http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 07: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa mặt cầu:
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bẳng R không đổi được gọi là
mặt cầu tâm O bán kính R
Như vậy ta có: S (O; R) =
/
M OM R
Vậy một mặt cầu hoàn toàn xác định khi biết:
- Tâm và bán kính của nó hoặc
- Đường kính của nó
Chú ý: Nếu góc
0
90
AMB thì M thuộc mặt cầu đường kính AB
2. Phương trình mặt cầu:
-Với phương trình cho dưới dạng chính tắc:
2 2 2
2
x a y b z c R
- Nếu
d R
(P) tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó (P) được gọi là tiếp diện của (S)
- Nếu
( ) ( ) ( )
d R P S C
là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) với
2 2
;
C H R d
Chú ý: Trường hợp đặc biệt d = 0
O H
. Khi đó C(O; R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu
S(O; R)
3. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho mặt cầu S (O; R) và đường thẳng d bất kì. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d và h = OH là
khoảng cách từ O đến d. Khi đó:
- Nếu ( )h R d S
- Nếu
h R
, ,
O a b c
, bán kính R
Mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
Mặt cầu (S) có tâm
, ,
O a b c
, bán kính
2 2 2
R a b c d
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình
a) 01y2x8zyx
222
b)
2 2 2
x y z 4x 2y 6z 5 0
c) 04z2y8x4zyx
x y z
Vậy mặt cầu (S) có tâm
2;1; 3
O
bán kính
3
R
c) Ta có: 04z2y8x4zyx
222
2 2 2
2 4 1 25
x y z
Vậy mặt cầu (S) có tâm
2; 4;1
O , bán kính
5
R
x y z
Vậy (S) có tâm
3; 1;1
I , bán kính R = 1
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Mặt phẳng (P):
2 2 1 0
x y z
có VTPT
1;2; 2
n
Đường thẳng qua I vuông góc với mp (P) nên nhận VTPT
1;2; 2
n
t t t t t H
z t
x y z
O
Vậy đường tròn (C) có tâm
3; 1;1
H , bán kính R = 1
Chú ý: Để tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ta làm như sau:
- Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
- Tìm tọa độ hình chiếu H của tâm I lên (P). Sau đó tính d = IH. Khi đó:
- Nếu
( ) ( )d R P S
Bài giải:
a. Ta có:
2 2 2 2
m
(S ): x y z 4mx 2my 6z m 4m 0
2 2 2
2
2 3 4 4 9
x m y m z m m
Ta thấy
2
2
1
4 4 9 4 8 0,
2
m m m m
Vậy
m
(S )
Vậy trong mặt phẳng z = 3 tâm
m
I
luôn nằm trên đường thẳng
1
2
y x
Ví dụ 4: Cho họ mặt cong
m
(S )
:
2 2 2 2 2
2 4 8 4 0
x y z m x my m
a. Tìm điều kiện của m để
m
(S )
2
2
R m
b. Ta có:
2
2
4
2
0
0
x m
y x
y m
z
z
x y z
Chú ý: Từ ví dụ 1 để viết phương trình mặt cầu khi biết tâm I(a; b; c) và đi qua một điểm A cho trước thì
ta tìm bán kính R = IA. Khi đó phương trình (S) có dạng:
2 2 2
2
x a y b z c R
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu với đường kính AB, trong đó A(3; -4; 5), B(-5; 2; 1)
Bài giải:
Ta có
8;6; 4 64 36 16 116
AB AB
Gọi I là trung điểm của AB
1; 1;3
I
Vì (S) nhận AB là đường kính nên
x y 3 0
(d ):
4x 4y 3z 12 0
a) Chứng minh rằng
1 2
(d ), (d )
chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của
1 2
(d ), (d )
.
Bài giải:
a) Đường thẳng
1
d
có VTCP là
1
2;1;0
u
qua
0;3; 4
M M
1 2 1 2
; . 36 0
u u M M
Vậy
1 2
(d ), (d )
chéo nhau.
b) Chuyển
1
d
về dạng tham số:
2
,
4
x t
y t t R
z
(d ), (d )
2 ; ;4 , ' 3 ';3 3 ';0
M t t M t t
' 3 ' 2 ;3 3 ' ; 4
MM t t t t
Để MM’ là đoạn vuông góc chung của
1 2
(d ), (d )
thì
1 1
2 2
2
' '. 0
6 ' 4 3 3 ' 0 3 ' 5 3 0
'
3
9 ' 6 9 9 ' 3 0 18 ' 3 9 0
' '. 0
1
MM u MM u
t t t t t t
2;1;4 , ' 2;1;0
M M
Vì (S) nhận MN là đường kính nên tâm I của (S) là trung điểm của MN
2;1;2
I và bán kính
4
2
2 2
MN
R
Vậy phương trinh (S) là:
2 2
2
2 1 ( 2) 4
x y z
Chú ý: Từ ví dụ 1+2: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm
của AB và bán kính
2
AB
R
c. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mp (Oxz) là:
2 2
2
2 1 ( 4) 1
x y z
Chú ý: Từ ví dụ 4: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho trước,
ta lập phương trình của (S) với tâm I và
R d I P
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -6) và
a. Tiếp xúc với trục Ox
b. Tiếp xúc với trục Oy
c. Tiếp xúc với trục Oz
Bài giải:
a. Gọi
1
H
là hình chiếu vuông góc của I lên Ox
x y z
c. phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oz là:
2 2
2
2 1 ( 6) 5
x y z
Chú ý: Từ ví dụ 5: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với một đường thẳng (d) cho
trước, ta lập phương trình của (S) với tâm I và
R d I d
Ví dụ 6: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0) và tâm I thuộc trục Oz
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz
0;0;
I c
Vì A, B thuộc (S) nên
2 2
1 2
2
x t
y t
z t
Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và I là tâm của (S)
Vì (S) qua hai điểm A, B nên tâm I thuộc mp (P) là mp trung trực của AB.Khi đó mp (P) qua E(0; 2; 1) là
trung điểm của AB và nhận
4;2;2
AB
là VTPT nên có phương trình:
2 3 0
x y z
Khi đó tâm
R IA
Phương trình mặt cầu (S) là:
2 2
2
1 1 ( 2) 17
x y z
Chú ý: từ ví dụ 6 và ví dụ 7
” để lập phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc đường
thẳng (d) ta có cách sau:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Cách 1:
Bước 1: Chuyển (d) về dạng tham số. Tâm I thuộc (d) nên thỏa mãn phương trình (d) ẩn t
Bước 2: (S) qua A, B nên IA = IB
t
tọa độ tâm I
bán kính R = IA
Bước 3: Viết (S) với tâm I, bán kính R
Cách 2:
Bước 1: (S) qua 2 điểm A, B nên tâm I thuộc mặt phẳng (P) là mp trung trực của AB
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
4 1 1 1 1
2
0;1;2
1
4 1 1 2 4
b c b c
AI BI c
I
b
AI CI
b c b c
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 1 (1 ) 5
1 1 5
1 1 5 2
4 9
2 (4 ) 5
a b c
a b c
a b c a c
a b c
a b c
a b c d
a b c d
Vậy (S) có phương trình là:
2 2 2
2 2 2
2 4 0
4 38 32 8
0
9 9 9 3
x y z y z
x y z x y z
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
I P d
Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) với tâm I, bán kính R = IA
Ví dụ 9: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1;1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2)và D(2;
2; 1)
Bài giải:
Ta có:
0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;0 , . 1 0
AB AC AD AB AC AD
, ,
AB AC AD
4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c). Vì (S) qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ:
2 2
2 2
2 2
IA IB
IA IB
IA IC IA IC
2 3
3 3 3 3
2 3 ; ;
2 2 2 2
3 0
y
z x y z I
x y
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
2 2 2
thì xác định tâm I bằng cách:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
- Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
. Dựng đường thẳng (d) qua K và song song với DA (
hoặc
d ABC
)
- Dựng mp trung trực (P) của DA. Khi đó
I d P
- Viết phương trình (S) với tâm I và bán kính
R IA
Trường hợp 3: Nếu
2
làm đường tròn lớn
Bài giải:
Vì mặt cầu (S) nhận đường tròn ngoại tiếp
ABC
làm đường tròn lớn nên mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) là
tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
, ta có:
2 2
2 2
, . 0
AI BI
AI BI
AI CI AI CI
I ABC
AB AC AI
39
7
2 3 36
89 39 89 81
5 ; ;
14 7 14 14
4 5 13
81
14
x
x y z
x y z y I
x y z
z
IA IC
I ABC
Dạng 3: Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Phương pháp:
Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P) bất kì. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và d = IH là
khoảng cách từ I đến (P). Khi đó:
- Nếu
( ) ( )d R P S
- Nếu
d R
(P) tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó (P) được gọi là tiếp diện của (S)
- Nếu
( ) ( ) ( )
d R P S C
là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) với
Bài giải:
a. Mặt cầu (S) có tâm I (3; 1; -2) và
9 1 4 5 3
R
Ta có:
3 2 2 1
2 6
,
3
1 4 1 6
d I P
Ta thấy
,
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ta thấy
,
d I P
= 0 < R = 3
( )
P S C
là một đường tròn lớn của mặt cầu (S)
Với đường tròn (C) có tâm I (3; -1; 1), bán kính R = 1
c. Mặt cầu (S) có tâm I (-2; -4; 1) và
4 16 1 4 5
R
Ta có:
2 8 1 10
21 7 6
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm
1;2;3 , 14
I R
Ta có:
1 2 3
,
3
1 1 1
k k
d I P
. Khi đó:
- Nếu
14 42
3
k
d R k
(P) không cắt (S)
- Nếu
14 42
3
k
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M(4; 3; 1). Khi đó (P) qua M và nhận
3;1; 2
IM
là VTPT nên có phương trình là:
3 4 1 3 2 1 0 3 2 13 0
x y z x y z
Vídụ2: Cho mặt cầu
2 2 2
(S): x y z 2x 4y 6z 0
và đường thẳng
x 1 y 1 z 1
(d):
1 2 4
7 4 3 0
3
7
t
t t
t
Vậy (d) cắt (S) tai hai điểm
4 13 5
2; 1;5 , ; ;
7 7 7
M N
b. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính
1 4 9 14
R
Gọi (P), (Q) là hai mp lần lượt tiếp xúc với (S) tại M, N
3 1 26
; ;
7 7 7
IN
là VTPT nên có phương trình:
106
3 26 0
7
x y z
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Chú ý: Phương trình mp tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M cho trước là mp qua M và nhận
IM
là
VTPT
Ví dụ 3: Cho mặt cầu
2 2
2
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên:
2 2
2 2 2
2
, 3 2 3 0
2
c a
b c d
d I P R a ac c
c a
a b c
Với c = - a thì d = - 2a, b =
2
a
nên chọn a = 2 ta được c = -2, d = -4, b = -1
n
của
1
( )
P
là VTCP nên có PTTS:
2
1
2 2
x t
y t
z t
Vì
1 1 1
T IT P
nên
1
2 2 2 2
1;3;0
T IT P T
Dạng 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt cầu
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương pháp:
Cách 1: Cho mặt cầu S (I; R) và đường thẳng d bất kì. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d và h =
IH là khoảng cách từ I đến d. Khi đó:
- Nếu ( )h R d S
- Nếu
h R
d tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó d được gọi là tiếp tuyến của (S)
- Nếu
( ) ,
h R d S A B
Cách 2:
Bước 1: Chuyển (d) về dạng tham số theo t
Bước 2: Thay x, y, z của (d) vào (S) ta được:
I H
. Khi đó AB là đường kính của (S)
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
1
: 1 , ,( ) : 3 1 4 14
2
x
d y t t R S x y z
z t
Chứng tỏ rằng (d) cắt (S) tại hai điểm A, B. Tính độ dài AB
Bài giải:
Thay phương trình của (d) vào (S), ta được:
2 2 2
1 3 1 1 2 4 14
t t
a. Chứng tỏ đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm
b. Viết phương trình đường thẳng song song với (d) và cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất
Bài giải:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. Chuyển (d) về dạng tham số:
3
: ,
3
x t
d y t t R
z t
Thay phương trình của (d) vào (S) được:
2 2 2
cắt (S) tại hai điểm A, B và AB lớn nhất thì
phải qua tâm I của mặt cầu (S). Do đó:
qua
I(0; -3; 0) và có VTCP là
1; 1;1
u
nên có phương trình là:
: 3 ,
x t
y t t R
z t
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; -2) và đường thẳng
MA MA u
,
49 4 100
, 3
4 9 4
MA u
d A
u
Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt
tại B, C sao cho BC = 8
bán kính
Cách 2: Tìm hai điểm A, B cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K chứng minh
0
90
AMB
Cách 3: Tìm hai điểm A, B cố định rồi dựa trên tính chất K chứng minh
2 2 2
MA MB k
với k là hằng số.
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
2 2 2 2 2
2
MA MB MC MD a
Bài giải:
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
a MA MB MC MD MA MB MC MD
Vậy tập hợp điểm M là mặt cầu
2
;
4
a
S G
2 2 2
0
/ / ;
OM M O
M MA MB k M OM R S O R
Chú ý: Với mỗi điểm A và mặt cầu S(O; R), đặt OA = d, ta định nghĩa:
2 2
/M O
P d R
2 2 2
/
9
B
M B
P MB R MB
(3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được:
2 2 2 2
13 27 40
MA MB MA MB
(4)
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó: (4)
2 2
40
MA MB
2 2
40
MI IA MI IB
cố định
Khi đó kết hợp với giả thiết, ta có:
. .IH IE IM IN
tứ giác MHNE nội tiếp
IHM INE N
nhìn EI dưới một góc vuông
Vậy tập hợp điểm N thuộc mặt cầu đường kính EI
Ví dụ 4: Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho:
2 2 2
MA MB k
, với k là hằng số
Bài giải:
Gọi O là trung điểm của AB, khi đó với điểm M ta có:
2
2 2 2
1
2 4
AB
OM MA MB ( định lý đường trung tuyến)
2 2
2
2 4
k AB
OM . Vậy ta được:
M MA MB k M OM R S O R
- Nếu
2 2
2 4
k AB
thì
0
OM M O
. Vậy quỹ tích M chỉ gồm một điểm O
- Nếu
2 2
2 4
k AB
thì quỹ tích M là tập rỗng
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau:
a. 02z15y3x6z3y3x3
222
ĐS:
1 5
1; ;
2 2
O
,
ĐS: không tồn tại đường tròn
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài 3: Cho họ
m
S
có phương trình:
2 2 2
2
2 1 2 5
x y z m m m
a. Tìm điều kiện của m để
m
S
là họ mặt cầu
b. Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ
m
S
c. Vậy họ
m
S
luôn chứa đường tròn (C) có tâm
0
2;1;1 , 2
I R
nằm trong mặt phẳng z =1
Chú ý: Tổng quát phương pháp thực hiện yêu cầu: “ Chứng tỏ rằng họ mặt cầu
m
S
luôn chứa một
đường tròn cố định”
Bước 1: Gọi
0 0 0
; ;
M x y z
là điểm cố định mà họ
m
2 2
2
2 1 26
x y z
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu:
a. Có tâm nằm trên tia Ox, bán kính bằng 5 và tiếp xúc với mp (Oyz)
b. Có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M(3; 1; 0)
ĐS: a.
2
2 2
5 25
x y z
b.
2
2 2
2
2 2
3 ( 1) ( 2) 4
3 ( 1) ( 2) 4
x y z
x y z
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d
1
và cách d
2
một khoảng bằng 3. Cho biết mặt phẳng (P) 2x
+ 2y – 7z = 0 cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5.
ĐS:
2 2
2
2 2
2
2 2 25
1 1 25
x y z
x y z
c. Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua 2 điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện là đường
tròn lớn
ĐS: a. (P): 4x – z + 1 = 0
b.
2
2 2
1
13
17
x y z
c.
2 2
2
1 1 9
3
2 2 2
x y z
Bài 10: Cho điểm A( 2; 3; 4) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z – 6 = 0
a. Lập phương trình mp (P) đi qua A và song song với (P)
b. Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) tại A và tiếp xúc với (Q)
c. Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) tại điểm A à cắt (Q) theo thiết diện là
Copyright: Tài liệu đại học ©