9
2
k
k k

      

Dạng 2: Tìm modun của số phức
Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức để rút gọn biểu thức đã cho về dạng
a bi

và dùng công
thức modun để tính.
Ví dụ 3: Tìm modun của số phức
z iz

thỏa mãn điều kiện sau:
2
(1 3 )
1
i
z
i




Giải

i
i i
  
   
 


3 1 1 3
i
   



3 1 1 3
z i
    

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

z iz
 




3 1 1 3 3 1 1 3
i i       

         

3 2
z i
  


Với
3 2
z i
 

6 6 2
3 2 3 2
3 3 1
z i i
z i i i
      
  



2 1
3 2
2
i
i

  
3 2 1 4

3 3
3 2
5
i
i

  


3 3
15 10 9 3 24 7 24 7
3 2
5 5 5 5 5
i
i i i
i i

   
      

2 2
6 24 7 625
25 5
5 5 25
z
z i
   
       
   


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

b)
2 20
1 1 1 1       
z ( i ) ( i ) ( i )

Giải
a)
33
10
1 1
2 3 2 3 1
1

 
      
 

 
i
z ( i )( i ) ( i )
i i

 
  
 
33
5

 
     
 

 
33
5
1 1
13 32i
i i
 
    
 
 

1 1
13 32
i
i i
   

13 32
i
 

b)
2 20
1 1 1 1       
z ( i ) ( i ) ( i )


i i i i i
i i i
     
     
1025 1024 1025 1024
1 1 1025 1023
1
i i
i
i
 
     


1023 1025
i
  

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn
11 8
1 2
.
1 1
i i
iz
i i

   
 
   

 
8
11
1
1
i i
i
   
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

   
8 4
8
2
1 1 1
. 1 2 16 16 16
i
i i i i
i i i i
           


16
1 1 16
z i
i
    

 

Có:
2 2 2 2
2 2 2
z a b a b
      
(1)
Có :
2 2 2
2
z a b abi
  

Vì
2
z
là số thuần ảo nên
2 2
0
a b
 
(2)
Từ (1) và (2)
2 2 2
2 2 2
2 1 1
1
0 1
a b a a

Ví dụ 8: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1
2
z
i
z
z
 


 


. Tìm số phức liên hợp của z.
Giải
Gọi số phức z có dạng:
z a bi
 
2 2 2 2
1 1
z a b a b
      

Có:


3 2 2 3
2 2 2 2

b a b a i
a a b b
a b a b
 
 
 
 
 
 

Vì
2 2
a b

= 1
 
i
z a b a b i
z
     
   
 
2 2
2 2
2 2 2(1 2 )
i
z a b a b a b ab ab
z
          
Mặt khác

a b
a
b
b
ab
b
b b
b


 
 


  
 
  

  
 
  
 


2
1
2
2
2
1

là
2 2 2 2
,
2 2 2 2
z i z i
    

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
ĐS: phần thực a = 8
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
a)
   
2 2
1 1
   
z i i
b)
   
3 3
2 3
   
z i i

z i
c)
1
 
z
d)
3 3 2 2 3 1
2 2
  
 
z i

Bài 3: Cho số phức
 
z a bi
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
a)
2
2 4
 
z z i
b)
1


z i
iz

Khóa học số phức ôn thi đại học


2. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
     
3
2 2 3 2 5 4 2 3
z i i i i
     
3. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
 


 
 

 

ĐS: 1) b =
2
a
2) a = 88, b = -59 3) a = b = 2
Bài 5: Tính toán rồi tìm phần thực và phần ảo của số phức z:
1.
2 2010
1
z i i i

1
z


2. Cho các số phức
 
 
3
3
1 2
1 2 1
4 3 1 ,
1
i i
z i i z
i
  
    

. Tính môđun của số phức
1 2
.
z z z

ĐS:
z

725
2


. Tìm m để
1
.
2
z z


ĐS:
1
m
 

Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

1.
2 2
z z i
  
và
2
2
z i
z


là số thuần ảo